资源简介

6-5 伯努利方程
一、教学目标
1．掌握伯努利方程，会利用伯努利方程进行计算。了解方程的物理意义。
2. 理解流速与压强的关系，了解空吸作用及其原理。
3. 理解流量计的原理，学会使用流量计。
二、教学重点难点
重点：1. 伯努利方程及其应用。
2. 流速与压强的关系。
难点：伯努利方程的物理意义
三、教学器材
空吸管、文丘里流量计。
四、教学建议
教法建议
实验、讲解法。
教学设计方案
（一）引入新课
1912年秋，当时世界上最大的轮船之一“奥林匹克”号正在大海上航行。在距它约100 m远处，有一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克”号几乎跟它平行地疾驰着。突然，小船好像受到一个不可抗拒的力量，不服从舵手的操纵，径直朝着奥林匹克号撞去，把奥林匹克号船舷撞了一个大洞。人们没有想到，这次事故的原因竟然是由于不懂得流体的流速与压强之间的关系造成的。
那么，流体的流速与压强之间究竟存在着怎样的关系呢？
（二）引出课程内容
1．伯努利方程
如图1所示，理想流体沿管道做定常流动，经过1、2位置时，其有关各量（分别用下标1、2区分）之间有如下关系：
p1+ρv12+ρgh1=p2+ρv22+ρgh2 或 p+ρv2+ρgh=恒量
式中，p为流体的压强，单位为Pa ；
ρ为流体的密度，单位为kg/m3 ；v为流体的流速，单位为m/s ；
h表示管道中轴线距参考面的高度，单位为m 。
这就是伯努利方程。
图1 伯努利方程
方程中第一项压强p的单位是Pa(N/m2) ，而1 N/m2=1 N·m/m3=1 J/m3 ，表示了单位体积的流体在该点由于压强而具有的能（称为轴向压强能）；第二项ρv2=mv2/V是单位体积流体的动能；第三项ρgh=mgh/V是单位体积流体的势能。
伯努利方程可表述为：理想流体做定常流动时，单位体积流体的（轴向）压强能、动能、势能的总和保持不变。
伯努利方程是流体力学的一条基本规律，表明理想流体做定常流动时能量守恒。伯努利方程在航空、航海、水利等工程部门有着广泛的应用。
伯努利方程只适用于理想流体做定常流动的情况。黏性较小的水、乙醇等液体或流动过程中密度变化很小的气体，做定常流动时，伯努利方程近似成立。
例题1 一楼房内水管的内径d1=2 cm ，水管里水的压强p1=4×105 Pa ，流速v1=4 m/s ；引入二楼的水管的内径d2=1 cm 。已知二楼水管比一楼的水管高出4 m ，求：（1）二楼水管里水的流速和压强各为多少？（2）当二楼水龙头关闭后，二楼水管里的水的压强是多少？
解 p1=4×105 Pa v1=4 m/s d1=2 cm=0.02 m d2=1 cm=0.01 m h=4m
水管中自来水的的流动可视为理性流体的定常流动，设一楼、二楼水管的截面积分别是S1 、S2，二楼水管里的水的流速和压强分别是是v2 和p2 ，则
S1=πd12 S2=πd22
（1）根据连续性方程 S1v1 = S2v2 解得
v2=v1 =v1=×4 m/s =16 m/s
取一楼水管的高度为零，即h1=0 ，则h2=h=4 m ，
由伯努利方程得 p1+ρv12 = p2+ρv22+ρgh
所以，二楼水管中压强
p2= p1-ρ(v22 -v12 )-ρgh
=4×105 Pa-×1×103×(162 -42) Pa-1×103×9.8×4 Pa
=2.41×105 Pa
（2）当二楼水龙头关闭时，v1= v2= 0
这时水管里水的压强
p2′=p1- ρgh = 4×105 Pa -1×103×9.8×4 Pa =3.61×105 Pa
2. 流速与压强的关系 当理想流体在同一水平管中做定常流动时，h1=h2 ，伯努利方程可简化为
p1+ρv12=p2+ρv22 或 p+ρv2=恒量
上述公式表明：在同一水平管道内，流速小的地方压强大；流速大的地方压强小。
根据连续性方程，管道截面积大的地方流速小，截面积小的地方流速大。所以，理想流体在不均匀的水平管中做定常流动时，截面积大处，流速小、压强大；截面积小处，流速大、压强小。
飞机在地面起飞、在空中飞行时，机翼上侧空气流速大、压强小，机翼下侧空气流速小、压强大，依靠机翼下侧与上侧的压强差产生强大的升力，来克服重力。飞机飞行时，机外的空气流速大、压强小，机舱内空气流速小、压强大，在机舱内外存在着巨大的压强差。这一压强差靠飞机的压力机构平衡，一旦该机构产生故障，就可能酿成严重事故。
当两艘轮船并排航行时，轮船之间的海水流速比外侧海水流速大，两船之间的海水对轮船的压强小于外侧海水对轮船的压强，压强差会导致两轮船相互靠拢、碰撞。船舶并行时，要保持一定的安全距离。同样，人与疾驰的火车、汽车之间，也要保持一定的安全距离，以免被火车、汽车“吸”过去。
3. 空吸作用 如图2所示，一根水平放置的的T形管中的竖立部分插入下面盛有红墨水的容器D中，水平部分的A处的横截面积远大于B处的横截面积。起初，当T形管的水平部分无流体（气体或液体）流动时，T形管内压强等于大气压强，下面竖立部分中管内、外液面高度相等；当水平管中有流体流动时，流体流经B点的速度大于零，根据流速与压强的关系可知，B点的压强p小于大气压强p0 ，而容器D中红墨水液面的压强等于大气压强p0 ，因此，在竖立管的C、B两点之间产生了压强差；水平管中流体的流速越大，C、B之间的压强差越大。在压强差的作用下，红墨水将沿竖立管上升，被压入B处而被水平管中的流体带走，从A处流出。
通过增大流体流速、减小压强的原理，使流体被吸入到压强小的地方的现象，称为空吸作用。
图2 空吸作用
空吸作用在生产和生活中有广泛的应用。喷雾器、化油器、淋雨器，工业上的射流技术，医院里使用的雾化吸入器，实验室中使用的水流抽气机等，都是根据空吸作用的原理制成的。
例题2 流量计是一种测量液体流量的常用测量仪器。它由一根横截面积分别是S1 、S2的粗细不同的水平圆管与两根竖立细管连接而成，如图3所示。设S1 =3×10-3 m2 ，S2=6×10-3 m2 ，两根竖直细管中水的高度差为Δh=0.03 m 。试求粗管中水的流量是多少？
图3 流量计
解 设细管a处水的压强为p1，流速为v1；粗管b处水的压强为p2，流速为v2，则
p1= ρgh1 + p0 p2=ρgh2+p0
由于仪器水平放置，水平管中的液体高度相同，伯努利方程为
p1+ρv12 = p2+ρv22
p2-p1=ρv12-ρv22=ρ（v12-v22）
而 p2-p1=ρgh2 –ρgh1 =ρg（h2 –h1）= ρgΔh
所以有 ρgΔh=ρ（v12- v22） （1）
根据连续性方程 S1v1 = S2v2 得v2=v1 （2）
将（2）式代入（1）式，整理得 v1= S2
故粗管中的流量
Q1=S1v1= S1S2=3×10-3×6×10-3× m3/s
≈2.66×10-3 m3/s
3．课堂练习
p175 1、2、3题
（三）小结
1. 伯努利方程
p1+ρv12+ρgh1=p2+ρv22+ρgh2 或 p+ρv2+ρgh=恒量
2. 流速与压强的关系 理想流体在不均匀的水平管中做定常流动时，截
面积大处，流速小、压强大；截面积小处，流速大、压强小。
p1+ρv12=p2+ρv22 或 p+ρv2=恒量
3. 空吸作用 通过增大流体流速、减小压强的原理，使流体被吸入到压强小的地方的
现象，称为空吸作用。空吸作用有广泛的应用。
（四）作业布置
1．p175 4、5题 2．《技术物理练习册》（第3版）相关习题
（五）教学说明
1．伯努利方程是本节的重点和核心。流速与压强的关系是伯努利方程的特例，空吸作用是流速与压强关系的应用。
2．伯努利方程的物理意义是能量守恒，这一结论学生理解起来比较困难。教师简单介绍，要求学生了解即可。

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