资源简介

浙教数学 七年级上册
第3章 实数
知识梳理
一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；
（2）表示方法：的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
（3）性质：一个非负数的算术平方根等于它本身，即.
当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【注】与的区别与联系
区别：①是先开方再平方，是先平方再开方，两者运算顺序不同；
②中a的取值范围是，中a取正数，零，负数都可以.
联系：当时，.
2.平方根
（1）定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
（2）表示方法：(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
二、平方根和算术平方根的区别与联系
1.区别：（1）定义不同；（2）表示方法不同：和.
2.联系：（1）平方根包含算术平方根，平方根中那个非负的根即为算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
三、实数
1.有理数与无理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.有理数和无理数统称为实数.
2.常见的无理数有三种形式：
①含有π的式子.
②无限不循环小数，如：1.313113111…….
③开方开不尽的数的平方根，如.
3.实数的分类
按定义分类：
实数
按性质分类：
实数
4.实数的性质
实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
四、立方根
1.定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.表示方法：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【注】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
五、实数大小的比较
（1）数轴比较法：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
（2）代数比较法：正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法
（4）作商比较法
（5）倒数比较法：若，则.
（6）平方比较法：若，则.
（7）开方比较法：若，则.
（8）估值比较法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的的精确度用相应的近似有限小数取代替，再进行比较.
六、实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
基础训练
一、单选题
1．4的平方根是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．4
2．下列说法中错误的是　　（　　）
A．正实数都有两个平方根 B．任何实数都有立方根
C．负实数只有立方数根，没有平方根 D．只有正实数才有算术平方根
3．下列结论中正确的是（ ）
A．数轴上任何一个点都表示唯一的有理数 B．两个无理数的乘积一定是无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上的点和实数是一一对应的
4．下列等式成立的是（ ）
A．=1 B． C．=﹣3 D．=﹣3
5．、、5三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．估计30的立方根在哪两个整数之间（ ）
A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．5与6
7．若，则m的立方根是（ ）
A． B． C． D．
8．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中错误的是（ ）
A．27 的立方根为±3 B．的平方根是±2 C．9 的算术平方根是 3 D．立方根等于 1 的数是 1
10．下列说法中正确的是（ ）．
A．-a一定是负数 B．|a|一定是正数 C．a的倒数是 D．一定不是负数
11．下列计算正确的是（　　）
A．＝－9 B．＝±5 C．＝－1 D．(－)2＝4
12．若a<A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．比较大小：_________4.（填“”、“”或“”）
14．已知，那么____．
15．将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____．
16．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
17．一个正数a的平方根是5x+18与6﹣x，则这个正数a是______．
18．实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是____．
19．若，则______．
20．计算：|﹣3|+=________
三、解答题
21．计算：
（1）3+-
（2）．
22．计算：
（1）
（2）+| ﹣3|
23．计算题
（1）
（2）
24．求下列x的值．
（1）2x3=﹣16 （2）（x﹣1）2=4．
25．已知3是2a﹣1的一个平方根，3a+5b﹣1的立方根是4，求a+2b的平方根．
26．定义新运算：a★b=a(1-b)，a，b是实数，如：-2★3=-2（1-3）=4，
（1）求（-2）★（﹣1）的值；（2）已知ab，试说明a★bb★a．
27．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．
参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得，则x就是a的平方根．
【详解】解：∵
∴4的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2．D
【分析】A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据立方根的定义即可判定；
C、根据平方根、立方根的性质即可判定；
D、根据非负数才有平方根即可判定．
【详解】解：A、正实数都有两个平方根，故选项正确；
B、任何实数都有立方根，故选项正确；
C、负实数只有立方根，没有平方根，故选项正确；
D、0也有算术平方根，不是只有正实数才有算术平方根，故选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
3．D
【分析】根据实数与数轴的对应关系，实数的运算对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为数轴上任一点都表示唯一的实数，故本选项错误；
B、两个无理数乘积一定是无理数错误，例如：×＝4，4是有理数，故本选项错误；
C、两个无理数之和一定是无理数错误，例如：＋（ ）＝0，0是有理数，故本选项错误；
D、数轴上任意两点之间还有无数个点正确，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数，主要利用了实数的运算与实数与数轴的对应关系，掌握知识点是解题关键．
4．D
【分析】由立方根的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根的定义进行判断．
5．A
【分析】根据二次根式的性质把这一组数化为二次根式的形式，再比较被开方数的大小．
【详解】这一组数据可化为、、．
∵27＞25＞24，∴＞＞，即2＜5＜．
故选A．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，解答此类问题时要根据二次根式的性质把各数化为二次根式的形式，再比较被开方数的大小．
6．B
【分析】根据＜＜，可得答案．
【详解】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了正数的被开方数越大立方根越大的关系．
7．A
【分析】根据立方根的性质求解即可.
【详解】解：m的立方根是，虽然强调，但立方根与m本身的符号一致.
故选A.
【点睛】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
8．A
【分析】如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
【详解】解：的平方根是．
故选A．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键， 0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
9．A
【分析】根据平方根、立方根的定义判断即可．
【详解】解：A．27的立方根为3，此选项错误；
B．的平方根是±2，此选项正确；
C．9的算术平方根是3，此选项正确；
D．立方根等于1的数是1，此选项正确；
故选A．
【点睛】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
10．D
【分析】由负数的定义、绝对值的意义、倒数的定义、算术平方根的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、不一定表示负数，故A错误；
B、可以表示正数或0，故B错误；
C、当a=0时，a没有倒数，故C错误；
D、一定不是负数，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了负数的定义、绝对值的意义、倒数的定义、算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
11．C
【分析】分别根据算术平方根的定义和立方根的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、＝9，故本选项计算错误，不符合题意；
B、＝5，故本选项计算错误，不符合题意；
C、＝－1，故本选项计算正确，符合题意；
D、(－)2＝2，故本选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
12．A
【详解】∵的整数部分是2，
∴0＜﹣2＜1，
∵a、b是两个连续整数，
∴a=0，b=1，
∴a+b=1，
故选：A．
13．＜
【分析】先把4变形为再与进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵4=，，
∴，
故答案为：＜．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，要掌握实数大小比较的方法，关键是把有理数变形为带根号的数．
14．1.8044
【详解】由，得
故答案为：1.8044
15．﹣6<0<<π
【详解】正数大于0和负数，0大于负数，所以-6＜0＜＜π，故答案为-6＜0＜＜π.
16．0或1
【分析】设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．
【详解】解：设这个数为a，由题意知，
=（a≥0），
解得：a=1或0，
故答案为：1或0
【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点，基础题需要重点掌握，同学们很容易忽略a≥0．
17．144．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数建立方程，求解即可得出答案．
【详解】∵一个正数a的平方根是5x+18与6﹣x，
∴5x+18+6﹣x=0，
解得：x=﹣6，
∴a=(6+6)2=144．
故答案为：144．
【点睛】本题主要考查正数的平方根，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键．
18．a
【分析】根据数轴分别求出a、b、c、d的绝对值，根据实数的大小比较方法比较即可．
【详解】解：由数轴可知，3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，
∴这四个数中，绝对值最大的是a，
故答案为：a．
【点睛】本题考查的是数轴的数轴、实数的大小比较，掌握绝对值的概念和性质是解题的关键．
19．±8
【详解】分析：利用二次根式的非负性和绝对会的性质求解.
详解：由题意得,
解得,
所以±8.
点睛：初中阶段的非负式子有三种，，,,所以题目经常就是这三种任意两种的和为0，或者三者的和为0.
20．
【分析】先去绝对值和二次根式化简，再计算加减．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．（1）3﹣2；（2）﹣13．
【分析】（1）利用二次根式的加减混合运算即可；
（2）先计算立方、立方根、平方根再计算加减．
【详解】解：（1）原式=3+﹣5+2=3﹣2；
（2）原式=﹣8﹣2﹣3=﹣13．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的计算、二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．（1）；（2）3
【分析】（1）根据算术平方根的意义化简即可；
（2）根据绝对值的代数意义化简即可．
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）原式=+3﹣
=3．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义和绝对值的代数意义，熟练掌握相关概念及意义是解决本题的关键．
23．（1）-1.6；（2）；
【分析】（1）第一项表示0.16的算术平方根，第二项表示-27的立方根，第三项表示4的算术平方根，第四项-1的奇次幂仍是-1；
（2）先判断绝对值内的式子的正负性，然后再去绝对值化简．
【详解】（1）解：原式=0.4﹣3+2﹣1=﹣1.6
（2）解：原式=
24．
【详解】试题分析：（1）先求出x3，再根据立方根的定义求出x．
（2）根据平方根的意义先求出x﹣1，再求出x．
解：（1）∵2x3=﹣16，
∴x2=﹣8，
∴x=﹣2．
（2）∵（x﹣1）2=4，
∴x﹣1=±2，
∴x=﹣1或3．
25．±5
【详解】试题分析：先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可求出a、b的值,进而得到a+2b的平方根.
解：由题意有
解得
a+2b=5+20=25，
则a+2b的平方根为±5
26．(1)-4；(2)证明见解析．
【详解】解：（1）（-2）★（﹣1）=-2（1+1）=-4
（2）由题意可知：ab
a★b =a(1-b)
b★a= b(1-a)
∵a(1-b)-b(1-a)=a-ab-b+ab=a-b0
∴a★bb★a．
27．（1）－2；（2）2－ ；（3）3－4．
【分析】（1）根据左减右加进行计算；
（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；
（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．
【详解】解：（1）点B表示的数是－2；
（2）点C表示的数是2－；
（3）由题可得：A表示，B表示，C表示2－，
∴OA＝，OB＝－2，OC＝|2－|＝－2．
∴OA＋OB＋OC＝＝3－4．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题．浙教数学 七年级上册
第3章 实数
知识梳理
一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；
（2）表示方法：的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
（3）性质：一个非负数的算术平方根等于它本身，即.
当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【注】与的区别与联系
区别：①是先开方再平方，是先平方再开方，两者运算顺序不同；
②中a的取值范围是，中a取正数，零，负数都可以.
联系：当时，.
2.平方根
（1）定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
（2）表示方法：(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
二、平方根和算术平方根的区别与联系
1.区别：（1）定义不同；（2）表示方法不同：和.
2.联系：（1）平方根包含算术平方根，平方根中那个非负的根即为算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
三、实数
1.有理数与无理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.有理数和无理数统称为实数.
2.常见的无理数有三种形式：
①含有π的式子.
②无限不循环小数，如：1.313113111…….
③开方开不尽的数的平方根，如.
3.实数的分类
按定义分类：
实数
按性质分类：
实数
4.实数的性质
实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
四、立方根
1.定义
如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.表示方法：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【注】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
五、实数大小的比较
（1）数轴比较法：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
（2）代数比较法：正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
（3）作差比较法
（4）作商比较法
（5）倒数比较法：若，则.
（6）平方比较法：若，则.
（7）开方比较法：若，则.
（8）估值比较法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的的精确度用相应的近似有限小数取代替，再进行比较.
六、实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
基础训练
一、单选题
1．4的平方根是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．4
2．下列说法中错误的是　　（　　）
A．正实数都有两个平方根 B．任何实数都有立方根
C．负实数只有立方数根，没有平方根 D．只有正实数才有算术平方根
3．下列结论中正确的是（ ）
A．数轴上任何一个点都表示唯一的有理数 B．两个无理数的乘积一定是无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上的点和实数是一一对应的
4．下列等式成立的是（ ）
A．=1 B． C．=﹣3 D．=﹣3
5．、、5三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．估计30的立方根在哪两个整数之间（ ）
A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．5与6
7．若，则m的立方根是（ ）
A． B． C． D．
8．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中错误的是（ ）
A．27 的立方根为±3 B．的平方根是±2 C．9 的算术平方根是 3 D．立方根等于 1 的数是 1
10．下列说法中正确的是（ ）．
A．-a一定是负数 B．|a|一定是正数 C．a的倒数是 D．一定不是负数
11．下列计算正确的是（　　）
A．＝－9 B．＝±5 C．＝－1 D．(－)2＝4
12．若a<A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．比较大小：_________4.（填“”、“”或“”）
14．已知，那么____．
15．将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____．
16．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．
17．一个正数a的平方根是5x+18与6﹣x，则这个正数a是______．
18．实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是____．
19．若，则______．
20．计算：|﹣3|+=________
三、解答题
21．计算：
（1）3+-
（2）．
22．计算：
（1）
（2）+| ﹣3|
23．计算题
（1）
（2）
24．求下列x的值．
（1）2x3=﹣16 （2）（x﹣1）2=4．
25．已知3是2a﹣1的一个平方根，3a+5b﹣1的立方根是4，求a+2b的平方根．
26．定义新运算：a★b=a(1-b)，a，b是实数，如：-2★3=-2（1-3）=4，
（1）求（-2）★（﹣1）的值；（2）已知ab，试说明a★bb★a．
27．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．

展开更多......

收起↑