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第 15 章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第 2 课时 角平分线的性质及判定
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为 1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求.
O
1.操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表：
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
P
D
E
实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的
任意一点.
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质
验证猜想
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
试说明：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
解：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠POD = ∠POE，
OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
∴ PD = PE.
角平分线上的点到角两边的距离相等
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
定理的作用：
证明线段相等.
知识要点
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少.
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 ＝ .
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 = .
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
典例精析
例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段 — — 直接应用
典例精析
变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；
(2) 求 △APB 的面积.
A
B
C
P
D
4
温馨提示：存在一条垂线段 — — 构造应用
故 AB · PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
1. 应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
逆
命
题
思考：这个结论正确吗？
角平分线的判定
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
证明猜想
证明：
作射线 OP，
∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等).
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
B
A
D
O
P
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).
∴ ∠AOP =∠BOP
角平分线判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
知识总结
例3 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
O
N
M
A
B
P
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
三角形的内角平分线
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等
你能证明这个结论吗？
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，
求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明结论
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE. 同理 PE = PF.
∴PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
(2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC.
∵由 (1) 得， PD = PE = PF (已证).
∴ PD = PF (等量代换).
又∵ PD⊥AB，PF⊥AB，
∴ AP 平分∠BAC
(角平分线上的点到角两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，
(1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用
12
解：连接 OC，
(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
知识与方法
1.应用角平分线的判定与性质：
存在角平分线或能判定为角平分线
涉及角平分线上的点到两边的距离问题
条件
例4 如图，在 △ABC 中，点 O 是 △ABC 内一点，且点 O 到 △ABC 三边的距离相等．
若∠A＝40°，则 ∠BOC 的度数为 (　　).
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：O 到 △ABC 三边的距离相等，所以 O 是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO 都是角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∵ ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∴ ∠OBC＋∠OCB＝70°，
∴ ∠BOC＝180°－70°＝110°.
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O 是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
方法总结
归纳总结
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，
∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB.
∴ DF ＝ DE ＝ 2.
解得 AC＝3.
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 (　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
D
B
C
E
A
D
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.
4. 在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，则：
(1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？(2) 若 AB＝10，
BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和 △AED 的周长.
解：(1) DC＝DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2) 在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中，DC = DE，DB = DB，∴ Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴ BE＝BC＝8.
∴ AE＝AB - BE＝2.
∴△AED 的周长为AE + ED + DA＝2 + 6＝8.
E
D
C
B
A
6
8
10
解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离.
∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，
∴ PM = PE. 同理，PN = PE.
∴ PM = PN = PE =3.
∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离.
6. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵ OD 平分∠POQ，
∴∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 与△BOD 中，
OA = OB，
∠AOD =∠BOD，
OD = OD，
∴△AOD≌△BOD (SAS).
又∵ CM⊥AD ，CN⊥BD ，
∴ CM = CN.
∴∠ADO =∠BDO.
7.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵点 F 在∠BCE 的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH.
∴FG＝FH.
∴点 F 在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
拓展思维
8. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
角平分线的性质及判定
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
重要结论
三角形的角平分线相交于内部一点

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