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专题1 平面直角坐标系的两种压轴题全攻略
类型一、规律性问题
例．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点的纵坐标是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【变式训练1】如图，已知点（1，0），（1，1），（－1，1），（－1，－1），（2，－1），…，则点的坐标为（ ）
A．（506，506） B．（506，－505）
C．（－505，－505） D．（－505，505）
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
【变式训练3】如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是 _____．
【变式训练4】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是___________．
类型二、坐标与几何图形综合
例．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为_______，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S四边形ABDC，则点P的坐标为_______．
【变式训练3】作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　 　），B1（　 　），A1（　 　）；
(2)直接写出△ABC的面积为　 　；
(3)在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【变式训练4】如图，，，且，，求A点的坐标．
课后练习
1．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形 OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2…按此规律，绕点O 旋转得到正方形 OA2020B2020C2020，则点 B2021的坐标为______．
2．如图，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，，．
(1)画出三角形；
(2)写出点的坐标 　　；
(3)直接写出三角形的面积 　　；
(4)点在轴上，若三角形的面积为6，直接写出点的坐标 　　．
3.如图，在平面直角坐标系中，描出点、、．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)求线段OC的长；
(4)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
专题1 平面直角坐标系的两种压轴题全攻略
类型一、规律性问题
例．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第2021次运动后，动点的纵坐标是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】B
【详解】解：观察图象，结合第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，运动后的点的坐标特点，
由图象可得纵坐标每6运动组成一个循环：，，，，，
，经过第2021次运动后，动点的坐标与坐标相同，为，
故经过第2021次运动后，动点的纵坐标是2．故选：B．
【变式训练1】如图，已知点（1，0），（1，1），（－1，1），（－1，－1），（2，－1），…，则点的坐标为（ ）
A．（506，506） B．（506，－505）
C．（－505，－505） D．（－505，505）
【答案】B
【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，数字是4的倍数余1的点在第四象限，数字是4的倍数余2的点在第一象限，数字是4的倍数的点在第二象限，且各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），
∵2021÷4＝505…1，∴点A2021在第四象限，点A2020在第三象限，
∵=505，∴A2020是第三象限的第505个点，
∴A2020的坐标为（ 505， 505），
∴点A2021的坐标为 （506，-505）．
故选：B．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
【答案】B
【详解】解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，∴∠O1OA1=30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=OA1=1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2023的纵坐标为（）2022．
故选：B．
【变式训练3】如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接
由题意知是等边三角形的高线，，；是等边三角形的高线，，；是等边三角形的高线，，；
∴，，
根据横坐标依次为，，可得出一般性规律即的横坐标为；
根据纵坐标依次为，，可得出一般性规律即的纵坐标为；
∴的坐标为，∴的坐标为
故答案为：．
【变式训练4】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是___________．
【答案】（31，16）
【详解】解：∵点B1、B2的坐标分别为（1，1），（3，2），∴A1（0，1），A2（1，2），
∵点A1，A2在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴y=x+1，
∵点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），点B3的坐标为（7，4），
∴点A4的坐标为（7，8），点B4坐标为（15，8），…，
∴Bn的横坐标是：2n-1，纵坐标是：2n-1，即Bn的坐标是（2n-1，2n-1），
∴B5的坐标是（25-1，24），即B5的坐标是（31，16），故答案为：（31，16）．
类型二、坐标与几何图形综合
例．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点B的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意：作图如下，
∴点B的对应点的坐标为．
故选：C．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】C
【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P的坐标为（1，2）
故选：C．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为_______，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S四边形ABDC，则点P的坐标为_______．
【答案】 （4，2） （0，4）或（0，-4）
【详解】解：由题意得点D是点B（3，0）先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，
∴点D的坐标为（4，2）；
同理可得点C的坐标为（0，2），∴OC=2，
∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4，∴，
设点P到AB的距离为h，∴S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，解得h=4，
∵P在y轴上，∴OP=4，∴P（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（4，2）；（0，4）或（0，-4）．
【变式训练3】作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　 　），B1（　 　），A1（　 　）；
(2)直接写出△ABC的面积为　 　；
(3)在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【答案】(1)-1，2；-3，1；-4，3；(2)；(3)作图见详解
(1)解：关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数，
∵，，，∴，，，故答案为：-1，2；-3，1；-4，3；
(2)△ABC的面积为长方形面积减去三块三角形面积，
故，故答案为：．
(3)解：如图作A点关于x轴的对称点，连接C与，与x轴交点为P，
如图所示，点P即为所求作点．
【变式训练4】如图，，，且，，求A点的坐标．
【答案】A点的坐标为（,）
【详解】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥AM于N,
∵∠BAC=90°，∴∠MAB+∠CAN=90°，
∵∠MAB+∠ABN=90°，∴∠ABN=∠CAM，
在△ABN和△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（AAS），∴AM=BN，AN=CM，
∵，，设OM=a，则CM=5-a，BN=AM=3+a，∴MN=AM-AN，
5=3+a-（5-a），∴a=，∴OM=，AM=，∴A点的坐标为（,）．
课后练习
1．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形 OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA2B2C2…按此规律，绕点O 旋转得到正方形 OA2020B2020C2020，则点 B2021的坐标为______．
【答案】
【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1）；
连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB= OB= OB=OB=…=；
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BO B=∠BO B=…=45°，
∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），B（0，-），B（1，-1），B（，0），B（1，1），…，发现是8次一循环，
∵2021÷8=252…余5，
∴点B的坐标与点B的坐标相同，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
2．如图，若三角形是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，，．
(1)画出三角形；
(2)写出点的坐标 　　；
(3)直接写出三角形的面积 　　；
(4)点在轴上，若三角形的面积为6，直接写出点的坐标 　　．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)2.5；(4)或
【解析】(1)如图，画出三角形即为所求．
(2)点的坐标．故答案为：；
(3)直接写出三角形的面积，故答案为：2.5．
(4)设，则有，解得，或．故答案为：或．
3.如图，在平面直角坐标系中，描出点、、．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)求线段OC的长；
(4)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
【答案】(1)画图见解析，4；(2)（-4，3）；(3)5；(4)（10，0）或（-6，0）
【解析】(1)解：如图所示，△ABC即为所求；
，故答案为：4；
(2) 解：∵点D与点C关于y轴对称，点C的坐标为（4，3），∴点D的坐标为（-4，3），
故答案为：（-4，3）；
(3)
解：连接OC，
过C点作轴于点D，则．
，，，
在中，，，，，
(4)解：∵为x轴上一点，∴可设P点坐标为（m，0），∴，
∵的面积为4，∴
∴或，∴或，
∴P点坐标为（10，0）或（-6，0）．
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