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第1讲 分数乘法巧算中运算规律与类型梳理 -六年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）
第1讲 分数乘法巧算中运算规律与类型梳理
计算需要结合参与运算的数的特征，相互之间的关系的判断，选择恰当的方法。分数计算也不例外，分数本身的特殊性，有分子和分母组成，相较于整数小数的巧算会呈现出继承性和自身独有的一些类型。有时需要运用转化、拆分、整体代换等技巧使一些复杂的计算变得简便，常见的类型有以下几类：
连乘——乘法交换律的应用
方法：将分数相乘的因数互相交换，让便于约分的先行运算。
例：
乘法分配律的应用
方法：将括号中相加减的两项分别与括号外的分数相乘，符号保持不变。
例：
乘法分配律的逆运算
方法：提取两个乘式中共有的因数，将剩余的因数用加减相连，同时添加括号，先行运算。
例：
添加因数“1”
方法：添加因数“1”，将其中一个数n转化为1×n的形式，将原式转化为两两之积相加减的形式，再提取公有因数，按乘法分配律逆向定律运算。
例：
数字化加式或减式
方法：将一个大数转化为两个小数相加或相减的形式，或将一个普通的数字转化为整式整百或1等与另一个较小的数相加减的形式，再按照乘法分配律逆向运算解题。
例：
带分数化加式
方法：将带分数转化为整数部分和分数部分相加的形式，再按照乘法分配律计算。
例：
乘法交换律与乘法分配律相结合
方法：将各项的分子与分子（或分母与分母）互换，通过变换得出公有因数，按照乘法分配律逆向运算进行计算。
注意：只有相乘的两组分数才能分子和分子互换，分母和分母互换。不能分子和分母互换，也不能出现一组中的其中一个分子（或分母）和另一组乘式中的分子（或分母）进行互换。
例：
此外，还有多次连环逆用乘法分配律，换元法等方法。
【例1】
1．计算：( )。
思路分析：先算括号里的加法，再根据乘法交换律和结合律计算。
规范解答：
故答案为：46。
【例2】
2．计算。
思路分析：整体观察，寻找规律，合理分组代换。设：再将字母a、b代入原式进行计算。
规范解答：设则
原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a
＝b＋ab－a－ab
＝b－a
3．逆用乘法分配律进行简算。

4．用“变形约分法”进行简便计算：
5．用“转化法”进行简便计算：
6．用“裂项消去法”进行简便计算。

7．用“设代法”进行简算计算。
8．计算： ( )。
9．算式的计算结果是( )。
10．( )。
11．选择合适的方法计算。
（1）
（2）
（3）
（4）
12．简便计算。
13．计算：
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．46
【分析】先算括号里的加法，再根据乘法交换律和结合律计算。
【详解】
【点睛】本题考查了分数的简便运算，明确整数乘法的运算律在分数中同样适用。
2．
【分析】设＝a，＝b，则原式＝（1＋a）b－（1＋b）a，把这个式子化简即可解答。
【详解】设＝a，＝b，则
原式＝（1＋a）b－（1＋b）a
＝b＋ab－a－ab
＝b－a
＝（）－（）
＝
3．3.7；
【分析】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行解答即可；
（2）先将1－化成，再根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行解答。
【详解】
＝
4．
【分析】先把小括号里面的算式得数计算出来，然后观察式子，可以调换位置把互为倒数的两个因数相乘，最后再计算。
【详解】
5．
【分析】观察算式发现规律：，，…，按此规律进行简算。
【详解】
6．；
【分析】（1）观察发现规律：，，…，按此规律进行简算；
（2）观察发现规律：，，…，按此规律进行简算。
【详解】（1）
（2）
7．
【分析】假设，，利用乘法分配律，将算式化简后，再将a和b表示的算式代入，即可进行简便计算。
【详解】假设，；
原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a
＝b＋ab－a－ab
＝b－a
8．
【分析】将分数的分子与分母分别写成两个因数相乘的形式，通过先约分再进行计算。
【详解】
因此。
【点睛】解答本题的关键是找出算式的特征：把分子和分母改写成两个因数相乘的形式。
9．
【分析】先把除法转化成乘法，然后根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算。
【详解】
所以，算式的计算结果是。
【点睛】整数乘法的运算定律对分数乘法同样适用，关键是先把除法转化成乘法，再根据乘法运算定律进行简算。
10．
【分析】先计算括号里的减法，原式化为：×××××××，然后约分计算，据此解答。
【详解】（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）
＝×××××××
＝
所以，（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）×（1－）＝。
11．（1）
（2）16
（3）1
（4）1
【分析】（1）＋＋＋…＋，把化为1－，化为－，化为－，…，化为－，原式化为：1－＋－＋－＋…＋－，再化为1－，再进行计算；
（2）×＋16×＋×，把 16×化为4×；×化为×；原式化为：× ＋4×＋×，再根据乘法分配律，原式化为：×（ ＋4＋），再根据加法交换率，原式化为：×（＋＋4），再进行计算；
（3），把345×566化为：345×（567－1），原式化为：，再根据乘法分配律，原式化为：，再计算出567－345×1，原式化为：，再进行计算；
（4）76×（－）＋23×（＋）－53×（－），根据乘法分配律和减法性质，原式化为：－＋＋－＋，再根据加法交换律和减法性质，原式化为：（－）－（－）＋（＋），再进行计算。
【详解】（1）＋＋＋…＋
＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－
＝
（2）×＋16×＋×
＝× ＋4×＋×
＝×（ ＋4＋）
＝×（＋＋4）
＝×（24＋4）
＝×28
＝16
（3）
＝
＝
＝
＝1
（4）76×（－）＋23×（＋）－53×（－）
＝－＋＋－＋
＝（－）－（－）＋（＋）
＝1－1＋1
＝1
12．
【分析】先把分数化为小数，再把790拆为79×10，最后利用乘法分配律简便计算。
【详解】
13．10231；
50
【分析】（1）利用乘法分配律进行简便计算；
（2）把化为，化为，再利用乘法分配律简便计算。
【详解】（1）
（2）
答案第1页，共2页
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