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专题18.39 平行四边形几何模型（中点四边形）
（巩固篇）（专项练习）
【定义】中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形．
特征：中点四边形的形状由四边形的对角线位置关系和数量关系确定
【结论1】如图1、四边形ABCD为任意四边形，则四边形EFGH是平行四边形．
图1
【结论2】如图2、四边形ABCD对角线AC垂直于BD，则中点四边形EFGH是矩形．
图2
【结论3】如图3、四边形ABCD对角线AC=BD，则中点四边形EFGH是菱形．
图3
【结论4】如图4、四边形ABCD对角线AC=BD，则中点四边形EFGH是正方形．
图4
一、单选题
1．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
2．依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD
4．如图，四边形ABCD为菱形，，，连接四边形中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
6．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点EG2＋FH2的值为（ ）
A．72 B．64 C．48 D．36
9．如图，E，F，G，H分别在四边形ABCD在AB，BC，CD，DA的边上，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
B．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
C．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
10．如图，四边形ABCD中，，，且，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的有（ ）
①四边形是矩形；
②四边形是菱形；
③四边形的周长是
④四边形的面积是．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．已知一个对角线长分别为和的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是 ．
12．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 ．
13．已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC=10，BD=8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为 ．
14．平行四边形中，，，，则连接四边形四边中点所成的四边形是 .
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，SABCD=8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 ．
16．如图，四边形ABCD中，E．F．G．H依次是各边的中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH.四边形BFOE.四边形CGOF的面积分别为10．12．14，则四边形DHOG的面积= .
17．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”． 凸四边形的对角线 ，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 ．
18．如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为 ．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
20．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
21．如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
(1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．
22．如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，□是 ；（填空即可）
(3)当时，□是 ．（填空即可）
23．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC．
(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形．
24．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
性质探究：
如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；
问题解决：
如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
【详解】解：四边形是菱形，
，
故AC．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．解决本题的关键是要注意掌握数形结合思想的应用．
2．B
【分析】根据菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰梯形的性质结合菱形二的判定定理，逐一判断，即可求解．
【详解】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，
∵矩形，
∴，，，，且点，，，分别为四边的中点，
∴，
∴，
∴是菱形；
∴选项不符合题意；
如上图所示，由选项结论得菱形，点，，，分别为四边的中点，
∴，且菱形的对角相等，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，不一定是菱形；
∴选项符合题意；
如下图所示，正方形，点，，，分别为四边的中点，
∴，且，
∴，
∴，
∴是菱形；
∴选项不符合题意；
如下图所示，等腰梯形，点，，，分别为四边的中点，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得，，
连接，在，中，点，，，分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴是菱形；
∴选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，中位线的性质，掌握长方形，菱形，正方形，等腰梯形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IGBD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
【详解】解：如图所示，
四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GFAC，GF＝AC，
同理有IGBD，IG＝BD，
∴AC＝BD，
即AC＝BD，
∵GFAC，∠IGF＝90°，
∴∠IHO＝90°，
又∵IGBD，
∴∠BOC＝90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．
故选：D．
【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．
4．D
【分析】连接AC、BD交于点O， 由三角形的中位线结合菱形的性质可证明中点四边形EFGH为矩形， 即可得，再利用含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质可求解AC，BD的长，进而可求解．
【详解】解：连接AC、BD交于点O，
∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，
∴
∴EF=GH，EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=60°，
∴AC⊥BD，∠BAC=30°，AC=2AO，BD=2BO，
∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵
故选：D．
【点睛】本题主要考查中点四边形， 菱形的性质， 矩形的性质与判定， 等知识点的理解和掌握， 证明四边形EFGH为矩形是解此题的关键．
5．B
【分析】由题意得，，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果．
【详解】解：在四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】原四边形ABCD是矩形时，它的对角线相等，那么中点四边形是菱形（平行四边形相邻的两边都相等）．
【详解】解：连接AC和BD
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
同理，，，．
四边形是平行四边形．
四边形是矩形时，
，则，
平行四边形是菱形
故选：C.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点．
7．A
【分析】根据一般四边形的中点四边形是平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形，①当时，，四边形EFGH是菱形；②当时，，四边形EFGH是矩形；③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分；故可以判断出正确的个数，即可得．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①当时，，
∴四边形EFGH是菱形；
②当时，，
∴四边形EFGH是矩形；
③当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分；
正确的个数为0个，
故选A．
【点睛】本题考查了中点四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定．
8．B
【分析】作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．
【详解】解：连接EF、FG、GH、EH，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，，
∴EF∥HG，
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=FG，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH，
∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=,
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．
9．A
【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可.
【详解】解：A、如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E、 F、G、H不是四边形ABCD各边中点，此选项错误，符合题意；
B、如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，E、 F、G、H不是四边形ABCD各边中点，此选项正确，不符合题意；
C、当E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，此选项正确，不符合题意；
D、当E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，此选项正确，不符合题意；
故选A.
【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解.
10．C
【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故①错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故②正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=A1B1=AC，
B5C5=B3C3=B1C1=BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是
故③正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是
故④正确；
综上所述，②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
11．##48平方厘米
【分析】根据顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
【详解】解：、、、分别为各边中点，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
矩形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
12． 菱形 24cm2
【详解】解：在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD．
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE．
∴四边形EFGH为菱形．
∴这个花园的面积是×6×8=24m2．
故答案是：菱形，24m2．
13．20
【分析】根据四边形的对角线、互相垂直，、、、分别为四边形各边的中点，求证四边形为矩形和．的长，然后即可求出四边形的面积．
【详解】解：如图，
四边形的对角线、互相垂直，
、、、分别为四边形各边的中点，
四边形为矩形，
，且，
，
，
同理，
则四边形的面积为．
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查中点四边形和三角形的面积，熟悉相关性质是解题的关键．
14．菱形
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断该平行四边形的形状，然后判断其中点四边形的形状即可得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，，，
∴ ，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴连接矩形ABCD的四边中点所成的四边形是菱形，
故答案为：菱形；
【点睛】本题主要考查了中点四边形的知识、菱形的判定与矩形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是首先判定四边形ABCD的形状，难度不大．
15．8cm．
【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．∵AC⊥BD，AC=BD，SABCD=8cm2，∴AC BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm．故答案为8cm．
点睛：本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
16．12
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
【详解】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E．F．G．H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=10，S四边形BFOE=12，S四边形CGOF=14，
∴10+14=12+S四边形DHOG，
解得，S四边形DHOG=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
17．
【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．
【详解】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，
取四边的中点并联结起来，设AC与EH交于M，HF与EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH=BD=2，EH∥BD，
同理，FG=BD=2，FG∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH=BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN=EH=1，
∴EN==，
∴EG=，
∴较长的“中对线”长度为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握其定理是解决此题关键．
18．
【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n个矩形的面积为，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．
【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是
…
∴故第n个矩形的面积为：
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
19．（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=AD，
同理，EF∥AD，EF=AD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形，
理由如下：∵EH∥BC，
∴∠AEH=∠ABC，
同理，∠BEF=∠BAD，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
20．(1)平行四边形．证明见解析
(2)；
(3)矩形的中点四边形是菱形．
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；
（2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形；
（3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形．
【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下：
如图，连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，
，
，
又四边形是平行四边形
平行四边形是菱形；
故答案为：；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
21．(1)见解析
(2)AC=BD，理由见解析
(3)AC⊥BD且AC=BD，理由见解析
【分析】（1）由三角形中位线定理得到相应条件，即可得出结论；
（2）根据菱形的判定和性质进行判断即可；
（3）根据正方形的判定进行判断即可．
【详解】（1）解：证明：连接BD、AC交于点O，如图1所示：
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，EF∥AC，GH∥AC，
∴EH∥FG，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AC=BD时，
由（1）得：HG=AC，EH=BD，
∴EH=GH，
∴四边形EFGH是菱形；
（3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH既是矩形又是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．(1)证明见解析
(2)菱形，理由见解析
(3)矩形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）平行四边形是菱形．理由如下：
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理：，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（3）平行四边形是矩形．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的判定和平行四边形的判定等知识．理解和掌握菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等
【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定得出，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出，，即可证明结论；
（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出，，即可得证明四边形EFGH为平行四边形；
②根据矩形的判定方法，得出结论即可；
③根据正方形的判定方法，得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中，
∴，
∴，，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即DEBC，DEBC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EFGH是矩形；
故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知，，，
∵AC=BD，
∴，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：垂直且相等
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键．
24．概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：见解析；拓展应用：（1），理由见解析；（2）
【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出 MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；
拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故选：D；
性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD；
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，
∴AC⊥BD，AC=BD，
故答案为：AC⊥BD，AC=BD；
问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MNBG，MN=BG，
RLBG，RL=BG，
RNCE，RN=CE，
MLCE，ML=CE，
∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
又∵RL=BG，RN=CE，
∴RL=RN，
∴ MNRL是菱形，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
又∵MNBG，MLCE，
∴∠LMN=90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：（1）MN=AC，理由如下：
如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN===FM，
∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=AC，
∴MN=AC；
（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，
连接BD交AC于O，连接OM、ON，
当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，
∴2（OM+ON） 2MN，
由性质探究②知：AC⊥BD，
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2（OM+ON）=AB+CD，
∴AB+CD2MN，
由拓展应用（1）知：MN=AC；
又∵AC=2，
∴MN=，
∴AB+CD的最小值为2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
答案第1页，共2页
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