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甘肃省平凉市2023年中考二模数学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020九上·唐河期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ,错误；
B、 是最简二次根式,正确；
C、 =3 错误；
D、 = ,错误.
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
2．（2023·平凉模拟） 下列设计图中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、该图是中心对称图形，∴A符合题意；
B、该图是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、该图是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、该图是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2023·平凉模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵x2+1≥1＞0，-2＜0，
∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P在第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据第二象限点坐标的特征求解即可.
4．（2018七下·钦州期末）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】∵解不等式 得： ，解不等式 ，得：x≤5，∴不等式组的解集是 ，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故答案为：C.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，然后求出整数解即可.
5．（2023·平凉模拟）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示数的点应落在（　　）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P应该在BO之间，
故答案为：B.
【分析】利用估算无理数大小的方法求出，再求解即可.
6．（2023·平凉模拟） 下列命题是真命题的是（　　）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．一组数据的众数可以不唯一
C．已知、、是的三条边，则
D．邻边相等的平行四边形是矩形
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、∵中位数的计算方法取决于一组数据的个数，当个数为奇数时，中位数为中间的一个数；当个数为偶数个时，中位数为中间两个数的平均数，∴A不正确；
B、∵一组数据的众数可以有多个，∴B正确；
C、∵当c是直角三角形的斜边时，才有，∴C不正确；
D、∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
7．（2023·平凉模拟） 若单项式与是同类项，则，的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵与是同类项，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据同类项的定义可得，再求出a、b的值即可.
8．（【五三】初中数学鲁教版七年级上册第三章检测）如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5，BC= 10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（　　）

A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠的性质，得AD= BD，设CD=x，则BD=AD= 10-x．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10-x)2=x2+52 ，
解得x=3.75．∴CD= 3.75．
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质，得AD= BD，设CD=x，则BD=AD= 10-x，在Rt△ACD中，利用勾股定理列出方程求解即可。
9．（2023·平凉模拟） 如图，、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB=OC，AB//CO，
∵OB=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOA=30°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，先证出△OAB是等边三角形，可得∠BOA=60°，再利用“三线合一”的性质可得∠AOF=∠BOA=30°.
10．（2023·平凉模拟） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：
；
；
；
为实数；
．
其中错误结论的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故正确；
由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故正确；
关于的对称点为，
时，，故正确；
当时，的最小值为，
时，，
，
即，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故正确；
故选：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2023·平凉模拟）　 　．
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先利用二次根式和负指数幂的性质化简，再计算即可.
12．（2020九上·南岗期末）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.数字55000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
13．（2023·平凉模拟） 若是方程的一个根，则的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2020.
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
14．（2023·平凉模拟） 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其他完全相同的若干红球和个白球若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则红球的个数约为　 　 ．
【答案】24
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设红球的个数为x个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，x=24是方程的解，
故答案为：24.
【分析】设红球的个数为x个，根据题意列出方程，再求出x的值即可.
15．（2020八下·岱岳期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】由一元二次方程的定义得：
解得
由题意得：此方程的根的判别式
解得
综上，k的取值范围是 且
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得．
16．（2023·平凉模拟） 如图，，若，，，则　 　．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴△ACB∽△ECD，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】先证出△ACB∽△ECD，可得，再将数据代入求出EC的长即可.
17．（2023·平凉模拟） 如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接、，
在中，，
，，
，
，
为直径，
，，
，，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】利用三角形及扇形面积公式，再利用割补法求出阴影部分的面积即可.
18．（2023·平凉模拟） 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为　 　 株
【答案】80
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
，
故芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
故答案为：．
【分析】根据前几项中芍药的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
三、计算题
19．（2018八上·南召期末）解方程： ．
【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为 ，得
经检验， 是原方程的解．
原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边都乘以x（x-1）约去分母，将方程转变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2023·平凉模拟） 化简：．
【答案】解：
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
21．（2023·平凉模拟） 如图，平分的外角．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
（2）若，则　 　．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）25°
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）∵BP和CP分别平分∠ABC和∠ACE，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠ECP=∠ACE，
∵，
∴∠BPC=∠ECP-∠CBP=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠ECP=∠ACE，再利用三角形外角的性质及等量代换求出∠BPC的度数即可.
22．（2023·平凉模拟）图是一种淋浴喷头，图是图的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使，问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
参考数据：，，，，，，，，．
【答案】解：过点作于点，延长、交于点，
，，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
安装师傅应将支架固定在离地面的位置．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，延长、交于点，先利用解直角三角形的方法及线段的和差求出BF的长，再结合，求出CF的长，再求出即可.
23．（2019·江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 ．
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）因为有 ， ， 种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
故答案为 ．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可
（2）画树状图得所有等可能结果，找出符合条件的，利用概率公式计算即可求得。
24．（2023·平凉模拟） 随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别 家庭年旅游消费金额元 户数
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有　 　 户，表中　 　 ．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有户家庭，请你估计年旅游消费在元以上的家庭户数．
【答案】（1）150；24
（2）解：由题意知，中位数为第位和位两个数据的平均数，
，
中位数落在组；
（3）解：由题意知，组所在扇形的圆心角为．
（4）解：估计年旅游消费在 元以上的家庭户数为户，
年旅游消费在 元以上的家庭有户.
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的家庭数=36÷24%=150（户）；m=150-36-27-33-30=24；
故答案为：150；24.
【分析】（1）利用“A”的户数除以对应的百分比可得总户数，再求出m的值即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法求解即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“ 旅游消费在元以上 ”的百分比，再乘以3000可得答案.
25．（2023·平凉模拟） 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，
解得，
点坐标为
把代入反比例函数，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，
点坐标为，
设点坐标为，
，
，
或，
的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A的坐标，再将其代入求出k的值即可；
（2）设点坐标为，根据，求出x的值，可得点P的坐标.
26．（2023·平凉模拟） 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线相交于点．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
，
，
的半径为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，即，再结合是的半径，即可得到是的切线；
（2）连接OD，先求出，再求出，再求出即可.
27．（2023·平凉模拟）
（1）建立模型：如图，在正方形中，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是将绕点逆时针旋转使得与重合，连接，由此得到　 　 ，再证明≌　 　 ，可得出线段，，之间的数量关系为　 　 ．
（2）拓展延伸：如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，写出图中线段，，之间的数量关系并证明．
【答案】（1）；；
（2）解：，证明如下：
如图所示，将绕点逆时针旋转得到．
，，
，
由旋转的性质可知：，，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
由旋转的性质可知：，，，，
，
，
，
，
、、三点共线，
又，
≌，
，
，
．
故答案为：；；．
【分析】（1）利用旋转的性质可得DG=BE，再利用“SAS”证出△AFE≌△AFG，可得EF=FG，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“SAS”可得△BGH≌△BGM，可得GH=GM，再利用勾股定理及等量代换可得.
28．（2023·平凉模拟） 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点从点出发，沿方向以个单位长度秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点且平行于轴的直线交抛物线于点，连接，，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过点，交轴于点，
把点，代入，得：
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
抛物线的顶点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
设点，
对于，当时，，
，
对于，当时，，
，
，，
，
，
有最大值，
当时，最大值为；
（3）解：若为平行四边形的对角线时，设点，，
又，，
的中点坐标的横坐标为，也是中点坐标的横坐标，
，
，
把代入，得，
；
若为边时，将向下平移个单位，再向左平移个单位到点，此时点的坐标为，
若点在抛物线上时，则有：，
；
若为对角线时，点向下平移个单位，再向右平移个单位，则点也向下平移个单位，向右平移个单位，则有，
，
．
综上所述，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C、E的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再设点，求出，，再求出DQ和BC的长，利用三角形的面积公式可得，最后利用二次函数的性质求解即可；（3）分类讨论：①若为平行四边形的对角线时，②若为边时，③若为对角线时，再分别求解即可.
1 / 1甘肃省平凉市2023年中考二模数学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020九上·唐河期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·平凉模拟） 下列设计图中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·平凉模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2018七下·钦州期末）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·平凉模拟）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示数的点应落在（　　）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
6．（2023·平凉模拟） 下列命题是真命题的是（　　）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．一组数据的众数可以不唯一
C．已知、、是的三条边，则
D．邻边相等的平行四边形是矩形
7．（2023·平凉模拟） 若单项式与是同类项，则，的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（【五三】初中数学鲁教版七年级上册第三章检测）如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5，BC= 10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为（　　）

A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75
9．（2023·平凉模拟） 如图，、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·平凉模拟） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：
；
；
；
为实数；
．
其中错误结论的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2023·平凉模拟）　 　．
12．（2020九上·南岗期末）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米.数字55000用科学记数法表示为　 　.
13．（2023·平凉模拟） 若是方程的一个根，则的值为　 　 ．
14．（2023·平凉模拟） 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其他完全相同的若干红球和个白球若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则红球的个数约为　 　 ．
15．（2020八下·岱岳期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
16．（2023·平凉模拟） 如图，，若，，，则　 　．
17．（2023·平凉模拟） 如图，在中，，以为直径的交于点，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
18．（2023·平凉模拟） 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为　 　 株
三、计算题
19．（2018八上·南召期末）解方程： ．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2023·平凉模拟） 化简：．
21．（2023·平凉模拟） 如图，平分的外角．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
（2）若，则　 　．
22．（2023·平凉模拟）图是一种淋浴喷头，图是图的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使，问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
参考数据：，，，，，，，，．
23．（2019·江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　 　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
24．（2023·平凉模拟） 随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别 家庭年旅游消费金额元 户数
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的家庭有　 　 户，表中　 　 ．
（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
（3）在扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角是多少度？
（4）若该社区有户家庭，请你估计年旅游消费在元以上的家庭户数．
25．（2023·平凉模拟） 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．
26．（2023·平凉模拟） 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线相交于点．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径．
27．（2023·平凉模拟）
（1）建立模型：如图，在正方形中，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是将绕点逆时针旋转使得与重合，连接，由此得到　 　 ，再证明≌　 　 ，可得出线段，，之间的数量关系为　 　 ．
（2）拓展延伸：如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，写出图中线段，，之间的数量关系并证明．
28．（2023·平凉模拟） 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点从点出发，沿方向以个单位长度秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点且平行于轴的直线交抛物线于点，连接，，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ,错误；
B、 是最简二次根式,正确；
C、 =3 错误；
D、 = ,错误.
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、该图是中心对称图形，∴A符合题意；
B、该图是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、该图是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、该图是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵x2+1≥1＞0，-2＜0，
∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P在第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据第二象限点坐标的特征求解即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】∵解不等式 得： ，解不等式 ，得：x≤5，∴不等式组的解集是 ，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故答案为：C.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，然后求出整数解即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P应该在BO之间，
故答案为：B.
【分析】利用估算无理数大小的方法求出，再求解即可.
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、∵中位数的计算方法取决于一组数据的个数，当个数为奇数时，中位数为中间的一个数；当个数为偶数个时，中位数为中间两个数的平均数，∴A不正确；
B、∵一组数据的众数可以有多个，∴B正确；
C、∵当c是直角三角形的斜边时，才有，∴C不正确；
D、∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】∵与是同类项，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据同类项的定义可得，再求出a、b的值即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠的性质，得AD= BD，设CD=x，则BD=AD= 10-x．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10-x)2=x2+52 ，
解得x=3.75．∴CD= 3.75．
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质，得AD= BD，设CD=x，则BD=AD= 10-x，在Rt△ACD中，利用勾股定理列出方程求解即可。
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB=OC，AB//CO，
∵OB=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOA=30°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，先证出△OAB是等边三角形，可得∠BOA=60°，再利用“三线合一”的性质可得∠AOF=∠BOA=30°.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故正确；
由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故正确；
关于的对称点为，
时，，故正确；
当时，的最小值为，
时，，
，
即，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故正确；
故选：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
11．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先利用二次根式和负指数幂的性质化简，再计算即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
13．【答案】
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2020.
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
14．【答案】24
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】设红球的个数为x个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，x=24是方程的解，
故答案为：24.
【分析】设红球的个数为x个，根据题意列出方程，再求出x的值即可.
15．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】由一元二次方程的定义得：
解得
由题意得：此方程的根的判别式
解得
综上，k的取值范围是 且
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得．
16．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵，
∴△ACB∽△ECD，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】先证出△ACB∽△ECD，可得，再将数据代入求出EC的长即可.
17．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接、，
在中，，
，，
，
，
为直径，
，，
，，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】利用三角形及扇形面积公式，再利用割补法求出阴影部分的面积即可.
18．【答案】80
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
，
故芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
故答案为：．
【分析】根据前几项中芍药的数量与序号的关系可得规律，再求解即可.
19．【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为 ，得
经检验， 是原方程的解．
原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边都乘以x（x-1）约去分母，将方程转变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解。
20．【答案】解：
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
21．【答案】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）25°
【知识点】角的运算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）∵BP和CP分别平分∠ABC和∠ACE，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠ECP=∠ACE，
∵，
∴∠BPC=∠ECP-∠CBP=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠ECP=∠ACE，再利用三角形外角的性质及等量代换求出∠BPC的度数即可.
22．【答案】解：过点作于点，延长、交于点，
，，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
安装师傅应将支架固定在离地面的位置．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，延长、交于点，先利用解直角三角形的方法及线段的和差求出BF的长，再结合，求出CF的长，再求出即可.
23．【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 ．
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）因为有 ， ， 种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
故答案为 ．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可
（2）画树状图得所有等可能结果，找出符合条件的，利用概率公式计算即可求得。
24．【答案】（1）150；24
（2）解：由题意知，中位数为第位和位两个数据的平均数，
，
中位数落在组；
（3）解：由题意知，组所在扇形的圆心角为．
（4）解：估计年旅游消费在 元以上的家庭户数为户，
年旅游消费在 元以上的家庭有户.
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的家庭数=36÷24%=150（户）；m=150-36-27-33-30=24；
故答案为：150；24.
【分析】（1）利用“A”的户数除以对应的百分比可得总户数，再求出m的值即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法求解即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先求出“ 旅游消费在元以上 ”的百分比，再乘以3000可得答案.
25．【答案】（1）解：把点代入，
解得，
点坐标为
把代入反比例函数，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，
点坐标为，
设点坐标为，
，
，
或，
的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点A的坐标，再将其代入求出k的值即可；
（2）设点坐标为，根据，求出x的值，可得点P的坐标.
26．【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
，
，
的半径为．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，即，再结合是的半径，即可得到是的切线；
（2）连接OD，先求出，再求出，再求出即可.
27．【答案】（1）；；
（2）解：，证明如下：
如图所示，将绕点逆时针旋转得到．
，，
，
由旋转的性质可知：，，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
由旋转的性质可知：，，，，
，
，
，
，
、、三点共线，
又，
≌，
，
，
．
故答案为：；；．
【分析】（1）利用旋转的性质可得DG=BE，再利用“SAS”证出△AFE≌△AFG，可得EF=FG，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“SAS”可得△BGH≌△BGM，可得GH=GM，再利用勾股定理及等量代换可得.
28．【答案】（1）解：抛物线经过点，交轴于点，
把点，代入，得：
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，
抛物线的顶点的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
设点，
对于，当时，，
，
对于，当时，，
，
，，
，
，
有最大值，
当时，最大值为；
（3）解：若为平行四边形的对角线时，设点，，
又，，
的中点坐标的横坐标为，也是中点坐标的横坐标，
，
，
把代入，得，
；
若为边时，将向下平移个单位，再向左平移个单位到点，此时点的坐标为，
若点在抛物线上时，则有：，
；
若为对角线时，点向下平移个单位，再向右平移个单位，则点也向下平移个单位，向右平移个单位，则有，
，
．
综上所述，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C、E的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再设点，求出，，再求出DQ和BC的长，利用三角形的面积公式可得，最后利用二次函数的性质求解即可；（3）分类讨论：①若为平行四边形的对角线时，②若为边时，③若为对角线时，再分别求解即可.
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