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第4章 圆周运动 转动
引言：第1章研究了直线运动和曲线运动中的抛体运动，在自然界中，还常见到另一种特殊典型的曲线运动——圆周运动和转动。圆周运动是十分普遍的运动形式，例：地球的自转、行星绕太阳的公转、机器的飞轮和传动轮、各种车辆的车轮等……除轴心外，其上的各点都在做圆周运动，而相应的部件在做转动。圆周运动与直线运动有什么异同？怎样描述匀速圆周运动？匀速圆周运动有哪些规律？这些就是我们这一章要解决的问题。
本章将学习质点的圆周运动和刚体的定轴转动这两种最基本的转动形式，以及万有引力和力矩。
4-1 质点的匀速圆周运动
一、教学目标
1．理解匀速圆周运动、线速度、角速度和周期的概念。
2．理解向心力、向心加速度的概念。
3．能正确计算线速度、角速度和周期。
4．掌握向心力、向心加速度的计算。
5．了解离心运动。
6. 能将理论应用于生活，学会思考、分析、解决问题。
二、教学重点难点
重点：1．匀速圆周运动、线速度、角速度和周期之间的关系及计算。
2．向心力、向心加速度的方向及计算。
难点：1．匀速圆周运动的线速度方向。
2．匀速圆周运动的向心力、向心加速度的方向及计算。
3．匀速圆周运动是一种变速运动。
三、教学器材
向心力演示仪（亦可用细绳、弹簧秤和小球自制演示装置）。
四、教学建议
教法建议
讨论、演示实验、讲解。
教学设计方案
（一） 引入新课
机械运动的基本形式 平动
转动
提问：请同学们观察自己的手表，回答：秒针端点的运动轨迹是什么？
转动：物体上的所有的点均绕同一点（或同一直线）做圆周运动，这种运动称为转动。
转动的飞轮上各点、钟表指针上的各点、高速旋转砂轮上的各点、月球绕着地球的运动、地球的自转、行星绕太阳的公转以及行驶的车辆转弯时，这些物体所做的运动都是转动。
（二） 引出课程内容
提问：(1) 秒针端点运动有怎样的特点？
(2) 该点运动的快慢是否随时间的变化而变化？
通过分析图1总结得：在任何相等的时间内所通过的弧
长均相同。从而总结得出匀速圆周运动的概念。
1．匀速圆周运动
如果质点沿圆周运动的快慢不变（即在相等的时间内所
通过的弧长都相等），这种运动就称为匀速圆周运动。
质点在相等的时间内通过了相等的弧长s，同时质点与转动中心（即圆心）的连线（即半径）也转过了相同的圆心角。
2．描述匀速圆周运动的几个物理量
（1）周期：质点沿圆周运动一圈所用的时间。常用T表示。
周期的单位：秒，符号是s。T越大，说明质点运动越慢，T越小，说明质点运动越快。
（2）频率：质点在一秒内转过的周数称频率。常用f来表示。
频率的单位：赫兹, 符号是Hz 。1 Hz＝1 s-1
周期与频率的关系:
f越大，说明质点运动越快，f越小，说明质点运动越慢。
（3）转速（转动频率）：质点在单位时间内转过的圈数数称转速。常用n表示。
转速的单位: 转每分,符号是r/min。若用s作时间单位,转速的单位为r/s。
换算关系
1 r/s＝1 s-1 1 r/s＝60 r/min 1 r/min＝（1/60） r/s
n越大，说明质点运动越快，n越小，说明质点运动越慢。
（4）角速度：在匀速圆周运动中，连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间之比，称为角速度，常用ω表示。
角速度的单位:弧度每秒，符号是rad/s 。
如图2所示，角速度与周期和频率的关系为：
通过对匀速圆周运动概念的分析得出：匀速圆周运动是角速度不变的运动。
（5）线速度：质点做曲线运动的速度称为线速度。
做匀速圆周运动的质点，在圆周上任一点的线速度方向就是过该点的切线方向。
根据匀速圆周运动的定义，质点沿圆周运动通过的弧长与所用时间的比值为线速度的大小，用来表示。
线速度的单位:米每秒,符号是m/s。
请学生分析匀速圆周运动的速度特点（先让学生分析线速度的大小特点，再判断线速度是变量）。
在匀速圆周运动中，根据线速度的定义可知：，即线速度的大小不变。
线速度的方向是质点在某点的切线方向，质点在圆周的不同位置速度的方向各不相同，线速度的方向时刻改变，所以线速度是个变量。
结论：匀速圆周运动的速度大小不变，速度方向时刻变化，是一种变速运动。
根据 和 得出： (让学生推导)。
例题1 一个同学骑自行车做匀速直线运动。根据他的测量，车轮转10 圈用了6 s时间，若车轮的半径是28 cm，求：
（1）车轮转动的周期、频率、转速和角速度；
（2）车轮边上一点的线速度；
（3）这个同学骑车前进的速度；
解 已知 N=10 t=6 s R=28 cm=0.28 m
（1）
转速以r/s作单位时，其数值与频率相等。
（2）车轮边缘的线速度
（3）车轮边缘上的点转一圈，车前进一个圆周长，所以，车前进的速度为
3．向心力
由于匀速圆周运动的线速度大小不变、方向时刻改变，匀速圆周运动是变速曲线运动。力是改变物体运动状态的原因。匀速圆周运动的物体所受合外力是变力，它的大小和方向有何特点？加速度又如何呢？
如：体育运动中的链球运动（见图3）
用一根链子拴一个小球，使小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当球达到一定速度时，松手让球抛出。请学生分析回答问题
第一：链球受力情况。
第二：松手位置与链球抛出的方向关系。
又如：把绳子拴着的小球悬挂起来，推动
小球，使其在水平面内做匀速圆周运动，如图4所
示。教师引导学生回答问题：
第一 小球受力情况及合力的方向。
第二 如果剪断绳子，小球会怎样运动？
(指向圆心。拉力是小球所受三个力的合力。)
提问：如果剪断绳子，小球会怎样运动？
结论：小球在竖直方向没有运动，因此，绳子的拉力在竖直方向的分力和重力彼此平衡，拉力在水平方向的分力沿半径方向指向圆心。若剪断绳子，小球沿切线方法抛出。
可见，做匀速圆周运动的物体，不管它受什么力作用，它的合力始终是沿着半径指向圆心的，这个沿着半径指向圆心的力称为向心力。正是因为向心力的存在，做匀速圆周运动物体的速度的方向才会不断的改变，使其沿着圆周运动，而不会沿着切线飞出去。
（1）向心力的定义：
做圆周运动的物体，受到的沿着半径指向圆心的力，称为向心力。
向心力的方向：沿半径指向圆心。如骑摩托车转弯（图5）。
理论和实验证明，做匀速圆周运动的质点所需的向心力F 与质点
的质量m、线速度以及圆半径R 有关。
（2）向心力的大小：
向心力演示仪演示实验（图6）：
① 保持、R 不变时，测量F 和m 的大小。
结论：F 与m 成正比。
② 保持R、m 不变时，测量F 和的大小。
结论：F 与 成正比。
③ 保持m 和不变时，测量F 和R 的大小。
结论：F 与R 成反比。
综合上述实验结果，可得向心力的表达式。
或
若力、质量、线速度和半径都用SI单位，则比例系数为1，向心力的表达式为：
或
因为
所以
（3）向心力的性质：分析下面的例子（图7）。
①向心力是拉力，是弹性力。 ②地球围绕太阳转动，向心力是万有引力。
③汽车在弯道处转弯，向心力是摩擦力。 ④向心力是重力和拉力的合力。
⑤摩托车赛车转弯。 ⑥弯道上重力和支持力的合力是使火车和摩托车转弯的向心力。
结论：① 向心力不是重力、弾力、摩擦力之外的其他性质的力。
② 向心力是做圆周运动的物体所受力的合力。
例题2 火车转弯处弯道半径R=800 m，内外轨高h=73 m，标准轨距d=1.435 m,求火车通过弯道是的速度（图8）。
解 由图8知，外轨比内轨高时，火车受到的支持力和重力不再平衡，合力提供火车转弯时所需的向心力。
将
代入上式，得
4. 向心加速度
由向心力产生的加速度称为向心加速度。向心力的方向也是沿着半径指向圆心的。向心力和向心加速度满足牛顿第二定律。根据 和 或可推出
或
向心加速度和直线运动中的加速度本质是一样的，只不过在匀变速直线运动中，加速度是表示速度大小的变化率，而在匀速圆周运动中，速度的大小不变，向心加速度是表示速度方向变化的快慢。
向心加速度又称为法向加速度。
例题3 一质量为m的车行使在桥上，设走到桥中央时，车的速度为，下列两种不同的情况下，求车施加于桥的压力。
（1）桥面是凸形的（如图9），半径为R；
（2）桥面是凹形的（如图10），半径为R。
解 汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，
摩擦力和牵引力的合力为零，重力和支持力的合力的
方向沿着半径指向圆心。取指向圆心的方向为正方向。
（1）对于凸形桥面
根据牛顿第三定律
其方向向下。
（2）对于凹形桥面(图9)
根据牛顿第三定律
从解题结果可知：当汽车通过桥中央时，凸形桥受到的压力比汽车本身受到的重力小；凹形桥受到的压力比汽车本身受到的重力大。
5.离心运动
在速度不变的条件下，如果物体受到的合外力大于它所需的向心力，其运动轨道会向内侧偏移（回转半径R变小）；如果合外力小于所需的向心力，物体就会逐渐远离圆心，其运动轨道会向外侧偏移（R变大）；如果向心力消失，物体就会沿切线方向飞出去，离圆心越来越远 。
定义 做匀速圆周运动的物体，在所受合外力不足以提供圆周运动所需向心力（包括合外力为零）的情况下，做远离圆心的运动，称为离心运动。
举例 在雨中，快速旋转伞柄时，沿伞的边缘飞出去的水滴的运动（参看图1-20）；田径比赛中，链球脱手后的运动等都是离心运动。
离心机械 离心干燥机、离心沉淀机、离心式水泵、离心球磨机（参看图4-19）等。“棉花糖”的制作方法也应用了离心运动的原理。
离心现象有时会造成危害，例如，在水平路面上行驶的汽车，转弯时所需的向心力来源于路面所提供的静摩擦力（图4-7）。如果转弯时速度过大，所需的向心力大于路面所能提供的最大静摩擦力，汽车将做离心运动，冲出公路造成事故。因此，在转弯处，车辆行驶不允许超过规定的速度。
注意 做离心运动的物体，只是由于合外力不足以提供向心力，而离开了圆轨道，并不存在所谓“离心力”。物体在合外力的作用下，进行离心运动。
例4 一飞轮直径为70 cm，转速为3 000 r/min，若飞轮边缘上有一质量为150 g的螺钉，则作用在螺钉上的向心力有多大？
解 R=70 cm×=35 cm=0.35 m n=3 000 r/min=50 r/s m=150 g=0.15 kg
ω=2πn=2π×50 rad/s=100π rad/s
F=mω2R=0.15×（100π）2×0.35 N=5 176.3 N
螺钉所受重力 G=mg=0.15×9.8 N=1.47 N
螺钉所需向心力为其重力的3 500多倍！可见高速转动物体的材料强度及各部分间结合的牢固程度十分重要。
（三） 小结
1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的弧长相同，速度的大小不变，这种运动就称为匀速圆周运动。
2．描述匀速圆周运动快慢的物理量以及它们之间的关系：
， ，
3．向心力
方向：沿着半径指向圆心的力。
它不是一种新的类型的力，任何一种力或几个力的合力都可以作为向心力。
大小： 或
4．向心加速度
方向：沿着半径指向圆心。
大小：或
向心加速度是表示速度方向变化的快慢的物理量。
5. 离心运动 做匀速圆周运动的物体，在所受合外力不足以提供圆周运动所需向心力（包括合外力为零）的情况下，做远离圆心的运动，称为离心运动。
（四） 作业布置
1．p99 2、 5、6题 2．《技术物理练习册》（第3版）相关习题
（五） 教学说明
1. 在匀速圆周运动中，速度、加速度、向心力都是矢量，而三个量的特点都是大小不变、方向变化，这是学生容易忽视的问题，在教学中应突出这三个量的矢量性。
2. 使学生理解，直线运动和曲线运动的加速度本质是一样的，其区别仅在于效果不同。（改变速度的数值或改变速度的方向）。
图3
图4
图5
图6
F
F
FN
G
F
图7
图8
FN
G
图9
G
FN
图10
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