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专题18.56 平行四边形动点问题（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )

A．4 B．4.5 C．5 D．6
2．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　)
A． B．1 C． D．
3．如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（　　）
A．等于定值5﹣ B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为3时，AD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，长方形ABCD中，，，点E为射线DC上的一个动点，与关于直线AE对称，当为直角三角形时，DE的长为
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）．
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等
8．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
10．如图，在边长为a的正方形中，E是对角线上一点，且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值a B．有最小值 C．是定值a D．是定值
二、填空题
11．如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是 ．
12．如图，已知矩形对角线和相交于点O，点E是边上一动点，与相交于点F，连结．
（1）若点E为的中点，则= ；
（2）若点F为的中点，则= ．
13．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为 ．
14．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接．
（1）四边形的形状是 ；
（2）线段的最小值为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为对角线BD所在直线的一个动点，点N是平面上一点．若四边形MCND为平行四边形，MN＝，则BM的值为 ．
16．如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为 ．
17．如图，四边形ABCD是菱形，，M是BC边上的动点，AM交对角线BD于点N．当线段AM最短时，NM＝1，此时点N到CD所在直线的距离是 ．
18．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ．
三、解答题
19．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当　　时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．
20．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
　
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
21．如图，在边长为的正方形中，过中点作正，过点的直线分别交边、于点、、已知点、分别是线段、的动点，且是等边三角形．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)当点在线段上时
①求证：
②试判断的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
(3)设，点关于的对称点为，若点落在的内部，请直接写出的范围．
22．在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动．
(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接和交于点P，请写出与的关系，并说明理由；
(2)如图2，当点E，F分别移动到边，的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“成立”或“不成立”，无需证明）
(3)如图3，当E，F分别在，的延长线上移动时，连接和，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
23．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点M是直线上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为 EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是 MNB的中位线，EF是 DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为 EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴ EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．

【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
2．D
【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF=，
∴此时△ABE的最大面积为：×4×=2；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=S ABCD=×4×=2；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2，
综上，△ABE的面积的最大值是2；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
3．D
【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，由直角三角形的性质得出AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出结果
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵EF＝BD，
∴OB＝EF＝OD，
∴BE＝OF，OE＝DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC＝＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝，
当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，
∴AE＝OB，
同理：CF＝OD，
∴AE+CF＝OB＝，
即AE+CF的最小值为；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
4．C
【分析】分两种情况讨论：①E和A重合；②F和C重合，进行计算即可.
【详解】解：在矩形ABCD中
∠B=90°，AD∥BC
①E和A重合
由折叠可知
∠B=∠AGF=90°，AB=AG=8
∵AD∥BC
∴∠B+∠BAG=180°，∠GFB +∠AGF=180°
∴∠BAG=∠GFB =90°
∴四边形ABFG为矩形
∴AG=BF=8
∴EF==8
②F和C重合
由折叠可知
∠B=∠EGF=90°，BC=FG=10
在Rt△CDG中DG==6
∴AG=AD-DG=10-6=4
在Rt△AEG中EG=
∴EG=5
∴EF==5
综上可知，x的取值范围为
故选：C.
【点睛】本题主要考查了翻折中的动点问题，利用临界点找最值，借助于勾股定理求边长即可，本题的难点在于动态问题静态化，找到临界点.
5．B
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质和已知线段数量关系易证BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2=CE，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB∶AD=2∶1，E为AB的中点，
∴△CBE，△ADE，△BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，
即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC，
∴BP1=BC，
又PB的最小值是3，
∴AD=BC=3，
故选B．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
6．D
【分析】分两种情况： 当E点在线段DC上时， 当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
≌，
，
，
，
、、E三点共线，
，
，
，
；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
综上所知，或18，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、掌握翻折的性质、分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
7．D
【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解．
【详解】连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB＝BD，∠ABD＝60°
∵DC∥AB
∴∠CDB＝∠ABD＝60°
∴∠A＝∠CDB
∵∠EBF＝60°
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF
∴∠ABE＝∠DBF
∵
∴△ABE≌△DBF（AAS）
∴AE＝DF
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．
8．C
【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．
【详解】解：如图，连结CE
，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故选C．
【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．
9．D
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
10．D
【分析】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，∵四边形ABCD是正方形，先证明∠GEB=∠GBE=45°，即有，△BEC的面积，也可表示为△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，即有，则有，则问题得解．
【详解】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBG=45°，
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°，
∴∠GEB=∠GBE=45°，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴△BEC的面积，
∵△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=a，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的面积等知识，根据面积得到是解答本题的关键．
11．2或或
【分析】判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】解：①时，过点作，垂足为点．
∴为的中点，
则，，取为的中点，
∴，为的中位线，即，
∴、、三点在一条线上，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，是等腰三角形；
②时，则，
∵，，
∴，
∴
则，
∴当B时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、．
易知为矩形，∴，，
∴、、在同一直线上，
∴为的中位线，
∵，，
∴，，，
∴，
即：，
整理得：，即，
解得：或（舍去）
∴当时，△CDF是等腰三角形．
综上，当、、时，是等腰三角形．
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12． ##0.5 2
【分析】（1）根据矩形的性质可得点O是的中点，再结合已知可得是的中位线，从而可得，，然后证明8字模型相似三角形可得，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
（2）过作交于点，利用平行线分线段成比例和三角形全等即可求解．
【详解】(1)解：∵为矩形对角线交点，
∴．
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
(2)如图，过作交于点，
∴，
∴点为中点．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为（1）；（2）2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及全等三角形的判定和性质等，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
14． 矩形##长方形
【分析】（1）先证，再由即可解答；
（2）如图：连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答．
【详解】解：（1）∵于点，于点，
∴
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，
由（1）知：，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
∴，
∴长的最小值为，
故答案为：矩形，．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键．
15．6或1
【分析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G；②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G；设BM＝x，表示MG的长，先根据直角三角形30度角的性质可得OG和DG的长，在直角三角形OGM中列方程可得结论．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G，
∵四边形MCND为平行四边形，
∴ODDCAB＝1，OMMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∴ABBD，
∴∠ADB＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝60°，
Rt△ODG中，∠DOG＝30°，
∴DG，OG，
设BM＝x，则MG＝4﹣xx，
△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，
解得：x＝6（舍）或1；
②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G，
同理得：DG，OG，OM，
设BM＝x，则MG＝x﹣4x，
在△OMG中，MG2+OG2＝OM2，
∴，解得：x＝6或1（舍）；
综上所述，BM的长为6或1，
故答案为：6或1．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数列方程是解决问题的关键．
16．或或或或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；
在菱形 中， ，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则，
；
如图 中，当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
17．2
【分析】利用菱形的性质得到， BD平分∠ADC和∠ABC，，则，根据垂线段最短可判断当AM⊥BC时，AM最短，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AM=3，则AN=2，然后根据角平分线的性质得到点N到直线的距离等于NA的长．
【详解】解∶∵四边形ABCD是菱形，，
∴， BD平分∠ADC和∠ABC，，
∴，
∵当AM⊥BC时， AM最短，NM= l，
∴BN=2NM=2， ，
∴，
∵AM⊥BC， ，
∴，
∴， ，
∴，
∴AN=AM-NM=3- 1=2，
∵， AM⊥BC，
∴，
∴AM⊥AD，
∵BD平分∠ADC，
∴点N到CD的距离等于N点到AD的距离，
∵NA=2，
∴此时点N到CD直线的距离是2．
故答案为∶2．
【点睛】本题考查了菱形的性质、角平分线的性质以及勾股定理，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.
【详解】解：①如图1，当E点在线段上时，连接,
∵四边形是正方形，
∵折叠后，
又
(HL)
∴


设,则，
在Rt中，

解得
②如图2，E点在线段上时，连接,

设,则，
在Rt中
解得

故答案为：2.4或6
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识并根据勾股定理列方程是解题的关键.
19．(1)见解析；
(2)10；
(3)当时，四边形是菱形．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合题意证，然后利用全等三角形的性质证明即可；
（2）结合（1），找到矩形的特殊性——有一个角是直角的平行四边形是矩形，然后解直角三角形即可；
（3）结合（1），找到菱形的特殊性——邻边相等的平行四边形是菱形，然后证是等边三角形，利用等边三角形性质求解即可．
【详解】（1）证明：是平行四边形，
即，
，
是的中点,
，
在与中：
，
，
是平行四边形；
（2）是平行四边形，，，，
，，，
由（1）可知当时，
四边形是矩形，
在中，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：当四边形是菱形时，
，
是平行四边形，，，，
，，，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用；抓住矩形、菱形的特殊性是解题的关键．
20．(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．(1)，理由见解析
(2)①见解析；②不变，；
(3)当时，点落在的内部
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）①证明，即可得出结论；
②，理由如下，如图所示，过点作于点，得出四边形是矩形，则，在中，，勾股定理得出，在中，勾股定理得出，则，根据，即可求解；
（3）分当落在上时，当落在上时，根据轴对称的性质以及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）①如图，连接，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作于点，
∵四边形是正方形，且边长为,
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵是的中点，则,
在中，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
又，
；
即，
（3）当落在上时，如图所示，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即；
当落在上时，如图所示，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
即，
综上所述，当时，点落在的内部．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
22．(1)，理由见解析
(2)成立
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动，所以，再由正方形的性质可得，，证得，即可求得结果；
（2）同（1）；
（3）由题得，再由正方形的性质可得，，所以和的邻补角也相等，即可证得，最终证得（1）中结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（2）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
在和中，
，
（SAS），
；
（3）解：成立，理由如下：
由题可得，
正方形，
，，
，
在和中，
，
（SAS），
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解决问题的关键是由题干条件得出．
23．(1)
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）连接，延长交于H，证明，得到
，再证明，即可得到：，再由，即可证明；
（2）连接，与交于点，证明，得到
，再证明，即可得到：，再由即可证明；
（3）分两种情形：当点P在的延长线上时或点P在线段的延长线上时，连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H， 如图所示，
∵四边形是菱形，，
∴，都是等边三角形，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证是等边三角形，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，如图所示，
∴，为等边三角形，
在和中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，如图所示，
∵四边形是菱形，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴；
如图4中，当点P在的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
24．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，用解析式可求得点C的坐标
（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，由点A和点B关于对称轴对称，可知点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小，即可求得点P的坐标
（3）由可知，，设点、，求得，即可求得点M的坐标
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴点C的坐标为：
（2）∵经过点直线与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立方程组，
解得：或，
∴，
∵抛物线的对称轴为：，且，
∴点A关于对称轴的对称点为点B，
∵，
∴当点P为对称轴与直线的交点时，的周长最小，
∴
（3）存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形
∵，即，
∴要使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则，
∵，
∴，
∴，
∵点M在直线上，
∴设点，则点N的坐标为：，
∴，即，
当时，解得：，
∴点M的坐标为：或，
当，解得：（舍去）
综上所述：存在点M，使以点M、N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、轴对称的应用、平行四边形的性质；掌握方程的思想和分类讨论的方法是解决问题的关键
答案第1页，共2页
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