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专题18.27 矩形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
3．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为( )
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．OA=OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．
5．已知如图，， ， ，，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，若AD＝AB＝3，则S△ADF＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上，将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于，若，则点到的距离等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．如图，平行四边形中，对角线，相交于，，， ， 分别是， ，的中点，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④平分，
正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
11．如图，已知矩形的对角线与相交于点，若，那么 ．
12．如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是 ；（填“＞”或“＜”或“=”）
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．
14．在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ．
16．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号） ．
17．如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为 ．
18．如图，等边的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，若等边的边长为2，则线段长的最大值是 ．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，求AE的长度．
20．如图，中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．
(1)求证：；
(2)连接，猜想的形状，并说明理由．
21．如图，在中，，为边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对称点F，连接，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
23．如图，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，，，在边AB上取一点E，使沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D．
(1)请直接写出点A的坐标 、点C的坐标 和点B的坐标 ；
(2)求点D的坐标；
(3)请直接写出点E的坐标．
24．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】略
2．B
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
3．C
【分析】利用角平分线和平行线内错角相等，可证明，则ED=AD，则可用勾股定理求出ED．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，AB=CE=3
∴
∵平分
∴
∴
∴ED=AD=4
∴
故选： C．
【点睛】本题考查了角平分线、平行线性质，灵活运用相关知识进行角度代换是解题关键．
4．B
【分析】根据矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
A、OA=OB，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
B、∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，故该选项正确；
C、AD⊥CD，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
D、由可得，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的各判定及菱形的判定．
5．C
【分析】过点D作 于G，过点E作 ，交 的延长线于点F，先证明（AAS），从而得，再证明四边形为矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】过点D作 于G，过点E作，交的延长线于点F
又∵
∴
∴
∴在和中
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
的面积为：；
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
6．C
【分析】由AD=AB=3，可求得AB=，AD=3，又由在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，根据轴对称的性质，可求得BE，CF的长，继而求得DF的长，于是求得答案．
【详解】解：∵AD＝AB＝3，
∴AB＝，AD＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝，
∵在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，
∴BE＝AB＝，
∴CF＝CE＝BC﹣BE＝3﹣，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣3，
∴S△ADF＝AD DF＝×3×（2﹣3）＝3﹣．
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质、轴对称的性质，三角形面积的计算．注意掌握轴对称图形的对应关系．
7．B
【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵分别是边的中点，，
∵，
∴，
在与中，
，
，
∵点是的中点，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．B
【分析】设，由折叠性质得到，，利用勾股定理计算出，则，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点的坐标．
【详解】解：根据题意，画出图如图所示：
设，
由题意可得，，，
与关于直线对称，
，，
在中，，
，
在中，，
，即，
解得：，
点的坐标是，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
9．C
【分析】作于点，则，先证明，得，再推导出，则，而，得，即可根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，则，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点到的距离等于，
故选：C．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
10．B
【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由，可证四边形是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形
，，，
又，
，且点 是中点，
，
故①正确，
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，无法证明，
故③错误，
，
四边形是平行四边形
故②正确，
，
，
，
，
,
，
，
，
平分，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
11．2
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
【详解】解：在矩形中，
∵对角线与相交于点O，，
∴，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．
12．
【分析】根据矩形的性质对角线把矩形面积一分为二即可解得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积，
∴．
故答案为．
【点睛】此题考查矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线平分矩形的面积．
13．
【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，
设，则，
又∵
∴
∴
在中，，即
解得：
∴点的坐标为
故答案为
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
14．4
【分析】先过点F作于点H，得矩形，根据三角函数求出的值，再根据勾股定理，求出各边的值，即可求出答案．
【详解】如图，过点F作于点H，得矩形．
∵M为的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．
15．75°
【分析】根据四边形ABCD为矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形,进而求出∠ACB为30°,由DE为直角的角平分线,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC为等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代换可得EC=OC,即三角形OEC为等腰三角形,由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数.
【详解】∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=OD,（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°,
∴∠COD=60°,（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形,（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）,
∴∠BAC=60°,CD=OC,
则∠ACB=30°,（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=45°,
可得△DCE为等腰直角三角形,
∴CD=EC,
∴EC=OC,（等量代换）
∴∠COE=∠CEO,
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）.
故答案为75°.
【点睛】解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数.
16．③
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②，
不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意；
③∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
④，
不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．
【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到，结合角平分线推出，得到，进而证得是的中位线，求出即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于点F，D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的应用，正确理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键．
18．##
【分析】取的中点D，连接、，根据直角三角形性质，得出，根据等边三角形的性质，求出，，根据三角形三边关系，得出点O、C、D三点共线时，最大，求出最大值即可．
【详解】解：取的中点D，连接、，如图所示，
∵为直角三角形，D为的中点，
∴，
∵是边长为2的等边三角形，D为的中点，
∴，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
在中，，
当点O、C、D三点共线时，最大，
此时．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，得出当点O、C、D三点共线时最大．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可完成证明；
（2）结合（1）证明四边形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，ADBC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DEBF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形BFDE是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴DE=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，
根据勾股定理得：BE2=AE2+AB2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
解得AE=．
【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定和性质定理解答．
20．(1)见解析
(2)是直角三角形．理由见解析
【分析】（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据折叠的性质得到，即可证明出；
（2）根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理得到，即可得到是直角三角形．
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，
由翻折得，
∴；
（2）是直角三角形．
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴即，
所以是直角三角形．
【点睛】考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
21．(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，，，再根据等腰三角形的性质可得BD=DC=AF，，即可证得四边形ADCF是矩形；
(2)设AD=x，则，根据勾股定理即可求得AD、BC的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得BF的长．
【详解】（1）证明：如图：连接DF，
点E为AD的中点，点B与点F关于点E对称，
，BE=FE，
四边形ABDF为平行四边形，
，，
，
是等腰三角形，
又为边上的中线，
，，
CD=AF，
四边形ADCF为平行四边形，
四边形为矩形；
（2）解：设AD=BC=x，则，
在中，，
得，
解得或(舍去)，
AD=BC=4，
四边形为矩形，
，
在中，．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）1
【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝ EC OF＝1．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)；
(2)(12，0)；
(3)(15，4)．
【分析】(1)根据矩形的性质即可解决问题；
(2)根据折叠的性质和勾股定理即可得OD的长，进而可得点D的坐标；
(3)根据折叠的性质和勾股定理即可得DE的长，进而可得点E的坐标．
【详解】（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝15，BA＝OC＝9，
∴点A的坐标(15，0)、点C的坐标(0，9)和点B的坐标(15，9)；
故答案为：(15，0)、(0，9)、(15，9)；
（2）由折叠可知：CD＝CB＝15，
在Rt△OCD中，根据勾股定理，得
OD＝＝＝12，
∴点D的坐标(12，0)；
（3）在Rt△AED中，AD＝OA﹣OD＝15﹣12＝3，AE＝AB﹣BE＝9﹣BE＝9﹣DE，
根据勾股定理，得
AD2+AE2＝DE2，
∴32+（9﹣DE）2＝DE2，
解得DE＝5，
∴AE＝9﹣DE＝4，
∴点E的坐标为(15，4)．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化﹣对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
24．(1)见解析
(2)①见解析；②75°
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论；
（2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论；
②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴BD＝2OB
∵AC＝2OB
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形
（2）①证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝45°
∴∠DEA＝45
∴DA＝DE
又∵∠OAE＝15°
∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°
∴DA＝DO＝AO
∴DA＝DO＝DE
②解： ，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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