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对中点四边形的探究与延伸
山东　　　康风星
在教材中给出了中点四边形的定义：“依次连接任意一个四边形各边中点所得一个新的四边形叫做中点四边形”．在中考中有关中点四边形的问题时有出现，现在以2010年各地中考（或模拟）试题为例归纳这类问题的解题思想、方法、技巧，对一些题目进行拓展、引申，探索有关中考题与该活动的内在联系，供同学们学习时参考．
一、基本性质归纳：
例1．①（2015·惠民二模）杨伯家小院子的四棵小树刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形种上小草，则这块草地的形状是（ ）
A．平行四边形　　　 　B．矩形 C．正方形　　　 D．菱形
②（2015·北京东城一摸）顺次连接菱形各边的中点所得的四边形一定是（ 　）
A．等腰梯形　　　　B．正方形　　　　C．平行四边形　　　　D．矩形
分析：这是对平行四边形的定义和判定定理的考查．解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想．我们可从四边形的四条边的数量关系和位置关系入手，由题设可知、分别为、的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线．
解：如图所示：以梯形的中点四边形为例，在中、分别为、的中点∴平行且等于的一半，同理，平行且等于的一半，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，又因为菱形的两条对角线互相垂直，所以四边形邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形．所以①选A；②选D．
温馨提示：判定中点四边形的形状要抓住两个关键点：一是三角形中位线定理的应用，二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系．为了便于同学们更好地理解和掌握，我们把常见的中点四边形形状归纳如下表．
原四边形
中点四边形
任意四边形
平行四边形
平行四边形
两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形）
菱形
两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形）
矩形
两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形）
正方形
二、新题探究：
㈠条件开放性问题：例2．（2013·山东德州）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是 （只要写出一种即可）．
解析：本题是一个开放性问题，结论不唯一：如图：四边形为一个中点四边形，其形状可以由原四边形的对角线来决定，因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，使四边形为菱形，只要有原四边形的对角线相等即可，即，（即四边相等的四边形为菱形）；当然也可以从菱形的判定出发，因为四边形为平行四边形，所以对角线相互平分，只要再有对角线相互垂直即可，所以可以添加（即符合对角线相等且相互平分的四边形为菱形）；还可以添加（即对边相等的平行四边形为菱形）．
温馨提示：中点四边形形状是由原四边形的两条对角线和的数量关系和位置关系来确定的，首先，不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，其次，具体的中点四边形的形状还需需参考原四边形的具备的其他条件来决定．
㈡问题延伸：
例3．（2012·莱芜）在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

解析：（1）根据题意容易得EO＝FO，GO＝HO，从而判断四边形EGFH为平行四边形；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案；（3）从图形观察可知AC与BD的数量关系并不影响四边形EGFH的形状；（4）当AC＝BD，AC⊥BD时，□ABCD为正方形，结合已知条件容易得△BOG≌△COF，所以有OG＝OF，即EF＝GH，结合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．
解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O．
∴点O是□ABCD的对称中心．
∴EO＝FO，GO＝HO．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）菱形．
（3）菱形．
（4）四边形EGFH是正方形
证明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形．
∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC．
∵EF⊥GH ，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF．
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH．
∴四边形EGFH是正方形．
温馨提示：本题是探索题属于思维创新型试题，也是课本习题的引申，体现了中考题与课本的紧密联系，但又不拘泥于课本原题，做了一定的提炼，重点考查了特殊四边形的判定，所以在备考时抓住课本是中考复习的一个突破口．
跟踪练习：
1．顺次连接等腰梯形各边的中点所得的四边形是（　　）
A．菱形　　　　B．正方形　　　　C．矩形　　　　D．等腰梯形
2．如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD
3．四边形为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形（四边形称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形的各边中点组成第二个中点四边形，，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于 ．
4．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
参考答案：
1．答案：A，解析：因为等腰梯形的对角线相等，故此可推出等腰梯形中点四边形是菱形
2．答案：C ，解析：连接BD，由中位线的知识可知，顺次连结四边形ABCD各中点得到的四边形EFGH是平行四边形，要使它为矩形，则有一个角为直角，由平行线的性质可知，原来的对角线一定是垂直的．
3．答案：A，解析：该题属探索型试题，当问题的条件发生变化时，探究已知的结论也发生改变，可以通过下图观察会发现，第二个中点四边形（即四边形）各边长为原四边长的一半，同理第四个中点四边形边长为第二个中点四边形边长的一半，即为原四边形边长的，由此可以推的第六个中点四边形的边长为原四边形边长的；第八个中点四边形的边长为原四边形边长的；所以第八个中点四边形的边长等＝．
4．解析：（1）利用三角形中位线推出所得四边形对边分别平行，故为平行四边形．（2）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形为菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为正方形．谨记以上原则回答即可．（3）由以上法则可知，中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．
答案：（1）证明：连接BD
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线
∴EH＝BD，EH∥BD
同理得FG＝BD，FG∥BD
∴EH＝FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形
（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．

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