资源简介 专题 19.7 正比例函数(知识讲解)【学习目标】1. 理解正比例函数的概念,能正确画出正比例函数的图象;2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质,解决简单的实际问题;3.初步利用“设参求值”解决正比例函数中的几何问题;4.初步掌握待定系数法求正比例函数解析式【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的,形如 (为常数,且≠0)的函数,叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式(1)是的正比例函数;(2)(为常数且≠0);(3)若与成正比例;(4)(为常数且≠0).这些都表示y与x是正比例函数关系.要点二、正比例函数的图象与性质(1)图象:正比例函数 (为常数,且≠0)的图象是经过原点的一条直线,我们称它为直线.(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y= kx经过二,四象限,从左向右下降,即随着 x的增大y反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数(为常数,≠0 )中只有一个待定系数,故只要有一对,的值或一个非原点的点,就可以求得值.【典型例题】【类型一】正比例函数 定义的理解1.若是y关于x的正比例函数,则k的值为( )A. B. C.2 D.3举一反三:2.已知函数,(m ,n是常数)是正比例函数,的值为( )A. 或0 B. C.0 D.3.若是正比例函数,则点所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【类型二】正比例函数 图象 位置4.已知正比例函数图象经过(﹣2,4).(1)如果点(a,1)和(﹣1,b)在函数图象上,求a,b的值;(2)过图象上一点P作y轴的垂线,垂足为Q,S△OPQ=,求Q的坐标.举一反三:5.正比例函数的图象经过第一、三象限,求m的值.6.如图,正方形的边长为4,为边上的一点,设,求的面积与之间的函数关系式,并画出这个函数的图象.【类型三】正比例函数 性质 待定系数法7.一个正比例函数的图象经过点,,求的值.举一反三:8.已知与成正比例,且当时,.(1)求与之间的函数解析式;(2)当时,求的取值范围.9.已知与成正比例,当时,(1)求与的函数表达式;(2)当时,求函数值;(3)当时,求自变量的值.【类型四】正比例函数 性质 增减性 图象位置10.已知函数是正比例函数.(1)若函数关系式中y随x的增大而减小,求m的值;(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.举一反三:11.已知函数是关于x的正比例函数.(1)求正比例函数的解析式;(2)若它的图象有两点,当时,试比较的大小.12.已知函数,y=kx(k为常数且k≠0);(1)当x=1,y=2时,则函数解析式为 ;(2)当函数图象过第一、三象限时,k ;(3)k ,y随x的增大而减小;(4)如图,在(1)的条件下,点A在图象上,点A的横坐标为1,点B(2,0),求△OAB的面积.【类型五】正比例函数 性质 几何综合13.如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在直线和上,点A,D是x轴上两点.(1)若此正方形边长为2,k=_______.(2)若此正方形边长为a,k的值是否会发生变化?若不会发生变化,请说明理由;若会发生变化,求出a的值.举一反三:14.如图,正比例函数y=kx的图像经过点A,点A在第四象限.过点A做AH⊥x轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为4.5.(1)求该正比例函数的解析式;(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP的面积为6?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,正比例函数经过点A(3,a),点A在第四象限,过点A作轴于H,且的面积为3.(1)求正比例函数的解析式;(2)若点B(1,0)和点C都在x轴上,当的面积是5时,求点C的坐标;(3)若点M为y轴上一动点,N为平面内任意一点,是否存在点N,使得以点A,O,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点N的坐标:若不存在,请说明理由.试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页参考答案:1.B【分析】根据正比例函数的定义,可得:,,从而求出k值.【详解】解:∵根据正比例函数的定义,可得:,,∴.故选:B.【点睛】本题考查正比例函数的定义,解题的关键是理解正比例函数的定义.正比例函数的定义:一般地,形如(k是常数,)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.D【分析】按正比例函数的定义解答,正比例函数的定义是形如(k是常数,)的函数,叫做正比例函数.【详解】∵函数,(m ,n是常数)是正比例函数,∴,解得,,∴,∴.故选:D.【点睛】本题主要考查了正比例函数等,解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义,解方程或不等式.3.D【分析】根据求正比例函数的定义求出m的值,即可判断点所在的象限.【详解】解∶∵是正比例函数,∴且,∴,∴即为,∴在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查了正比例函数的定义,各象限内点的特征:第一象限中的点的横坐标大于0,纵坐标大于0;第二象限中的点的横坐标小于0,纵坐标大于0;第三象限中的点的横坐标小于0,纵坐标)小于0;第四象限中的点的横坐标大于0,纵坐标小于0.根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键.4.(1), (2)(0,)或(0,)【分析】(1)设正比比例函数的解析式为y=kx(k≠0),再把(﹣2,4)代入求出k的值,进而得出其解析式,把点(a,1)和(﹣1,b)代入求出a、b的值即可;(2)设P(x,﹣2x),则Q(0,﹣2x),根据三角形面积公式即可得出P点坐标,进而求得Q的坐标.【详解】(1)设正比比例函数的解析式为y=kx(k≠0),∵正比例函数图象经过(﹣2,4),∴4=﹣2k,解得k=﹣2,∴正比例函数的解析式为y=﹣2x.∵点(a,1)和(﹣1,b)在函数图象上,∴1=﹣2a,b=﹣1×(﹣2),解得,b=2;(2)设P(x,﹣2x),则Q(0,﹣2x),∵S△OPQ=,∴﹣x(﹣2x)=,解得x=,∴Q(0,)或(0,-).【点睛】此题考查正比例函数图象上点的坐标特征,正比例函数的应用,运算能力,正比例函数与几何图形面积问题.5.2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围,即可求解.【详解】解:∵函数函数为正比例函数,∴,∴,又∵正比例函数的图像经过第一、三象限,∴m>0,∴【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质,注意正比例函数是一次函数,自变量次数为1,熟知正比例函数图象与性质是解题关键.6.,图见解析【分析】根据S△ADP= DP AD,然后代入数计算即可,由于P为DC上一点.故0<PD≤DC,得到函数关系式后再画出图象,画图象时注意自变量取值范围.【详解】解:S△ADP= DP AD=x×4=2x,∴y=2x(0<x≤4);故此函数是正比例函数,图象经过(0,0)(1,2),因为自变量有取值范围,所以图象是一条线段.如图所示:【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象,画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方.7.【分析】将点代入解析式,求出的值,再将点代入解析式,求出的值即可.【详解】解:∵正比例函数的图象经过点,∴,∴,∴,∵正比例函数的图象经过点,∴,∴.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式,以及正比例函数图象上的点的特征.利用待定系数法,正确的求出正比例函数的解析式,是解题的关键.8.(1);(2)【分析】(1)根据正比例函数的定义可设y=kx,然后把x=1时,y=3代入可计算出k,从而可确定y与x之间的函数关系式;(2)求得x=-2和x=1时所对应的函数值,然后根据一次函数的性质即可求得y的取值范围.【详解】(1)设该正比例函数的解析式为,把,代入,得.与之间的函数解析式为.(2)当时,,当时,.,随的增大而增大.∴当时,【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式,熟练掌握待定系数法是解题的关键.9.(1)(2)(3)【分析】(1)利用正比例函数的定义得出的值,即可得出答案;(2)将代入(1)中函数解析式进而得出答案;(3)将代入(1)中函数解析式进而得出答案.【详解】(1)解:∵与成正比例,∴.∴.∵当时,,∴.∴.∴与的函数表达式为;(2)当时,;(3)当时,.∴.【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式,一次函数的性质,利用待定系数法解答是解题的关键.10.(1);(2)【分析】(1)由函数关系式中y随x的增大而减小,利用正比例函数的性质可得出,解之即可得出m的取值范围,进而可确定m的值;(2)由函数的图象过第一、三象限,利用正比例函数的性质可得出,解之即可得出m的取值范围,进而可确定m的值.【详解】(1)解:∵函数是正比例函数,∴,解得:.∵函数关系式中y随x的增大而减小,∴,∴,∴.(2)∵函数的图象过第一、三象限,∴,∴,∴.【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义,牢记“当k>0时,y随x的增大而增大,且函数图象经过第一、三象限;当k<0时,y随x的增大而减小,且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键.11.(1);(2).【分析】(1)由正比例函数的定义可得到a所满足的方程,可求得a的值,可求得函数解析式;(2)利用正比例函数的增减性可比较大小.【详解】解:(1)∵是关于x的正比例函数,∴|a| 3=0且a+3≠0,解得a=3,∴y= 12x;(2)在y= 12x中,k= 12<0,∴y随x的增大而减小,∴当时,.【点睛】本题主要考查正比例函数的定义及性质,掌握正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)是解题的关键.12.(1)y=2x;(2)>0;(3)<0;(4)2.【分析】(1)将,代入即可求的值,进而确定函数解析式;(2)根据正比例函数的图象特点与的关系,可得;(3)根据正比例函数的图象特点可确定,随的增大而减小时;(4)求出,,则的面积.【详解】解:(1)当,时,,,故答案为;(2)函数图象过第一、三象限,,故答案为;(3)随的增大而减小,函数图象经过第二、四象限,,故答案为;(4),点的横坐标为1,,,,的面积.【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质,熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键.13.(1);(2)k的值不会发生变化,理由见解析【分析】(1)由边长可得AB,进而根据y=2x求出OA,得到OD,再根据边长为2得到CD,代入y=kx中即可;(2)根据正方形的边长a,运用正方形的性质表示出C点的坐标,再将C的坐标代入函数中,从而可求得k的值.【详解】解:(1)正方形边长为2,.在直线中,当时,,将代入中,得,解得.(2)k的值不会发生变化理由:正方形边长为a,在直线中,当时,,.将代入中,得,解得,∴k值不会发生变化.【点睛】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用,是一道比较好的题目,难度适中.灵活运用正方形的性质是解题的关键.14.(1)y=-x;(2)存在, 点P的坐标为(4,0)或(-4,0).【分析】(1)根据题意求得点A的坐标,然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式;(2)利用三角形的面积公式求得OP=4,然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标.【详解】解∶(1)∵点A的横坐标为3,且△AOH的面积为4.5,∴OH×AH÷2=4.5,∴3×AH÷2=4.5,∴AH=3,∴点A的纵坐标为-3,∴点A的坐标为(3,-3).∵正比例函数y=kx经过点A,∴3k=-3,解得:k=-1,∴正比例函数的解析式是y=-x;(2)设OP=x.∵△AOP的面积为6,点A的坐标为(3,-3),∴,∴OP=4,∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0).【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式.注意点P的坐标有两个.15.(1)(2)(6,0)或(,0)(3)存在,点N坐标为(3,)或(3,)或(,)或【分析】(1)根据点A的横坐标、的面积求出点A的纵坐标,再利用待定系数法即可求得解析式;(2)利用面积公式求得,然后根据坐标与图形的性质求得C点坐标;(3)以为边,、为对角线分三种情况分别求出N点坐标即可.【详解】(1)解:点A(3,a),点A在第四象限,,,的面积为3,,,,正比例函数经过点A(3,),,解得,正比例函数的解析式为;(2)解:的面积是5,,,,点B(1,0),点C都在x轴上,当点C在点B右侧时,C(6,0);当点C在点B左侧时,C(,0);点C(6,0)或(,0);(3)解:存在,理由如下:在Rt中,,当为边时,如图,四边形为菱形,,,点A(3,),点N的坐标(3,)或(3,);当为对角线时,设M(0,m),四边形为菱形,,,,解得,,四边形为菱形,,点A(3,),N点坐标为,N点坐标为;当为对角线时,四边形为菱形,且,N和A关于y轴对称,点A(3,),点N坐标为(,),综上所述,存在,点N坐标为(3,)或(3,)或(,)或.【点睛】本题考查了一次函数综合题,考查分类讨论的思想,画出菱形的图形,根据菱形的性质求出点N的坐标是解题的关键.答案第1页,共2页答案第1页,共2页 展开更多...... 收起↑ 资源预览