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专题二十六 直线、平面平行的判定与性质
知识归纳
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
知识点二、两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
方法技巧与总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
典例分析
题型一、平行的判定
【例1-1】已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．，则
B．，，则
C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【例1-2】已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例1-3】在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直线l，那么∥．
（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-4】如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（　　）
A．B．C． D．
【例1-5】如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（ ）．
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定
题型二、直线与平面平行的证明
利用三角形的中位线证明线面平行
【例2-1】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【例2-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面；
【例2-3】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
证明：平面；
（二） 利用对应线段成比例证明线面平行
【例2-4】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点．
若，求证：平面．
【例2-5】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．
证明：平面．
【例2-6】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.
证明：平面；
【例2-7】在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.
（三） 构造平行四边形证明线面平行
【例2-8】如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
证明；平面；
【例2-9】如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证：平面；
【例2-10】在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点．
证明：平面；
【例2-11】如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若多面体的体积为32，求的值.
【例2-12】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，
平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
【例2-13】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
（四）利用线面平行的性质证明线面平行
【例2-14】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
【例2-15】如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
证明：平面.
（五）通过面面平行证线面平行
【例2-16】如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点．
证明：面ABCD；
【例2-17】如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
【例2-18】已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，．
求证：平面；
【例2-19】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【例2-20】在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．
求证：平面；
题型三、利用线面平行的性质证明线线平行
【例3-1】如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形．是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面．
在图中画出，写出画法并说明理由；
【例3-2】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．
若平面平面，证明：；
【例3-3】如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
设平面平面，证明：；
【例3-4】正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例3-5】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．
若平面，求的值；
【例3-6】如图，三棱锥中，底面与侧面是全等三角形，侧面是正三角形，，，，，，，分别是所在棱的中点，平面与平面相交于直线．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
题型四、面面平行的判定与证明
【例4-1】已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．l与α，β所成角相等 B．，
C．，， D．，，
【例4-2】a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例4-3】如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
证明：平面BMN∥平面PCD；
【例4-4】如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点．
证明：平面平面；
【例4-5】如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
求证：平面平面BDF；
【例4-6】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
【例4-7】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
求证：平面平面；
题型五、面面平行的性质
【例5-1】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．
已知，若平面平面，求的值；
【例5-2】在长方体中，，P为的中点．已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【例5-3】如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
【例5-4】如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
题型六、平行关系的探索性问题
【例6-1】三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示，在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
【例6-2】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
【例6-3】如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【例6-4】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.
(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体的体积.
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
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专题二十六 直线、平面平行的判定与性质
知识归纳
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
知识点二、两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
方法技巧与总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
典例分析
题型一、平行的判定
【例1-1】已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．，则
B．，，则
C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【答案】D
【解析】，则或，故选项A错误；
，，则或，故选项B错误；
当平面与平面相交时,可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误；
如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确．
【例1-2】已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】A：，则或，错误；
B：，则或，错误；
C：，则可能相交或平行，错误；
D：由为两个平面且、，故且，
由，则，又，，，则，所以，正确．
【例1-3】在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直线l，那么∥．
（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确．
【例1-4】如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，
因为、分别为、的中点，则，
若平面，平面，平面平面，则，
在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾．
假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行．
【例1-5】如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（ ）．
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】B
【解析】连接交于，连接，
而M，N分别是，的中点，
所以，即，
且，即，
则为平行四边形，故，
由面，面，则面．
题型二、直线与平面平行的证明
利用三角形的中位线证明线面平行
【例2-1】如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：如图，连接交于点，连接．
因为底面是平行四边形，所以是的中点．
又是的中点，所以．
因为平面平面，所以平面
（2）因为矩形中为的中点，
所以，所以．
因为，所以,所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以．
又，平面，平面
所以平面．
因为，所以，
所以
【例2-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面；
【解析】（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，
所以，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面．
【例2-3】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
证明：平面；
【解析】证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
（二） 利用对应线段成比例证明线面平行
【例2-4】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点．
若，求证：平面．
【解析】连接，记与的交点为，连接．
由，得，，
又，则，
∴，又平面，平面，
∴平面．
【例2-5】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．
证明：平面．
【详解】在三棱柱中，连接，交于点，连接，
如图，四边形为平行四边形，有，
而为的中点，则，
由，得，
又分别为的中点，即有，
因此，则，而平面平面，
所以平面．
【例2-6】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.

证明：平面；
【详解】，，为正三角形，
，则为中点，
设，，，故，故为的三等分点，
，为的三等分点，即F为的中点，故，
平面，平面，故平面.
【例2-7】在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又，所以与相似，所以，
因为为的重心，所以，
所以，所以与相似，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：连接，则，因为平面，且，平面，
所以，，所以，;
又，，平面，所以平面.
连接，则为与平面所成的角，且，
因为，，四边形是矩形，易求，
又与平面所成角的正切值为，因为，所以,所以，
设到平面的距离为，则,
由条件知，所以，所以，即点到平面的距离为.
（三） 构造平行四边形证明线面平行
【例2-8】如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
证明；平面；
【解析】连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面．
【例2-9】如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证：平面；
【解析】在四棱台中，四边形为平行四边形，
且，点E为棱BC的中点，连，如图，
则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
【例2-10】在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点．
证明：平面；
【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点分别为线段的中点．
所以，又，
所以，
所以四边形MBGN是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
【例2-11】如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若多面体的体积为32，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)2
【详解】（1）证明：连接.因为为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AE两两垂直，
连接AC，多面体ABCDEF的体积等于.
因为AB=AE=2CF=2m，所以四棱锥B-ACFE和四棱锥D-ACFE的高都为，
四边形（直角梯形）ACFE的面积为，
所以多面体ABCDEF的体积等于，
因为多面体ABCDEF的体积为32，
所以4m3=32，解得m=2.
【例2-12】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求证：平面；
(2)若与所成的角为，求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）延长交于点M，连接，则在面内，
由，则，又，
所以，可得，
由，G在上且，故为平行四边形，
则，且，又共线，
所以，且，故为平行四边形，则，
由平面，平面，所以平面．
（2）取的中点N，则，且，
所以为平行四边形，则，
在平面内，过G作FB的平行线交AB于P，
所以与所成的角，即为与所成角，则，
平面，平面，则，而，设，则△中，，
，则为等边三角形，
故，即，
所以在中，P为的中点，且，故为的中位线，
所以，易知多面体为棱台，且，且，
体积．
【例2-13】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，
因为为全等的正三角形，
所以，，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
同理可得平面，
根据线面垂直的性质定理可知，而，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，
同理有，，，，
由平面知识可知，，，，
所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，
点到平面的距离即为点到直线的距离，，
所以该几何体的体积
．
（四）利用线面平行的性质证明线面平行
【例2-14】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)(8，12)
【详解】（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）设，∵EF∥AB，FG∥CD，∴，
则＝＝＝1－，∴.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).
【例2-15】如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.
证明：平面.
【详解】（1）因为分别为的中点，
所以，.
又平面，平面，
所以，平面.
又平面，平面与底面的交线为，所以，.
从而，.
而平面，平面，所以，平面.
（五）通过面面平行证线面平行
【例2-16】如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点．
证明：面ABCD；
【解析】（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，
因为，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，
，又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，平面，
所以平面平面ABCD，
因为平面ABCD，所以平面ABCD．
【例2-17】如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
【解析】存在．理由如下：
在上取点，在上取点，
使得，则 ， 平面，
故平面，而
而，故是平行四边形，
故平面，
故平面，而 ，
故平面平面，而平面，
得平面平面，
在中，，
．
【例2-18】已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，．
求证：平面；
【解析】证明：由题意知，又，所以H为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
又平面， 平面， 所以平面；
易知，又平面， 平面，
所以平面
又平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
【例2-19】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面
【例2-20】在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．
求证：平面；
【解析】证明：连接、，
在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，
则，且，
故、、均为等边三角形，
所以，在底面中，，则，
平面，平面，所以，平面，
因为、、都是圆柱的母线，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面．
题型三、利用线面平行的性质证明线线平行
【例3-1】如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形．是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面．
在图中画出，写出画法并说明理由；
【解析】如图，在内过作，交于，
则直线即为直线．
理由如下：取的中点，连结，，
因为和均为等边三角形，
所以，，所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以直线即为直线．
【例3-2】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

若平面平面，证明：；
【详解】在图1中，因为，，，
所以，，又，
所以，
因为，，
所以，故，
在图2中，因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，所以；
【例3-3】如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
设平面平面，证明：；
【解析】因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH．
∵平面PBC，平面平面，∴．
【例3-4】正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面平面，平面平面，
平面平面，则；
在正方体中，易证平面，故，
所以，即与所成角的大小为．
【例3-5】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．
若平面，求的值；
【解析】连接，交于点，连接；
平面，平面，
平面平面，
，；
，，，
，即的值为．
【例3-6】如图，三棱锥中，底面与侧面是全等三角形，侧面是正三角形，，，，，，，分别是所在棱的中点，平面与平面相交于直线．

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）因为，，，分别为，，，的中点，
所以，，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面，且平面平面，所以，又，所以.
（2）连接，因为，，，侧面是正三角形，
所以，，又与是全等三角形，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，，又，且平面，
所以平面，又为的中点，
所以到平面的距离为.
在中，，，
又，，为的中点，
所以，且
在中，，
所以，
所以，
设到平面的距离为，由，得，即，
即到平面的距离为.
题型四、面面平行的判定与证明
【例4-1】已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（ ）
A．l与α，β所成角相等 B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】对于A，正方体中，设边长为，连接，则为与平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值为，
故与平面和所成角大小相等，
但平面与平面不平行，故A错误；
B选项，平面⊥平面，平面⊥平面，
但平面与平面不平行，故B错误；
对于C，由，得，又，所以，故C正确；
对于D，l与m可同时平行于α与β的交线，故D错误．
【例4-2】a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，
①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；
②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；
③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤，，则或，所以⑤不正确；
⑥，，则或，所以⑥不正确；
【例4-3】如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．
∵AD⊥CD，CD，BM 平面ABCD，
∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD 平面PCD，
∴BM∥平面PCD．
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．
又MN平面PCD，PD 平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN 平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
【例4-4】如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点．
证明：平面平面；
【解析】证明：连接EG，．
因为E，G分别是棱，的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
因为E，F分别是棱，的中点，所以．
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，
所以平面平面．
【例4-5】如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
求证：平面平面BDF；
【解析】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面
【例4-6】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明过程见详解；(2)
【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线， 所以,，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而,平面，平面，
平面平面PCD.
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，
所以，因为底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，
所以，，所以和均为直角三角形，
所以，，
所以，所以，
所以，
设点到平面的距离为，根据体积相等法可知，
所以，所以.
，
故三棱锥的体积为.
【例4-7】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

求证：平面平面；
【详解】在圆柱中，,平面,平面,故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，
故，
则为正三角形，故，则，
平面,平面,
故平面；
又平面，
故平面平面.
题型五、面面平行的性质
【例5-1】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．
已知，若平面平面，求的值；
【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可知：，
于是，由为的中点知：为的中点，故，
所以．
【例5-2】在长方体中，，P为的中点．
已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【解析】依题意，如图，平面平面，
平面平面，平面平面，
则，在长方体中，，
则有四边形为平行四边形，
于是得，
即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，
所以分别是棱的中点．
【例5-3】如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心时，平面平面．
证明：连结DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，
则四边形是平行四边形，故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
【例5-4】如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心时，平面平面．
证明：连接DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
题型六、平行关系的探索性问题
【例6-1】三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.
在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
【详解】连接，取的中点为，连接，则平面.
在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点，
而为的中点，于是，平面平面，
所以平面.
【例6-2】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
【详解】取的靠近点的三等分点，连接、、，
则，
又因为，所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面，
因此，线段上是否存在点，且当时，平面.
【例6-3】如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
【例6-4】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.

(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体的体积.
【答案】(1)存在，的中点，证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.
因为是的中点，所以.
又因为平面，平面，
所以平面，又因为是的中点，
所以，又因为平面，平面
所以平面.
又因为，平面
所以平面平面，
（2）连接，因为平面平面，
平面平面，，所以平面，
由题意易得直角梯形的面积为，所以
在中，易知，
由余弦定理得，
所以，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
所以多面体的体积为.
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
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