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(总课时06)§1.6利用三角函数测高
【学习目标】能根据实际问题设计活动方案，测量不可到达的物体的高度．
【学习重难点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾
填空:
锐角 30° 45° 60°
sina
cosa
tana
二.探究新知
探究一：测量倾斜角
使用测倾器测量倾斜角的步骤．
(1)如图1，把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置；
(2)如图2所示，转动度盘，使度盘的直径PQ对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数；
探究二:测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
如图3，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.____________________________________________________.
2.__________________________________．
3._______________________________________________________．
根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.
探究三：测量底部不可以到达的问题的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图4，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
2.在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β
3.量出测倾器的高度AC=BD=EN=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
三.典例与练习
例1.我市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，如图5，工程师在D处用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高度是多少？
练习1.如图6，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50)
四.课堂小结：
到目前为止,你有哪些测量物体高度的方法
（1）利用三角函数的知识可以测量物体的高度.
（2）利用三角形相似的知识也可以．
（3）还有利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.
五.分层过关：
1.如图7，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10m，楼高AB＝24m，则树CD高约为( )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
2.如图8，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)( )
A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m
3.如图9，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（ ）
A. 4km B. （2+）km C. 2km D. （4-）km
4.如图10,小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°.塔高AB=_____结果保留整数，≈1.73，≈1.41)．
思考题：
九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，则护墙与地面的倾斜角α的度数为______；
(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，则E点离地面FB的高度=______米；
(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度．(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414)
图3
图2
图1
图4
图5
图6
图7
图10
图9
图8
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(总课时06)§1.6利用三角函数测高
一.选择题：
1.如图1，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2米的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高度为（ C ）米.
A．8.8 B．10 C．12 D．14
2.如图2，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（D）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
3.如图3，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( C )
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
二.填空题;
4.如图4,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为20m．
5.如图5，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行__海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
6.如图6，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为_12__m(结果不作近似计算)．
7.如图7，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为米．
三.解答题：
8.如图,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，求电线杆AB的高度．
解:如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F．
∵CD=8，CD与地面成30°角，∴DE=0.5CD=0.5×8=4，
根据勾股定理得：CE=4．∵1m杆的影长为2m，∴=0.5，∴EF=2DE=2×4=8，
∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=（28+4）．∵=0.5，
∴AB=0.5（28+4）=14+2．
9.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
解：（1）如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA sin∠PAC=100×0.80=80，在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；
（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．
四.提高题：
10.某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．
解：（1）DH=0.75EF=.075×1.6=1.2（米），即DH为1.2米；
(2)连结CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AB∥DC，∴∠CDH=∠BAD=66.5°，Rt△CDH中，=cos66.5,，∴CD≈3，即AB≈3，
∴=AD+AB+BC≈0.8+3+0.8=4.6（米），即所用材料总长度约4.6米．
图4
图3
图2
图1
图7
图6
图5
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(总课时06)§1.6利用三角函数测高
一.选择题：
1.如图1，为测量学校旗杆的高度,小东用长为3.2米的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米,与旗杆相距22米,则旗杆的高度为（）米.
A．8.8 B．10 C．12 D．14
2.如图2，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
3.如图3，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
二.填空题;
4.如图4,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为______m．
5.如图5，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行______海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置
6.如图6，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为______m(结果不作近似计算)．
7.如图7，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为______米．
三.解答题：
8.如图,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，求电线杆AB的高度．
9.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；
（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．
（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
四.提高题：
10.某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．
图4
图3
图2
图1
图7
图6
图5
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(总课时06)§1.6利用三角函数测高
【学习目标】能根据实际问题设计活动方案，测量不可到达的物体的高度．
【学习重难点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
【导学过程】
一.知识回顾
填空:
锐角 30° 45° 60°
sina
cosa
tana 1
二.探究新知
探究一：测量倾斜角
使用测倾器测量倾斜角的步骤．
(1)如图1，把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置；
(2)如图2所示，转动度盘，使度盘的直径PQ对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数；
探究二:测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
如图3，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得物体顶部M的仰角∠MCE＝
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝．
3.量出测倾器的高度AC＝ ．
根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由.
解：由题可得：CE＝AN＝，NE＝AC＝
在Rt△CEM中，∴∴
探究三：测量底部不可以到达的问题的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图4，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
2.在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β
3.量出测倾器的高度AC=BD=EN=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ
在Rt△MCE中，EC=ME/tanα∴EC-ED=AB=b
∴∴∴
三.典例与练习
例1.我市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，如图5，工程师在D处用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高度是多少？解：如图5，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∠AFG＝60°，
∴FG＝＝AG在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，∠ACG＝30°
所以CG＝＝AG又∵CF＝CG－FG＝30，即AG－AG＝30，
解得AG＝15.∴AB＝AG＋GB＝15＋2.∴这幢教学楼的高度AB为(15＋2)m.
练习1.如图6，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50)
解：∵在Rt△ABC中，＝tan α＝，∴BC＝AB.
∵在Rt△ADB中，＝tan26.6°＝0.5，∴BD＝2AB.∵BD－BC＝CD＝200，
∴2AB－AB＝200，解得：AB＝300.答：小山岗的高度为300米．
四.课堂小结：
到目前为止,你有哪些测量物体高度的方法
（1）利用三角函数的知识可以测量物体的高度.
（2）利用三角形相似的知识也可以．
（3）还有利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.
五.分层过关：
1.如图7，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10m，楼高AB＝24m，则树CD高约为( C )
A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m
2.如图8，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，≈1.73)( D )
A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m
3.如图9，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（B）
A. 4km B. （2+）km C. 2km D. （4-）km
4.如图10,小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°.塔高AB=58(结果保留整数，≈1.73，≈1.41)．
思考题：
九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
(1)如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，则护墙与地面的倾斜角α的度数为76°；
(2)如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点离地面FB的高度为1.9米，则E点离地面FB的高度=3．8米；
(3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度．(精确到0.1米，参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，≈1.732，≈1.414)
解：（3）如图3，延长AE交直线PB于点C，
设AE=x，则AC=x+3．8，
∵∠APB=45°，∴PC=AC=x+3．8，∵PQ=4，∴CQ=x+3．8-4=x-0．2，
∵tan∠AQC=，∴，x=≈5．7，∴AE≈5．7（米）．
答；旗杆AE的高度是5．7米．
图3
图2
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图10
图9
图8
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