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3.2平面直角坐标系
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据P点的坐标符号，即可得出答案．
【详解】解：∵点，
∴P点所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
2．已知点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．6
【答案】B
【分析】根据在y轴上的点的横坐标为0解答即可．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查在坐标轴上的点的坐标特征．掌握在x轴上的点的纵坐标为0；在y轴上的点的横坐标为0是解题关键．
3．若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据轴上的点到轴的距离为3，可得点的横坐标为，进而根据轴上点的纵坐标为0可得具体坐标．
【详解】解：轴上的点到轴的距离为3，
点的横坐标为，
轴上点的纵坐标为0，
点的坐标为或，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：轴上点的纵坐标为0．
4．在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据轴可知P、Q两点横坐标相同，再由可得出Q点的坐标．
【详解】解：∵，轴，
∴Q的横坐标为1，
∵点Q在x轴下方，，
∴点Q的坐标为．
故选：C
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作辅助线；证明，得到，；求出、的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴于点；

四边形为正方形，
，而，
，
；
在与中，
，
，
，；
由题意得：，而，，
，，，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以坐标与图形的关系、全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
6．在平面直角坐标系中，点，点，且在的左边，点，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4，那么的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出a的取值范围，即可解答．
【详解】解：如图，由图可知，当时，在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4，
故选：D．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，分析题目，作出图形，找出符合条件的点．
7．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，坐标为，
点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为，
点第三次关于轴对称后在第四象限，坐标为，
点第四次关于轴对称后在第一象限，坐标为，即点回到原始位置，
每四次对称为一个循环组依次循环，
，
经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．已知点在第四象限，化简（ ）
A．8 B．2a C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组求出a的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
，
∴，
∴，
∴原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练正确求出a的范围，本题属于基础题型．
9．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设交轴于点，由四边形是矩形与折叠的性质，证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长，进而得出，勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，设交轴于点，

∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
设到轴的距离为，
∴，
即，
则点的横坐标为．
故选：D．
【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
10．在平面直角坐标系中，直线l的解析式为．过点作轴，与直线l交于点，以原点O为圆心，以长为半径画弧交x轴于点；再作轴，交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…按照这样的作法进行下去，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入得，，再利用勾股定理可得，进而可得的坐标为：，同理可得、的坐标，根据其规律即可求解．
【详解】解：，
把代入得，，
在中，
，
的坐标为：，
同理可得：，，
则，
故选C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中根据规律求点的坐标、勾股定理，根据题意找出其规律是解题的关键．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，一点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，再根据坐标轴中第二象限点的横坐标和纵坐标的正负进行确定即可．
【详解】解：∵第二象限内有一点M，一点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．
12．已知，，则在平面直角坐标系中，点所在的象限为 ．
【答案】第四象限
【分析】根据题意易得a、b同为正数，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴a、b同为正数，
∴点所在的象限为第四象限；
故答案为：第四象限．
【点睛】本题主要考查点所在的象限，熟练掌握点所在象限的坐标特征是解题的关键．
13．点在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据点在轴上，则点的横坐标为零，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，掌握点在坐标轴上的特点是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出坐标系和图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，第四个顶点的坐标为

故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
15．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在第一象限（不与点C重合），且与全等，点D的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据点D在第一象限（不与点C重合），且与全等，得到，得到，，画出图形，利用数形结合的思想求解即可．
【详解】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且与全等，
∴，
∴，，如图所示：

由图可知：；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形．利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
16．已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 或 ．
【答案】
【分析】根据点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等得到或，求解即可得到答案．
【详解】解：点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，
或，
解得：或，
当时，点的坐标是，
当时，点的坐标是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
17．已知有意义，则在坐标系中点位于第 象限．
【答案】三
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零求出m，n的正负，然后可得答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，，
∴，，
∴点位于第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平面直角坐标系，熟练掌握二次根式有意义的条件，求出m，n的正负是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如→→→→→根据这个规律探索可得，第100个点的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据图中点的坐标，发现第n列有n个整点，最下边的点为，最上边的点为，n是奇数时，点的排列自上而下，n是偶数时，点的排列自下而上，然后根据此规律进行求解．
【详解】解：由图可得：第一列有1个整数点，最下边的点为，
第二列有2个整数点，最下边的点为，最上边的点为，点的排列自下而上，
第三列有3个整数点，最下边的点为，最上边的点为，点的排列自上而下，
第四列有4个整数点，最下边的点为，最上边的点为，点的排列自下而上，
…
∴第n列有n个整点，最下边的点为，最上边的点为，n是奇数时，点的排列自上而下，n是偶数时，点的排列自下而上，
∵，
∴第100个点在第14列，自下而上第9个整数点，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标的规律探索问题，观察图形得到点的坐标的变化规律是解题关键．
19．已知点：
（1）若点P在x轴上，则 ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
【答案】 或/或
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值；
（2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数，进而得出a的值．
【详解】解：（1）∵点在x轴上，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，，，动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着循环移动，动点M在第2023秒时的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得，的长，从而求出矩形的周长，进而求出动点M运动一周需要7秒，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：，，，，
，，
，
秒，
∴M运动一周需要7秒，
，
∴第2023秒动点M在处．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，规律型：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
三、解答题
21．已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大3；
(3)点到轴的距离为2，且在第四象限．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可；
（2）根据纵坐标比横坐标大列方程求解的值，再求解即可；
（3）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解．
【详解】（1）解：∵点在轴上，
∴，解得，
∴，
∴；
（2）解：∵，点的纵坐标比横坐标大3，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
（3）解：∵点到轴的距离为2，，
∴，
∴或，
∵点在第四象限，
∴，
解得：，
∴，
∴；
【点睛】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键，（3）要注意点在第四象限．
22．在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中，，满足关系式，；
(1)求，，的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积，若四边形的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)；
【分析】（1）先根据非负数的性质求得a、b的值，再代入即可求出c的值；
（2）由于点在第二象限，所以四边形的面积的面积的面积；先根据三角形的面积公式求出的面积，再由四边形的面积与的面积相等列出关于m的方程，解方程求出m的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（2）如图，

由题意：，
∵，点P在第二象限，
∴，
又，
由题意，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，（1）从绝对值和算术平方根大于等于0算起，从而得到．（2）由三角形面积和四边形面积相等着手，三角形面积很容易得到，从而得到m的值．
23．(1)在平面直角坐标系中，描出下列个点：
，，；

(2)顺次连接，，，组成，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）在坐标系中描出点，，；
（2）根据题意，顺次连接，，，根据割补法求三角形的面积，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，

（2）如图所示，取点，连接，

∴．
【点睛】本题考查了在坐标系时中描点，坐标与图象，数形结合是解题的关键．
24．如图，，点B在x轴上，且．

(1)求点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)6；
(3)存在，或．
【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：点B在点A的右边时，，
点B在点A的左边时，，
所以，B的坐标为或；

（2）的面积；
（3）存在，设点P到x轴的距离为h，
则，
解得，
点P在y轴正半轴时，P，
点P在y轴负半轴时，P，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查坐标与图形．解题的关键是掌握坐标轴上的点的特征，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
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3.2平面直角坐标系
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．6
3．若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P为（ ）
A． B．或 C． D．或
4．在平面直角坐标系中，，点Q在x轴下方，轴，若，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点，点，且在的左边，点，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4，那么的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点在第四象限，化简（ ）
A．8 B．2a C．2 D．
9．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，连接，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置．若，则D的横坐标是( )

A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，直线l的解析式为．过点作轴，与直线l交于点，以原点O为圆心，以长为半径画弧交x轴于点；再作轴，交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…按照这样的作法进行下去，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，一点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点M的坐标是 ．
12．已知，，则在平面直角坐标系中，点所在的象限为 ．
13．点在轴上，则点的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 ．
15．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在第一象限（不与点C重合），且与全等，点D的坐标是 ．

16．已知点的坐标，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 或 ．
17．已知有意义，则在坐标系中点位于第 象限．
18．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如→→→→→根据这个规律探索可得，第100个点的坐标是 ．

19．已知点：
（1）若点P在x轴上，则 ；
（2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，，，动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着循环移动，动点M在第2023秒时的坐标为 ．

三、解答题
21．已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大3；
(3)点到轴的距离为2，且在第四象限．
22．在平面直角坐标系中，已知三点，，，其中，，满足关系式，；
(1)求，，的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积，若四边形的面积与的面积相等，请求出点的坐标．
23．(1)在平面直角坐标系中，描出下列个点：
，，；

(2)顺次连接，，，组成，求的面积．
24．如图，，点B在x轴上，且．

(1)求点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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