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数学课时导学案
班级______ 小组______ 姓名____________上课时间_________讲义编号
课 题 切线长定理 编写人
审核人
学习目标与 评价设计 目标与要求 识记 理解 应用
1.掌握切线长定理及其应用. 2.通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法. √
重点 难点 重点：切线长定理及应用. 难点：切线长定理及应用.
预 习 学 案
学生纠错 教师点拨 基 础 自 测
预习时间：35分钟 【我的问题】 【我的纠错】 一、单选题 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 2．如图，，，分别切于，，，分别交，于，，已知到的切线长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3．如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（ ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 4．2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出，则光盘的直径是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 二、填空题 6．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ． 【答案】 7．如图，，是的两条切线，与相切于B，C两点，点A，D在圆上．若，，则的度数是 ． 【答案】 8．如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，则的度数为 ． 【答案】40° 9．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则 ． 【答案】 10．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序号） ． 【答案】①②③④⑤ 三、解答题 11．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点．以上的点为圆心，为半径作，恰好过点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：过作， 平分，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 12．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且． (1)若，则　 　°； (2)求证：为的切线； (3)若，，求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵为的切线，点是切点， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）证明：如图，过点O作于点E， 由（1）可得， ∵， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∵是半径， ∴点到的距离等于半径， ∴为的切线； （3）解：∵，， ∴， 在中，由于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即，， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴．
知 识 梳 理
【归纳结论】经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB = AC 切线长定理推论： 圆的外切四边形的两组对边的和相等； 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【学生笔记】 课 堂 探 究
【例题一】如图，在菱形中，对角线，相交于点E，经过A，D两点，交对角线于点F，连接交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值是2． 【例题二】如图，、分别是的直径和弦，于点D．过点A作的切线与的延长线交于点P，、的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，． 【例题三】如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接． (1)求证：直线 为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值和线段的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的切线， ∴， ∵，于D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线； （2）证明：∵ ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （3）解：∵，， ∴（三角形中位线定理）， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解之得，，（不合题意，舍去）， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例题四】如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点． (1)求的值； (2)如图，连接，交于点，证明直线． 【详解】（1）解∶如图，连接，，． ∵，，是的切线， ∴，分别是，的平分线． ∵， ∴． ∴，即是直角三角形． ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 即． ∴． （2）证明：∵，，是的切线， ∴，，，， ∴， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． 【例题五】已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G． (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值． 【详解】（1）解：设与直线的切点为点E，连接，如图所示： ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； （2）①如图所示：当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴由（1）得半径的长为，恰好有一个交点， ∴当时，满足条件； ②当恰好经过点C时，连接，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； ∴当时，与的三边的交点多于2个，不满足条件； ③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件， ∴当时，满足条件； 综上可得：或时，满足条件； （3）①当两个圆外切时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ∵两个圆相切， ∴，即， 解得：， ∴； ②当两个圆内切时，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的正切值为或1．
【学生笔记】 课 后 训 练
一、单选题 1．如图，在Rt中，，，分别与边，相切，切点分别为，，则的半径是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是(　　) A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 【答案】B 3．如图，是等边三角形的内切圆，半径为r，的内切圆切于点N，半径为，切于点M，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题 4．如图，AB为半的直径，为半圆弧的三等分点，过B，两点的半的切线交于点，若AB的长是，则PA的长是 ． 【答案】 5．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为 ． 【答案】10 6．如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为 . 【答案】11 7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③⑤. 三、解答题 8．如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【详解】（1）∵线段为的直径，，分别切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）连接， ∵，是圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的切线，是圆的切线， ∴，， 设， 则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故． 9．如图，为的切线，为切点，直线交于点、，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)试探究线段、、之间的等量关系，并加以证明； (3)若，，求的值和线段的长． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ，于， ，， 又， ≌， ， ， 直线为的切线． （2）解：． 证明： ，， ， ∽， ，即， 又， ． （3）解：，，， 三角形中位线定理， 设， ， ，， 在中，由勾股定理，得， 解之得，，不合题意，舍去， ，， 是直径， ， 又，， ． ， ， ． 10．如图，是的直径，，是的两条切线，点A，C为切点，延长，相交于点D，若，，点F为弧的中点，连接． (1)连接交于点M，求证：； (2)设，求的值； (3)若点G与点F关于圆心O对称，连接，求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线， ∴，，， ∵， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，即， ∵是的直径， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：连接，，如图所示： ∵点G与点F关于圆心O对称， ∴过圆心，且为的直径， ∴， 由（2）得， ∴， 即， ∴，又， ∴设，，由得， ∴， 即， ∴（舍去负值）， 即，， 如图，过点A作，垂足为H，连接，，如图所示： ∵点F为的中点， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴（负值舍去）．
【自我反思】数学课时导学案
班级______ 小组______ 姓名____________上课时间_________讲义编号
课 题 切线长定理 编写人
审核人
学习目标与 评价设计 目标与要求 识记 理解 应用
1.掌握切线长定理及其应用. 2.通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法. √
重点 难点 重点：切线长定理及应用. 难点：切线长定理及应用.
预 习 学 案
学生纠错 教师点拨 基 础 自 测
预习时间：35分钟 【我的问题】 【我的纠错】 一、单选题 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，，，分别切于，，，分别交，于，，已知到的切线长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，切于，若的半径为3，则线段的长度为（ ） A． B．6 C．8 D．10 4．2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出，则光盘的直径是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为直角，，在三角形的内部有一个半圆，半圆与均相切且直径在上．则半圆的半径为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ． 7．如图，，是的两条切线，与相切于B，C两点，点A，D在圆上．若，，则的度数是 ． 8．如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，则的度数为 ． 9．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则 ． 10．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的是（只填序号） ． 三、解答题 11．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点．以上的点为圆心，为半径作，恰好过点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 12．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且． (1)若，则　 　°； (2)求证：为的切线； (3)若，，求的长．
知 识 梳 理
【归纳结论】经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB = AC 切线长定理推论： 圆的外切四边形的两组对边的和相等； 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【学生笔记】 课 堂 探 究
【例题一】如图，在菱形中，对角线，相交于点E，经过A，D两点，交对角线于点F，连接交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【例题二】如图，、分别是的直径和弦，于点D．过点A作的切线与的延长线交于点P，、的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【例题三】如图，为的切线，B为切点，直线交于点E，F，过点B作的垂线，垂足为点D，交于点A，延长与交于点C，连接． (1)求证：直线 为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值和线段的长． 【例题四】如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点． (1)求的值； (2)如图，连接，交于点，证明直线． 【例题五】已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G． (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．
【学生笔记】 课 后 训 练
一、单选题 1．如图，在Rt中，，，分别与边，相切，切点分别为，，则的半径是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是(　　) A．点E是△BPA的内心 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 3．如图，是等边三角形的内切圆，半径为r，的内切圆切于点N，半径为，切于点M，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，AB为半的直径，为半圆弧的三等分点，过B，两点的半的切线交于点，若AB的长是，则PA的长是 ． 5．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为 ． 6．如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为 . 7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 8．如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，． (1)求证：； (2)求线段的长． 9．如图，为的切线，为切点，直线交于点、，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)试探究线段、、之间的等量关系，并加以证明； (3)若，，求的值和线段的长． 10．如图，是的直径，，是的两条切线，点A，C为切点，延长，相交于点D，若，，点F为弧的中点，连接． (1)连接交于点M，求证：； (2)设，求的值； (3)若点G与点F关于圆心O对称，连接，求的长．
【自我反思】

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