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抛物线
抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．
图形
标准方程
焦点
顶点坐标
对称性 对称轴________ 无对称中心 对称轴________ 无对称中心
准线
抛物线有关的常用二级结论：
设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若，则，当e=1时，(为直线的倾斜角)
若F为抛物线C：的焦点，AB是过焦点且倾斜角为(A在x轴上方),A,B,直线AB的倾斜角为，则有以下结论
①AF=,BF=,AB=,AF=,BF=,；AB=，
②以AB为直径的圆与准线相切；
③，
④∠AHF=∠BHF
⑤∠A1FB1=90°,∠A1MB1=90°；
⑥在A点处的切线方程为
⑦NA为抛物线的切线，且切点为O
⑧过准线上任意一点P作抛物线的两条切线，切点为M、N，则直线MN必过焦点F，且PM⊥PN；
⑨A1、O、B三点共线；
⑩抛物线有两点A、B满足OA⊥OB，则AB过定点(2p，0).
与抛物线有关的计算
过抛物线的焦点F作直线l与其交于A、B两点，若AF=4，则BF=( )
A.2 B. C. D.1
过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=______.
如图，抛物线C1：和圆C2:，其中p>0,直线l经过C1的焦点，依次交C1、C2于A、B、C、D四点，则的值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线C:与点M(-2,2)，过点C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若,则k=()
B. C. D.2
如图，已知抛物线的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(),B()两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N
(1)求的值；
(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明:为定值.
已知点F为抛物线E：的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且AF=3，
求抛物线E的方程；
已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
6.在直角坐标系xoy中，曲线C：与直线l：交于M、N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
与抛物线有关的线段最值
已知F是抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点，设FA>FB，则FA与FB的比值等于___________
抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________
已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与D、E交于两点，则AB+DE的最小值为_______
A、B是抛物线上的两点，且满足OA⊥OB,求证：直线AB经过一个定点.
已知抛物线C：，F为C的焦点，过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与抛物线交于A、B两点，若FA=2FB，则k=_____
多选经典
（多选）1．AB为抛物线x2＝2py（p＞0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），分别过A，B作的抛物线的切线交于点M（x0，y0），称△AMB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．若弦AB过焦点F，则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2x0
B．底边AB的直线方程为x0x﹣p（y+y0）＝0
C．△AMB是直角三角形
D．△AMB面积的最小值为2p2
（多选）2．若直线l与抛物线C：y2＝2px有且仅有一个公共点P（x0，y0），且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y＝px0+px．已知抛物线C：y2＝4x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q（x3，y3），过抛物线C上异于A，B的一点D（x4，y4）的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则（　　）
A．直线AB的方程为y3y＝2x+2x3
B．点A，Q，B的横坐标成等差数列
C．|QA| |BN|＝|QB| |QM|
D．|MN| |BN|＝|QB| |DN|
（多选）3．设F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，过B作与x轴平行的直线，和过点F且与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，则（　　）
A．x1x2+y1y2为定值
B．当直线l的斜率为1时，△OAB的面积为（其中O为坐标原点）
C．若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列
D．点M到直线FN的距离为
（多选）4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P，则（　　）
A．
B．若|AF| |BF|＝4p2，则直线AB的斜率为
C．若抛物线上存在一点E（2，t）到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝8x
D．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为
（多选）5．已知抛物线C：y2＝4x，点A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（　　）
A．焦点坐标为（2，0）
B．向量与的数量积为5
C．直线MN的斜率为m
D．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ
（多选）6．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线l与C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O是坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．直线l经过焦点F的充要条件是y1y2＝﹣p2
B．直线l经过焦点F的充要条件是x1x2＝
C．若直线l经过焦点F，且|AF|+4|BF|的最小值是9，则p＝2
D．若∠AOB＝，且△OAB的面积最小值是16，则p＝2
（多选）7．抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（　　）
A．|AB|的最小值为4
B．线段AB为直径的圆与直线y＝﹣1相切
C．x1x2为定值
D．若M（0，﹣1），则∠AMF＝∠BMF
（多选）8．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为，则（　　）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝12x
（多选）9．已知抛物线C：y2＝2px过点（2，4），焦点为F，准线与x轴交于点T，直线l过焦点F且与抛物线交于P、Q两点．过P、Q分别作抛物线C的切线，两切线相交于点H，则下列结论正确的是（　　）
A．＝0
B．抛物线C的准线过点H
C．tan∠PTQ＝2
D．当取最小值时，∠PTF＝
（多选）10．已知抛物线y＝2x2的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．点F的坐标为（，0）
B．若，则＝8
C．以AF为直径的圆与x轴相切
D．若|AF|+|BF|＝1，则线段AB的中点P到x轴的距离为
参考答案
与抛物线有关的计算
B 2. 2 3.A 4.D 5.(1)-8 (2) 6.(1)；(2)略 7.略
与抛物线有关的线段最值
1.3+2 2.6 3.16 4.(2，0) 5.
多选经
ABC 2.ACD 3.ACD 4.AD 5.BCD 6.ABC
7.ABCD 8.BC 9.ABD 10.BCD

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