资源简介

*4-5 工程机械中的定轴转动
一、教学目标
1．了解工程机械中的定轴转动概念。
2．了解转动惯量的概念。
3．了解角动量的概念。
4．了解角动量守恒的概念。
二、教学重点难点
重点：定轴转动的应用。
难点：转动惯量、角动量、角动量守恒的概念。
三、教学器材
挂图。
四、教学建议
教法建议
讲解，举例归纳。
教学设计方案
（一） 引入新课
上一节我们讨论了力矩平衡时，即合力矩为零时刚体的转动规律(静止或匀角速转动)。那么，当刚体所受合力矩不为零时，如上节例题3，制动轮受到摩擦力矩的作用，其转动状态的改变与合力矩有着怎样的关系呢 (刚体将在合力矩的作用下改变转动状态。)
（二） 引出课程内容
1．转动定律
如图1所示，将力F作用于原来静止的刚体上的一点mi，力臂为r，则产生力矩
M =Fr
在此力矩的作用下，刚体将产生一个角加速度，
力矩与角加速度之间满足关系式
M=Jβ
称上式为转动定律。
式中
称为刚体的转动惯量。
转动定律给出，合力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。
2．转动惯量
将转动力矩与牛顿第二定律相类比可以发现，转动惯量是反映转动物体转动惯性大小的物体量，与牛顿第二定律中的质量所起的作用相当。转动惯量具有以下性质
（1）转动惯量与刚体的质量有关；
（2）转动惯量与刚体质量的分布有关；
（3）转动惯量与转轴的位置有关。
（4）转动惯量的单位：千克二次方米，符号是kg·m2。
转动惯量的物理意义：表示物体转动惯性的大小。
例题1 如图2所示，一个轻杆，长L＝1.2 m，在杆的两端分别固定有质量为m1＝1.5 kg、m2＝2 kg的两个小球，以杆的中心为转轴，求它的转动惯量。
解 由转动惯量的定义
由题意
则
表4-1是一些常见物体的转动惯量(教师讲解)
3.角动量
角速度ω表示转动的快慢程度，转动惯量J 表示转动惯性的大小，我们用转动惯量与角速度的乘积可以描述刚体转动状态，称其为角动量。
定义：转动惯量J 和角速度ω的乘积，用L表示。
公式 L=Jω
转动惯量单位:千克二次方米, 符号是 kg.m2
例题2 一个小球质量为m，在距转轴r处以角速度ω转动（图3），求它的角动量。
解 小球的转动惯量 J=mr2
角动量 L=Jω= mr2ω
例题3 冲床的飞轮半径为50 cm，质量为900 kg，
转速为90 r/min。把飞轮看作质量集中于轮缘的环，求飞轮的转动动能。在冲压时，飞轮由于输出能量而使转速在0.05 s时间内减少为84 r/min，求飞轮在冲压过程中做的功。
解 已知 =50 cm=0.5 m =900 kg =0.05 s
=90 r/min=1.5 r/s =84 r/min=1.4 r/s
则有
角加速度
飞轮受的阻力矩
角位移可由公式求出：
所以阻力矩对飞轮做的功为
阻力矩做负功，飞轮对冲压件做正功：
在做功过程中，飞轮动能的变化为
正好与阻力矩做的功相等，说明在转动过程中，也存在一个类似平动的动能定理（）的规律。
冲压时，飞轮以牺牲较小的转速为代价对外做功，输出机械能，然后电动机会很快使它回到原来的稳定转速。飞轮是储存能量的装置，除了对外做功以外，它对保证系统稳定运行起着重要作用。
例题4 冲床在工作时，选中的飞轮对外做功输出能量。若飞轮质量为100 kg，半径为0.25 m，转速为2 000 r/min,求飞轮转动的角动量。
解 由于飞轮大部分质量集中在轮子边缘，可以把飞轮看作是质量集中在边缘的圆环，圆环的转动惯量 J=mr2＝（100×0.252）kg·m2=6.25 kg·m2
又 n =2 000 r/min=(2 000/60) r/s=(100/3) r/s
即 f =(100/3) r/s ω＝2πf=(200π/3) rad/s
则 角动量 L=Jω=6.25 kg.m2×(200π/3) rad/s＝13.08×102 kg·m2/s
4.角动量守恒定律
转动的角动量与平动的动量相对应。做平动的物体系，如果所受的合外力为零时，系统的动量守恒。同理，对于由多个物体组成的转动物体系，若物体系所受的合外力矩为零时，物体系的角动量守恒，即总的角动量保持不变。
（1）角动量守恒定理 合力矩为零时，物体的角动量保持不变。
Jω1=Jω2
（2）角动量守恒的应用举例
① 直升飞机在未发动之前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速转动，角动量守恒，机身必产生反向旋转。为了避免这种情况，在机尾上安装一个在竖直面内旋转的尾翼，以此产生水平面的推力来阻碍机身的旋转。(图4)
② 舞蹈演员、花样滑冰运动员在旋转时，为旋
转得快一些，常使双臂靠近身体，这样转动惯量较小，
可以得到较大的角速度；当他要减小转速，会把双臂
伸开，增大转动惯量，因为他不受外力矩的作用，角
动量守恒。(图5)
例题5 质量为M、半径为R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动，如图6所示。质量为m 的人站在台的边缘。最初，人和台都静止；后来，人在台的边缘开始跑动。设人的角速度(相对地面)为ω1，求转台的转动角速度(忽略转轴处的摩 图5
擦力矩和空气阻力)。
解 人和转台系统不受外力矩作用，其角动量守恒。设转台转动的角速度为ω2。
开始时刻，人、台系统的角动量
后来，人的角动量为
台的角动量为
根据角动量守恒定律，有
则
通过转动的学习知道了：描述刚体转动的许多物理量都和描述平动的物理量存在对应关系，例如力和力矩，动量和角动量。这些物理量所描述的物理规律也完全类似，例如牛顿第二定律和转动定律，动量守恒定律和角动量守恒定律。为了便于学习和研究，我们把质点运动和刚体转动中物理量、物理规律的对应关系列为表4-2和表4-3。(教师讲解表)
（三） 小结
1．转动定律 合力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。M=Fr
2．转动惯量 表示物体转动惯性的大小。
3．角动量 转动惯量J和角速度ω的乘积。L=Jω
4.角动量守恒 若物体系所受合外力矩为零，则 Jω1=Jω2
（四） 作业布置
1．寻找并用角动量守恒定律解释生活和生产中的例子。 2．教师引导学生用所学知识讨论或提问：p120～121 1、2、3大题
（五） 教学说明
只引入转动定律、转动惯量、角动量和角动量守恒的概念，主要介绍它们的工程中的应用，不作定量计算要求。
五、实践与探索 上网查人造地球卫星
我们通常说的“上网”的“网”，指的是因特网，它是英文Internet的音译，Internet的意思是国际互联网。因特网是一条连通全球的信息高速公路。所谓上网，就是登录到因特网上，去获取和发布各种信息。在网上，你可以看新闻、看电影、听音乐，可以查资料、发邮件、打电话，给计算机加上摄像头，还可以把你自己的动态图像传到四面八方……当然，通过上网，你也可以在网上与那些认识的、不认识的朋友讨论、聊天，也可以在网络游戏中杀他个昏天黑地，拼上个你死我活。
在网上查资料，非常方便。只要输入要查内容的关键词，然后点击“搜索”，成千上万条与之相关的信息便涌了出来，找出你需要的那一条，或者摘抄，或者下载、打印，我们的问题便解决了。例如，输入“中国的第一颗人造地球卫星”，便可以查出它的名称、发射时间、质量等信息（已记入表4-4）。这颗名为“东方红一号”的人造地球卫星，使中国成为世界上第5个掌握人造地球卫星技术的国家。
世界上第一颗人造地球卫星是苏联发射的“伴侣1号”。然后依次是美国、法国和日本，也发射了他们自己的人造地球卫星。上网查一查，把这4颗人造地球卫星的有关资料填入表4-4。表4-4 还有4列，平均半径r为地球半径R（取6 400 km）与近地点、远地点平均值之和，向心力F、周期T和环绕速度v均可根据前几列数据算出来。试算一算，然后填入表4-4。
表4-4 世界上前5颗人造地球卫星
国家 卫星名称 发射时间 质量m/kg 距地高度h/km 平均半径r/ km 向心力F/N 周 期 T/s 环绕速度v/（km·s-1）
近地点 远地点
中国 东方红一号 1970.4.24 173 439 2 384
图1
mi
r11d111
O
Fi
m1
m2
L
图2
图3
图4
图6
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