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(总课时17)§2.5二次函数与一元二次方程
【学习目标】理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系．
【学习重难点】用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力
【导学过程】
一.知识回顾
1．一元二次方程的一般形式是______________________________，
根的判别式是△=_______，
当△>0时，方程有______________实数根；
当△=0时，方程有______________实数根；
当△<0时，方程____实数根.
一元二次方程的求根公式是________________________发.
2．二次函数的一般式是________________________________，顶点坐标是________________．
3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是________，开口方向是______，顶点坐标是______________．
4.抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点为________________.
5.已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并经过点(0，1)，则抛物线的表达式为________.
二.探究新知
【探究一】：二次函数与一元二次方程
1.求抛物线与x轴的交点坐标
引例1：已知二次函数y＝x2－2x－3，求它的图象与x轴交点的坐标．
解：y＝(x－3)(x＋1)，设(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝___，x2＝___，
∴它的图象与x轴交点的坐标是________________．
方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数所对应的一元二次方程的解．
练习1.方程2x2-5x+2=0的根为x1=___，x2=___.二次函数y=2x2-5x+2与x轴的交点是____________．
2.判断抛物线与x轴交点的个数
引例2.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝____________________________________.∵_________≥0，
∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.
（2）解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝___，x2＝___.
∵它们的横坐标都是整数，∴m为正整数___或___.
方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0时抛物线与x轴有交点．
练习2.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1（k≠3）的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：∵k≠3二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴所对应的一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1=0的判别式Δ＝________________________≥0.
∴k______且k≠3.
【探究二】：利用二次函数解决运动中的抛物线问题
引例3.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式是：__________________；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑___米(取2＝5)
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．
步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；
(2)应用有关函数的性质作答．
三.典例与练习
例1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t-5t2．当h=20m时，小球的运动时间为（ ）
A．20s B．2s C．3s D．4s
练习3.方程x2-3x+2=0的根为x1=1，x2=2．二次函数y=x2-3x+2与x轴的交点是____________．
例2.抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
练习4.（2020·河北省）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为____________．
练习5.如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，
（1）分别求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．
四.课堂小结
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标就是它所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解；
2.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解。
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
（1）有两个交点 b2-4ac>0 （2）有一个交点 b2-4ac=0 （3）没有交点 b2-4ac<0
五.分层过关
1.若二次函数y=a(x-1)2+k的图像与轴交于点(-2,0)，则图像与轴的另一个交点为（ ）
A．(0,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
2.已知二次函数y=a(x-1)2-2x+1的图象与轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a<2 B．a>2 C．a<2且a≠1 D．a<-2
3.抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为___．
4.二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是
____________．
5.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m，0)，若26.已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上
（1）求m、n的关系式；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．
思考题：已知二次函数y=-x2+4x+4．
（1）该函数的图象与x轴的交点坐标是：__________________．
（2）已知A(-9，y1)，B(1，y2)，C(，y3)都在该函数的图象上，则y1__y2__y3(填写“>，=，<”)．
（3）把该函数的图象沿y轴向什么方向平移多少个单位长度后，与x轴只有一个公共点．
图1
图2
图3
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(总课时17)§2.5二次函数与一元二次方程
一.选择题：
1.抛物线y =2x2＋3与两坐标轴的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.如图1的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ） A. 1 B. -1 C. -2 D. 0
4.函数y=ax2+bx+c 的图像如图3所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根
5.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A. -3 B. 3 C. -6 D. 9
二.填空题：
6.抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是_____.
7.若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______________．
8.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标是__________
9.已知二次函数y=2x2-3，若当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为___.
10.直线y=3x-3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是_____.
三.解答题：
11.已知二次函数y=-x2+4x-3，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C 两点.求△ABC的周长和面积.
12.已知抛物线y= -x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
四.提高题：
13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+6x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
(1)点P，C的坐标是：_______________；
(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
图3
图2
图4
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(总课时17)§2.5二次函数与一元二次方程
一.选择题：
1.抛物线y =2x2＋3与两坐标轴的公共点个数为（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.如图1的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（C）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（B） A. 1 B. -1 C. -2 D. 0
4.函数y=ax2+bx+c 的图像如图3所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是（D）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根
5.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（B）
A. -3 B. 3 C. -6 D. 9
二.填空题：
6.抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）
7.若抛物线y=kx2－2x＋l与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＜1，且k≠0．
8.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标是(－，0)
9.已知二次函数y=2x2-3，若当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为-3.
10.直线y=3x-3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是1.
三.解答题：
11.已知二次函数y=-x2+4x-3，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C 两点.求△ABC的周长和面积.
解：令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.S△ABC=0.5AC·OB=0.5×2×3=3.
12.已知抛物线y= -x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
解：（1）∵△=m2-4×（-1）（7-2m）=m2-8m+28=（m-4）2+12＞0，∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），∴-x2+mx+（7-2m）=0的两个根是x1，x2，
由AB=4得|x2-x1|=4，∴（x2-x1）2=16，即（x1+x2）2-4x1x2=16，由根与系数关系得x1+x2=m，x1x2=2m-7
∴m2-4（2m-7）=16即m2-8m+12=0解得m=2或m=6，∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，∴m＜3.5，∴m=6舍去，即m=2，∴抛物线的解析式为y= -x2+2x+3．
四.提高题：
13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+6x-5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
(1)点P，C的坐标是：P(3,4)，C（0，-5）；
(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解（2）令y=0，-x2+6x-5=0，解得x=1或5，∴A(1,0),B(5,0)
设直线PC的解析式为y=kx+b，则有，解得
∴直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则，
设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD=2/3,∴BE=4/3
或，则直线PE的解析式为，，
直线的解析式为，，
综上所述，满足条件的点，．
图1
图3
图2
图4
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(总课时17)§2.5二次函数与一元二次方程
【学习目标】理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系．
【学习重难点】用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力
【导学过程】
一.知识回顾
1．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，其中a≠0)，
根的判别式是△=b2-4ac，
当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△<0时，方程无实数根.
一元二次方程的求根公式是(b2-4ac≥0)
2．二次函数的一般式是y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，其中a≠0)，顶点坐标是 ．
3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是直线x=-1，开口方向是向上，顶点坐标是（-1，-5）．
4.抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点为（2，0）（3，0）.
5.已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并经过点(0，1)，则抛物线的表达式为y=-x2+1.
二.探究新知
【探究一】：二次函数与一元二次方程
1.求抛物线与x轴的交点坐标
引例1：已知二次函数y＝x2－2x－3，求它的图象与x轴交点的坐标．
解：y＝(x－3)(x＋1)，设(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，
∴它的图象与x轴交点的坐标是(3，0)，(－1，0)．
方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数所对应的一元二次方程的解．
练习1.方程2x2-5x+2=0的根为x1=0.5，x2=2.二次函数y=2x2-5x+2与x轴的交点是(0.5,0)(2,0)．
2.判断抛物线与x轴交点的个数
引例2.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.
（2）解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝2/m.
∵它们的横坐标都是整数，∴m为正整数1或2.
方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式Δ≥0时抛物线与x轴有交点．
练习2.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1（k≠3）的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：∵k≠3二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴所对应的一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1=0的判别式Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0.
∴k≤4且k≠3.
【探究二】：利用二次函数解决运动中的抛物线问题
引例3.如图1，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式是：y＝－x2＋x＋1；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取4＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米(取2＝5)
解：(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0，
所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．
所以足球第一次落地距守门员约13米；
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件．
步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；
(2)应用有关函数的性质作答．
三.典例与练习
例1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=20t-5t2．当h=20m时，小球的运动时间为（ B ）
A．20s B．2s C．3s D．4s
练习3.方程x2-3x+2=0的根为x1=1，x2=2．二次函数y=x2-3x+2与x轴的交点是(2,0),(1,0)．
例2.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ A ）
A．3 B．2 C．1 D．0
练习4.（2020·河北省）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝3．
练习5.如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，
（1）分别求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．
解：（1）在y＝x2﹣4x+3中，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，则A（1，0）、B（3，0），
当x＝0时，y＝3，则C（0，3）；
（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．故△ABC的面积为：×（3﹣1）×3＝3．
四.课堂小结
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标就是它所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解；
2.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解。
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
（1）有两个交点 b2-4ac>0 （2）有一个交点 b2-4ac=0 （3）没有交点 b2-4ac<0
五.分层过关
1.若二次函数y=a(x-1)2+k的图像与x轴交于点(-2,0)，则图像与x轴的另一个交点为（ D ）
A．(0,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
2.已知二次函数y=a(x-1)2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（C ）
A．a<2 B．a>2 C．a<2且a≠1 D．a<-2
3.抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为_2．
4.二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣2，0）、B（4，0），则一元二次方程ax2+bx＝0的根是
x1＝0，x2＝2．
5.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m，0)，若26.已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上
（1）求m、n的关系式；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．
解：（1）将点A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得：1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1，整理得：n＝2m，
故m、n的关系式为：n＝2m；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴=0，∵n＝2m，∴代入上式化简得，4m2+12m+5＝0，解得m＝﹣2.5或m＝﹣0.5，当m＝﹣2.5时，n＝﹣5，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+4，
当m＝﹣0.5时，n＝﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2，∴抛物线的解析式为y＝x2或y＝x2﹣4x+4．
思考题：已知二次函数y=-x2+4x+4．
（1）该函数的图象与x轴的交点坐标是：(，0)，(，0)．
（2）已知A(-9，y1)，B(1，y2)，C(，y3)都在该函数的图象上，则y1，=，<”)．
（3）把该函数的图象沿y轴向什么方向平移多少个单位长度后，与x轴只有一个公共点．
解：（3）
∴顶点坐标为（2，8）
∴抛物线沿y轴向下平移8个单位长度后，顶点在x轴上，即得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
图1
图2
图3
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