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(总课时18)§2.6二次函数复习(1)
【学习目标】理解“一个概念”，掌握“一个性质”，灵活运用“两个关系”解决一些实际问题．
【学习重难点】掌握二次函数的图象及性质，能把相关应用问题转化为数学问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.基本概念：
(1)二次函数的定义：如果y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)那么y叫做x的二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，抛物线与x轴的交点坐标是(x1,0)和(x2,0).
(3)用待定系数法求函数表达式：
①已知图象经过三个点的坐标，通常选用一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).
②已知图象经过顶点或对称轴，通常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
③已知图象与x轴交点坐标，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.图象与性质：
（1）抛物线的五大要素：开口方向，顶点坐标，对称，最值，增减性.
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性
y=ax2 a>0开口向上a<0开口向下 （0，0） x=0 y=0 a>0时在对称轴左侧减，在对称轴右侧增.a<0时在对称轴左侧增，在对称轴右侧减.
y=ax2+c （0，c） x=0 y=c
y=a(x-h)2 （h，0） x=h y=0
y=a(x-h)2+k （h，k） x=h y=k
y=ax2+bx+c (- ，) x=- y=
3.两个关系：
（1）抛物线的位置与二次函数各项系数的关系
①a决定了抛物线开口方向和大小./a/越大，开口越小.
②a,b共同决定对称轴的位置.左同右异.
③c决定抛物线与y轴交点的位置.上正下负.
（2）二次函数与一元二次方程的关系（y=ax2+bx+c与ax2+bx+c=0,a≠0）
①抛物线与x轴的交点横坐标是所对应的一元二次方程的两个根；
②抛物线与x轴有两个交点 △>0
③抛物线与x轴有一个交点 △=0
④抛物线与x轴无交点 △<0
二.基础知识练习
1.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8），此抛物线的对称轴是直线（D）
A. x=4 B. x=3 C. x=-5 D. x=-1
2.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(B)
A． m＞1 B． m＞0 C． m＞－1 D．－1＜m＜0
3.对于抛物线y＝2x2－12x＋17,下列结论正确的是( B ).
A．对称轴是直线x＝3,有最大值为1 B．对称轴是直线x＝3,有最小值为－1;[来源:Z+
C．对称轴是直线x＝－3,有最大值为1 D．对称轴是直线x＝－3,有最小值为－1;
4.已知抛物线y＝x2－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2020＝2021.
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的图象如图1所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＜0；③4a－2b＋c＜0；④b＝－2a，其中结论正确的是( B )
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
6.已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是1,那么m的值是 .
7.抛物线y＝(x－2)2＋5的对称轴是直线x=2.开口向向上.顶点坐标（2，5）.
8.若关于x的函数y＝kx2＋2x－1图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或-1．
三.典例练习
例1.如图2,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝．
练习1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图3所示，下面五个代数式：
ab,ac,a-b+c,b2-4ac,2a+b中，值大于0的有（ A ）个。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例2.如图4，已知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．
(1)直接写出抛物线的解析式y=x2﹣4x+2；
(2)若S△APO＝1.5，求矩形ABCD的面积．
解：（2）由S△APO=1.5可得：0.5OA |xp|=1.5，即0.5×2×|xp|=1.5
∴xp=1.5（负舍）将xp=1.5代入抛物线解析式得：yP=﹣1.75
过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为E，DE=AD-2-1.75，
∵△DEP∽△DAB∴=,解得AD=6，∴S矩形ABCD=24．
练习2.若抛物线y=x2-2x+c的顶点在x轴上，则c=1.
四.课堂小结
1.理解概念：①二次函数的二次项系数不为零，②a决定开口方向和宽窄，
2.掌握性质：二次函数图象的五大要素，
3.熟悉两种关系：①a,b,c与二次函数图象位置的关系，
②二次函数图象与x轴交点的个数与所对应的一元二次方程根的个数关系.
五.分层过关
1.二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为(D)
A． x＝4 B． x＝－4 C． x＝2 D． x＝－2
2.当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为(C)
A.－ 　　　B.或－ 　　　C.2或－ 　　　 D.2或－或－
3.已知二次函数y＝ax2＋bx+c的图象如图5，下列结论：
①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc<0;④b=2a；⑤△<0.正确的个数是 ( B )
A 4 个 B 3个 C 2 个 D 1个
4.已知二次函数y＝x2＋bx+3的图象的顶点的横坐标是1，则b=-2.
5.对于二次函数y＝－x2＋2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x＝1；②设y1＝－x12＋2x1，y2
＝－x22＋2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是(0，0)和(2，0)；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的有 ① ③④ .
6.如图6，抛物线y＝x2-bx+c交x轴于点A(1,0)，交y轴于点B，对称轴是直线x=2.
（1）直接写出抛物线的解析式y=x2-4x+3；
（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解（2）设C点为抛物线与x轴的另一个交点，连接BC，与x=2交于点P，
∵A（1，0）∴PA=PC，C（3，0）∴PA+PB+AB=BC+AB，即△PAB的周长为最小值.∵x=0时，y=3，∴B（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，，∴.∴.
当x=2时，y=-2+3=1∴P(2,1).即存在点P，使△PAB的周长最小，点P坐标为（2，1）.
思考题：
7.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）
图1
图2
图3
图4
E
图5
图6
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(总课时18)§2.6二次函数复习(1)
一.选择题：
1.若是二次函数，则的值是（ B）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
2.对于二次函数y=3(x－1)2+2的图象，下列说法正确的是（ C ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=－1
C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点
3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（C）
A. A B. B C. C D. D
4.已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列（D ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
5.如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在
（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．
下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（D）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二.填空题：
6.已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y1＜y2＜y3．
7.已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，6），并且该图象经过点（0，3）表达式为y＝-3x2+6x+3
8.函数y=﹣3（x+2）2的开口向下，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，0）．
9.若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为5．
10.如图2，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为（1.5，3.125 ）．
三.解答题:
11.如图3，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
解（2）由D为抛物线顶点，得到D（1，4），
∵抛物线与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），∴BO=1，
∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD=
12.如图4，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣0.5x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）直接写抛物线的表达式y＝﹣0.5x2+1.5x+2；
（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，
请求出点E的坐标；
解：（2）如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，∴4k+2＝0，∴k＝﹣0.5，
∴直线AC的解析式为y＝﹣0.5x+2，
设点E（x，﹣0.5x2+1.5x+2），则F（x，﹣0.5x+2），
则EF＝﹣0.5x2+1.5x+2﹣（﹣0.5x+2）＝﹣0.5x2+2x，
∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝0.5EF OA＝0.5（﹣0.5x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4．
四.提高题：
13.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.
图1
图2
图3
图4
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(总课时18)§2.6二次函数复习(1)
一.选择题：
1.若是二次函数，则的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
2.对于二次函数y=3(x－1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=－1
C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点
3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（ ）
A. A B. B C. C D. D
4.已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
5.如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二.填空题：
6.已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是____________．
7.已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，6），并且该图象经过点（0，3）表达式为__________.
8.函数y=﹣3（x+2）2的开口______，对称轴是__________，顶点坐标为__________
9.若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为__．
10.如图2，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，
△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为________________．
三.解答题:
11.如图3，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式______________；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
12.如图4，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣0.5x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）直接写抛物线的表达式______________；
（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，
请求出点E的坐标；
四.提高题：
13.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为____________________________.
图1
图2
图3
图4
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(总课时18)§2.6二次函数复习(1)
【学习目标】理解“一个概念”，掌握“一个性质”，灵活运用“两个关系”解决一些实际问题．
【学习重难点】掌握二次函数的图象及性质，能把相关应用问题转化为数学问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.基本概念：
(1)二次函数的定义：如果y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)那么y叫做x的二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：____________________ ②顶点式：____________________
③交点式：____________________________________________________________.
(3)用待定系数法求函数表达式：
①已知图象经过三个点的坐标，通常选用_______________________.
②已知图象经过顶点或对称轴，通常选用_______________________.
③已知图象与x轴交点坐标，通常选用__________________________.
2.图象与性质：
（1）抛物线的五大要素：开口方向，顶点坐标，对称，最值，增减性.
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性
y=ax2 a>0开口____a<0开口____ ____ ____ ____ a>0时在对称轴左侧__，在对称轴右侧__.a<0时在对称轴左侧__，在对称轴右侧__.
y=ax2+c ____ ____ ____
y=a(x-h)2 ____ ____ ____
y=a(x-h)2+k ____ ____ ____
y=ax2+bx+c ________________ ______ _______
3.两个关系：
（1）抛物线的位置与二次函数各项系数的关系
①a决定了抛物线开口方向和大小./a/越大，开口____.
②a,b共同决定对称轴的位置.__同__异.
③c决定抛物线与y轴交点的位置.__正__负.
（2）二次函数与一元二次方程的关系（y=ax2+bx+c与ax2+bx+c=0,a≠0）
①抛物线与x轴的交点横坐标是所对应的一元二次方程的两个根；
②抛物线与x轴有两个交点 △__0
③抛物线与x轴有一个交点 △__0
④抛物线与x轴无交点 △__0
二.基础知识练习
1.二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8），此抛物线的对称轴是直线（ ）
A. x=4 B. x=3 C. x=-5 D. x=-1
2.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A． m＞1 B． m＞0 C． m＞－1 D．－1＜m＜0
3.对于抛物线y＝2x2－12x＋17,下列结论正确的是( ).
A．对称轴是直线x＝3,有最大值为1 B．对称轴是直线x＝3,有最小值为－1;[来源:Z+
C．对称轴是直线x＝－3,有最大值为1 D．对称轴是直线x＝－3,有最小值为－1;
4.已知抛物线y＝x2－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2020＝______.
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的图象如图1所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＜0；
③4a－2b＋c＜0；④b＝－2a，其中结论正确的是( )
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
6.已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是1,那么m的值是 .
7.抛物线y＝(x－2)2＋5的对称轴是______.开口向____.顶点坐标________.
8.若关于x的函数y＝kx2＋2x－1图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为______．
三.典例练习
例1.如图2,平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝____．
练习1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图3所示，下面五个代数式：
ab,ac,a-b+c,b2-4ac,2a+b中，值大于0的有（ ）个。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例2.如图4，已知抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．
(1)直接写出抛物线的解析式____________；
(2)若S△APO＝1.5，求矩形ABCD的面积．
练习2.若抛物线y=x2-2x+c的顶点在x轴上，则c=____.
四.课堂小结
1.理解概念：①二次函数的二次项系数不为零，②a决定开口方向和宽窄，
2.掌握性质：二次函数图象的五大要素，
3.熟悉两种关系：①a,b,c与二次函数图象位置的关系，
②二次函数图象与x轴交点的个数与所对应的一元二次方程根的个数关系.
五.分层过关
1.二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为( )
A． x＝4 B． x＝－4 C． x＝2 D． x＝－2
2.当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为( )
A.－ 　　　B.或－ 　　　C.2或－ 　　　 D.2或－或－
3.已知二次函数y＝ax2＋bx+c的图象如图5，下列结论：
①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc<0;④b=2a；⑤△<0.正确的个数是 ( )
A 4 个 B 3个 C 2 个 D 1个
4.已知二次函数y＝x2＋bx+3的图象的顶点的横坐标是1，则b=____.
5.对于二次函数y＝－x2＋2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x＝1；②设y1＝－x12＋2x1，y2
＝－x22＋2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是(0，0)和(2，0)；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的有__________.
6.如图6，抛物线y＝x2-bx+c交x轴于点A(1,0)，交y轴于点B，对称轴是直线x=2.
（1）直接写出抛物线的解析式____________；
（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
思考题：
7.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为________.
图1
图2
图3
图4
图5
图6
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