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2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一
1（北京市）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．
（2）答：与相等的角是（或）．
四边形是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形．
证法一：如图1，作于点，作交延长线于点．
因为，为公共边，
所以．
所以．
因为，
，
所以．
可证．
所以．
所以四边形是等边四边形．
证法二：如图2，以为顶点作，交于点．
因为，为公共边，
所以．
所以，．
所以．
因为，
，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以四边形是等边四边形．
说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分．
2（上海市）25.已知：，点在射线上，（如图10）．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．
（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；
（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离．
（1）证明：如图4，连结，
是等边三角形的外心，，
圆心角．
当不垂直于时，作，，垂足分别为．
由，且，
，．
．
．
．点在的平分线上．
当时，．
即，点在的平分线上．
综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上．
（2）解：如图5，
平分，且，
．
由（1）知，，，
，．
，．
．
．．．
定义域为：．
（3）解：①如图6，当与圆相切时，；
②如图7，当与圆相切时，；
③如图8，当与圆相切时，．
3（天津市）26. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。
（1）试证明；
（2）证明；
（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式
即
∵ 是该方程的两个实数根
∴ ，
而 ∴
（2）
∵ ∴
于是，即
∴
（3）当时，有
∵ ，
∴
∵ ∴
又∵ ∴ ，
∵ ∴
于是 ∵ ∴
由于，
∴ ，即
∴ 当时，有
4(重庆市) 28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为
解: （1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝
∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3
∴C点坐标为（，3）
（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴ 解得：
∴此抛物线的解析式为：
（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C
MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）
5(河北省)26. 如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
解：（1）t?=（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．
此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30．
（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50＋75－5t=3t，解得t=．
经检验，当t=时，有PQ∥DC．
（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE?=QE·QC=6t2；
②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
∴S= S梯形QCDE?=(ED＋QC)DH =120 t－600．
（4）△PQE能成为直角三角形．
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
（注：（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t?= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
6(河北省郴州市) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．
（1） S与相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．
解: （1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以，即
配方得：，所以当时，
S有最大值3
（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形.
7(山西省) 26．关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；
（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
解：（1）据题意得：，
．
当时，．
当时，．
又抛物线与轴的交点在轴上方，．
抛物线的解析式为：．
函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）
（2）解：令，得．
不时，，，
．
当时，，
．
．
关于的函数关系是：
当时，；
当时，．
（3）解法一：当时，令，
得．
解得（舍），或．
将代入，
得．
当时，令，得．
解得（舍），或．
将代入，得．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法二：当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
当时，同“解法一”可得．
正方形的周长．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
解法三：点在轴右侧的抛物线上，
，且点的坐标为．
令，则．
，①或②
由①解得（舍），或；
由②解得（舍），或．
又，
当时；
当时．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
8(山西省太原市)29. 如图（1），在平面直角坐标系中，的顶点在原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．
（1）直接写出点的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转，使落在轴的正半轴上，如图（2），得（点与点重合）．与边，轴分别交于点，点．设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为，求的值；
（3）若将（2）中得到的沿轴正方向平移，在移动的过程中，设动点的坐标为，与重叠部分的面积为，写出与（）的函数关系式．（直接写出结果）
解：（1）．
（2），，
．
．
由旋转而成，
，．
，，．
在中，．
，
．
．
（3）
当运动到点在上时，如图①，．
当，如图②，
．
②当时，如图③，
．
③当时，如图④，
．
9(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴、轴分别相交于两点．
（1）请求出直线的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点，顶点在上，开口向下，且经过点，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于两点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线的函数表达式为，
直线经过，
由此可得解得
直线的函数表达式为．
（2）在中，由勾股定理，得，
经过三点，且，
为的直径，半径，
设抛物线的对称轴交轴于点，
，由垂径定理，得．
在中，，
，
顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为，它经过，
把，代入上式，得，解得，
抛物线的表达式为．
（3）如图，连结，，
．
在抛物线中，设，
则，
解得，．
的坐标分别是，，
；
设在抛物线上存在点，使得，
则，
，
当时，，解得，；
当时，，解得，，
，．
综上所述，这样的点存在，且有三个，
，，．
10(沈阳市) 26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴＝　　即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　
自变量m的取值范围是0＜m＜8　　
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．　　
11(辽宁省十二市课改实验区) 26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
解: （1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为．
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得
所求抛物线关系式为：．
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（ 0＜＜4）
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．
12(辽宁省旅顺口) 26．已知抛物线经过及原点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
附加题：如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？
解：（1）由已知可得：

解之得，．
因而得，抛物线的解析式为：．
（2）存在．
设点的坐标为，则，
要使，则有，即
解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．
故存在两个点使得与相似．
点的坐标为．
附加题：在中，因为．所以．
当点的坐标为时，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因为．所以．
即有．
所以，
又因为，
所以．
13(吉林省) 28．如图①，在边长为的正方形中，是对角线上的两个动点，它们分别从点，点同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过作垂直交的直角边于；过作垂直交的直角边于，连接，．设，，，围成的图形面积为，，，围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为）．到达到达停止．若的运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，直接写出以为顶点的四边形是什么四边形，并求为何值时，．
（2）①若是与的和，求与之间的函数关系式．（图②为备用图）
②求的最大值．
解: （1）以为顶点的四边形是矩形．
正方形边长为，．
，过作于，则．
，，．
当时，．
解得（舍去），．
当时，．
（2）①当时，
．
当时，，，
．
．
．
②解法1：当时，
，
当时，的最大值为．
当时，
，
当时，的最大值为．
综上可得，的最大值为．
解法2：，
当时，的最大值为．
，
当时，的最大值为．
综上可得，的最大值为．
14(吉林省长春市) 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，
以为边作矩形，为的中点．以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标．（1分）
（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式．（4分）
（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围．（2分）
（4）在值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的值．（3分）
解: （1）作于，则．
，．
（2）当时，如图①，．
当时，如图②，
设交于．
．
．
即．
或．
当时，如图③，
设交于．
．
，
或．
当时，如图④，
．
（此问不画图不扣分）
（3）．
（提示：以为直径作圆，当直线
与此圆相切时，．）
（4）的值为，，．
（提示：当时，．当时，（舍），．当时，．）
15(哈尔滨市)28. 如图，梯形在平面直角坐标系中，上底平行于轴，下底交轴于点，点（4，），点，，．
（1）求直线的解析式；
（2）若点的坐标为，动点从出发，以1个单位/秒的速度沿着边向点运动（点可以与点或点重合），求的面积（）随动点的运动时间秒变化的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当秒时，点停止运动，此时直线与轴交于点．另一动点开始从出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由到，然后由到，再由到，最后由回到（点可以与梯形的各顶点重合）．设动点的运动时间为秒，点为直线上任意一点（点不与点重合），在点的整个运动过程中，求出所有能使与相等的的值．
16(南京市) 27．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（ ， ）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为 ；
（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．
解：（1）①，；
②；
（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；
经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．
，，
，．
17（苏州市）29．设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，
与y轴交于点C.且∠ACB=90°．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．
解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．
∴ △AOC ∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB= ∴m=4．
18（无锡市）（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．
解：（1）如图（共有2种不同的分割法）
（2）设，，过点的直线交边于．在中，
①若是顶角，如图1，则，
，．
此时只能有，即，
，即．
②若是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当时，则，
中，，．
1．由，得，此时有，即．
2．由，得，此时，即．
3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾．
当是底角时，不成立．
19（南通市）28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．
解：（1），，，
是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，，
．．
设直线的解析式为，，．
直线的解析式为．
（2）抛物线关于轴对称，．
又抛物线经过，两点．
解得
抛物线的解析式是．
在中，，易得．
在中，，，易得．
是的角平分线．
直线与轴关于直线对称．
点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点．
点在直线：上，
故设点的坐标是．
又点在抛物线上，
．解得，．
故所求的点的坐标是，．
（3）要求的取值范围，可先求的最小值．
I）当点的坐标是时，点与点重合，故．
显然的最小值就是点到轴的距离为，
点是轴上的动点，无最大值，．
II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得．
的最小值是6．
同理没有最大值，的取值范围是．
综上所述，当点的坐标是时，，
当点的坐标是时， ．
20（连云港市）28。如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．
（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；
（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．
解：（1）在矩形中，，，
．
　　　　，．
　　　　，即，．
　　　　当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．
　　　　所以，的取值范围是．
　　　　（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．
　　　　，．
　　　　，
．
　　　　．点的坐标为．
　　　　设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得
　　　　　此时直线的函数解析式是．
　　　　　（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点　不构成三角形．
　　　　　故分两种情况：
　　　　　（i）当时，点位于的内部（如答图3）．
过点作，垂足为点，由
可得．
　　　　　
　　　　　．
　　　　　若，则应有，即．
　　　　　此时，，所以该方程无实数根．
　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．
　　　　　（ii）当时，点位于的外部．（如答图4）
　　　　　此时．
　　　　　若，则应有，即．
　　　　　解这个方程，得，（舍去）．
　　　　　由于，．
　　　　　而此时，所以也不符合题意，故舍去．
　所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．
　综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．
21（扬州市）26.如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解: （1），
（2），使，相似比为
（3），
，即，
当梯形与梯形的面积相等，即
化简得，
，，则，
（4）时，梯形与梯形的面积相等
梯形的面积与梯形的面积相等即可，则
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．
22(南充市)21. 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），∵　抛物线过点A和B，则　　　　解得　 则抛物线的解析式为　． 故　C（0，2）． （说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l是　x＝4．∵　Q（8，m）抛物线上，∴　m＝2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，∴　AQ＝． 又∵　B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，∴　PQ＋PB的最小值＝AQ＝．　　（3）如图②，连结EM和CM．由已知，得　EM＝OC＝2．CE是⊙M的切线，∴　∠DEM＝90o，则　∠DEM＝∠DOC．又∵　∠ODC＝∠EDM．故　△DEM≌△DOC．∴　OD＝DE，CD＝MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．则　OE∥CM． 设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴　　　解得　直线CM的解析式为．又∵　直线OE过原点O，且OE∥CM，则　OE的解析式为　y＝x．
23(常州市)28. 已知与是反比例函数图象上的两个点．（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得，因此．
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．
由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
故不符题意．
当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
过点分别作轴，轴的平行线，交于点．
由于，设，则，，
由点，得点．
因此，
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不等，故四边形是梯形．
如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．
由于，因此，从而．作轴，为垂足，
则，设，则，
由点，得点，
因此．
解之得（舍去），因此点．
此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．
如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，
同理可得，点，四边形是梯形．
综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．
24(宿迁市)27. 如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切。
（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；
（2）当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由。
解：⑴圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下：
⑵圆的直径等于正方形的边长一半时,覆盖区域的面积不是最大.理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为r 覆盖区域的面积为S
∵圆在正方形的内部，∴0＜r≤
由图可知：S＝a2―[（a―4r）2＋4r2－πr2]
＝a2―[（20―π）r2―8ar＋a2]
＝―(20―π) r2＋8ar
＝―(20―π)(r―)2＋
∵ 0＜ ＜
∴当r＝ 时，S有最大值
∵ ≠
∴圆的直径等于正方形的边长一半时,面积不是最大.

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