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专题二十五 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识归纳
一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
四、平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
五、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
典例分析
题型一、平面的概念及基本性质
【例1-1】下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【例1-2】一个平面把空间分为__________部分；两个平面把空间分为__________部分；三个平面把空间分为__________部分．
【例1-3】一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.
题型二、证明“点共面”、“线共面”
【例2-1】给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________．
【例2-2】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【例2-3】如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为________．
【例2-4】如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.
【例2-5】(多选题)在棱长为1的正方体 中， 为底面的中心，是棱 上一点，且，， 为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A． 与 共面；
B．三棱锥 的体积跟的取值无关；
C．当时， ；
D．当时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面的周长为．
题型三、证明“点共线”及“线共点”
【例3-1】在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【例3-2】在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线； B． 四点共面；
C． 四点共面； D． 四点共面.
【例3-3】(多选题)如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（ ）

A．，，三点共线 B．异面直线与所成的角为
C．点到平面的距离为 D．过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【例3-4】如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线
B．的长度为1
C．直线与平面所成角的正切值为
D．的面积为
【例3-5】如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：
①平面；
②平面；
③平面；
④直线交于一点.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3-6】如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．直线，有可能平行
B．直线，一定异面
C．直线，一定相交，且交点一定在直线上
D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上
题型四、平面基本性质的应用
【例4-1】如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值
【例4-2】如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

【例4-3】在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】如图，长方体中，，，点为线段的中点，点为棱上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为，则（ ）
A．截面可能为六边形
B．存在点，使得截面
C．若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．当与重合时，截面将长方体分成体积比为的两部分
【例4-5】已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
【例4-6】如图，在直四棱柱中，，，，，点 分别为棱 的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【例4-7】棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行
【例4-8】正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五、判断两条直线的位置关系
【例5-1】两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【例5-2】已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．a，b一定是异面直线
【例5-3】已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D．直线c与平面可能平行
【例5-4】设点为正方形的中心，为平面外一点，为等腰直角三角形，且，若是线段的中点，则（ ）
A．，且直线、是相交直线 B．，且直线、是相交直线
C．，且直线、是异面直线 D．，且直线、是异面直线
【例5-5】已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（ ）
A． B．面
C． D．面
【例5-6】如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
【例5-7】如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（ ）
A．直线直线CD B．直线直线ED
C．直线直线PQ D．直线平面
【例5-8】(多选题)如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．直线与可能垂直
D．若，则二面角的大小为
题型六、等角定理
【例6-1】(多选题)我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【例6-2】下列说法中，正确的是__________．
①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
④若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；
⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是相交或异面．
题型七、异面直线所成的角
【例7-1】已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】正三棱柱的棱长均相等，E是的中点，则异面直线与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【例7-4】在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-5】在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（ ）
A． B． C． D．
【例7-6】如图所示，在三棱锥中，，M在内，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
题型八、空间直线与平面位置关系判断
【例8-1】已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ）．
A．存在直线，使 B．存在直线，使
C．存在直线，使l，m相交 D．存在直线，使l，m所成角为
【例8-2】已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于
【例8-3】已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　)
A．0条　　　　　　　　B．1条　　　　　　　　C．2条　　　　　　　　D．无数条
【例8-4】在三棱倠中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
【例8-5】已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，若，则
C．若，、分别与、所成的角相等，则
D．若m//α，m//β，，则
题型九、平面与平面位置关系的判断
【例9-1】如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（ ）
A． B．
C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH
【例9-2】在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
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专题二十五 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识归纳
一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
四、平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
五、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
典例分析
题型一、平面的概念及基本性质
【例1-1】下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【答案】D
【详解】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；
对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；
对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；
对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.
【例1-2】一个平面把空间分为__________部分；两个平面把空间分为__________部分；三个平面把空间分为__________部分．
【答案】 或 或或或
【详解】一个平面把空间分为部分；
两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分，
故两个平面将空间分成或部分；
当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示；
当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示；
当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示；
当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示；
当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，
即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示；
综上可得三个平面把空间分为或或或部分.

故答案为：；或；或或或
【例1-3】一条直线和直线外三点最多可以确定_________个平面.
【答案】4
【分析】分情况讨论每种可能的结果，最后再取最多的那个即可.
【详解】( 1 ) 如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线平行，可确定 1 个平面；如果直线外三点共线 , 且所在直线与已知直线相交 , 可确定 1 个平面 ；
( 2 ) 如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线异面，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线平行，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，两条与已知直线均异面 , 第三条与已知直线相交，可确定 3 个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的 3 条直线中，一条与已知直线均异面，其它两条与已知直线相交，可确定 3 个平面；
( 3 ) 如果直线外三点不共线，且任意两点所在直线与已知直线均异面，可确定 4 个平面；
综上所述，最多可确定4个平面.
故答案为：4
题型二、证明“点共面”、“线共面”
【例2-1】给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________．
【答案】①②④
【详解】对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；
对于②，不妨设，，，，则、唯一确定一个平面，
所以，，所以，又，，所以，
所以，又，，所以，故三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面，所以②正确；
对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；
对于④，因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，
所以由直线在平面内的判定性质知满足条件的第四条直线必在该平面内，故④正确．
综上①②④正确．
【例2-2】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【答案】C
【详解】因为 , 则四点共面.
因为 , 则 平面 ,
又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，故选项C错误；
，且，所以为平行四边形，
所以共面，所以四点共面，故选项D正确.
【例2-3】如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为________．
【答案】
【详解】∵，所以，
分别过作，垂足分别为，
分别过作，垂足分别为，
可得均为平行四边形，则，
过点作//，交直线于点，则，
可得，即，
在上取点，使得，
∵//，//，则//，可知：//，，即为平行四边形，
∴//，，又∵为平行四边形，则//，，
可得//，，故为平行四边形，则//，
又∵//，则//，即四点共面，
故点即为直线与平面的交点，∴.
【例2-4】如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.
【答案】/
【详解】解：如图所示：
补全四棱锥为三棱柱，作，且，
因为ABCD为平行四边形，所以，
则，且，
所以四边形和四边形都是平行四边形，
因为N为中点，则延长AN必过点E，
所以A，N，E，H，M在同一平面内，
因为，所以，
又因为M是棱上靠近点D的三等分点，
所以，则.
【例2-5】(多选题)在棱长为1的正方体 中， 为底面的中心，是棱 上一点，且，， 为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A． 与 共面；
B．三棱锥 的体积跟的取值无关；
C．当时， ；
D．当时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面的周长为．
【答案】ABD
【详解】对选项A：在中，因为， 为 ， 的中点，
所以，所以 与 共面，所以A正确；
对选项B：由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；
对选项C：当时，,可得，，
取的中点分别为，连接,则
在直角三角形中,
则，所以不成立，所以C不正确．
对选项D：当时，取,连接,则,又所以
所以共面,即过 ， ，三点的正方体的截面为 ，
由,则是等腰梯形,且
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确．
题型三、证明“点共线”及“线共点”
【例3-1】在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【答案】B
【详解】如图，∵EF 平面ABC，GH 平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
【例3-2】在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线；
B． 四点共面；
C． 四点共面；
D． 四点共面.
【答案】AB
【解析】∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共点；
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.故①正确.
∵，，∴，，确定一个平面，
又，平面，∴平面，故②正确.
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故 四点不共面，故③不正确.
根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故 四点不共面，故④不正确.
【例3-3】(多选题)如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则（ ）

A．，，三点共线 B．异面直线与所成的角为
C．点到平面的距离为 D．过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【详解】因为为底面的中心，所以为和的中点，则，，
因为平面，平面，所以平面，平面，
所以点是平面与平面的公共点；
显然是平面与平面的公共点；
因为交平面于点，平面，
所以也是平面与平面的公共点，
所以，，三点都在平面与平面的交线上，
即，，三点共线，故A正确；
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
即异面直线与所成的角为，故B不正确；
根据证明的方法，同理可得，
因为，平面，所以平面，
则的长度就是点到平面的距离，
显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1，所以正三角形的边长为，所以，又，
所以，即点到平面的距离为，故C正确；
取的中点，连，，，，
因为，所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：
因为，，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确.
【例3-4】如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（ ）
A．A，M，O三点共线
B．的长度为1
C．直线与平面所成角的正切值为
D．的面积为
【答案】C
【详解】对于A，连结，则，四点共面，
平面，，平面，
又平面，在平面与平面的交线上，
同理也在平面与平面的交线上.
三点共线，故A正确：
对于B，设直线与平面的交点为，
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面平面，，
为中点，为中点，同理可得为的中点，，故B正确；
对于C，取中点，连接，，平面，
则即为直线与平面所成角，又平面平面，
故即为直线与平面所成角，
又，，故C错误；
对于D，，，
，故D正确.
【例3-5】如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：
①平面；
②平面；
③平面；
④直线交于一点.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为，所以且，又分别为的中点，
所以且，则，又平面，平面，所以平面，
因为为的中点，为的一个三等分点，所以与为相交直线，故与平面必不平行，也不平行平面，
因为为梯形，所以与必相交，设交点为，又平面，平面，
则是平面与平面的一个交点，所以，即直线交于一点.
【例3-6】如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．直线，有可能平行
B．直线，一定异面
C．直线，一定相交，且交点一定在直线上
D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上
【答案】C
【详解】，，，则，且，
又，，，则，且，
，且，四边形为平面四边形，
故直线，一定共面，故错误；
若直线与平行，则四边形为平行四边形，
可得，与矛盾，故错误；
由，且，，，
可得直线，一定相交，设交点为，
则，又平面，可得平面，同理，平面，
而平面平面，，即直线，一定相交，
且交点一定在直线上，故正确，错误．
题型四、平面基本性质的应用
【例4-1】如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值
【答案】BC
【详解】将正方体切去两个正三棱锥与后，
得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体V，
在上取一点，作，，
再作，，，
则六边形即为平面，
V的每个侧面都是等腰直角三角形，
截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，
将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，
得到一个平行四边形，
而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），
显然，故为定值.
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，
易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.

【例4-2】如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

【答案】
【详解】延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交
于点，交于点，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面.
因为，则，
又因为，所以，即，解得，
同理可得，则，，
因为，所以，又，则，同理可得；
所以，
，，
，
，
.

【例4-3】在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】延长交的延长线于，连接交于，
∵平面，平面，
平面平面，
∴，故直线即为直线，
取的中点，连接，
又点，分别是棱，的中点，
∴，
∴，，
∴，即.
【例4-4】如图，长方体中，，，点为线段的中点，点为棱上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为，则（ ）
A．截面可能为六边形
B．存在点，使得截面
C．若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．当与重合时，截面将长方体分成体积比为的两部分
【答案】C
【解析】对于A，截面可能为四边形或五边形，不能是六边形，A错误；
对于B，若存在点，使得截面，则，则为中点，
此时与不垂直，不存在点，使得截面，B错误；
对于C，当截面为平行四边形时，在平面内过点作的平行线，交于，
过点作的垂线，垂足为，连接，则平面，
斜线在平面的射影为，则；
设，，，，
截面面积为，当时，，C正确；
对于D，当重合时，截面为梯形；取中点，连接，延长交于点，
，，
棱台的体积，又长方体体积，
剩余部分的体积，，D错误.
【例4-5】已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接,则,取的中点，连接，则
所以, 则直线平面
延长交于，连接交于点，连接,则为的中点.
则平面截该正方体所得的截面图形为
由条件可得,则,
则，,
取 的中点，连接，则，所以
所以,则
则，
所以截面图形周长为
【例4-6】如图，在直四棱柱中，，，，，点 分别为棱 的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为在直四棱柱中，，
所以平面平面，
设平面线段，连接，
又因为平面平面，
所以，延长，交的延长线于点，
则，连接，，
则平面平面，
易知四边形为直角梯形，且.
如图，再将直四棱柱补成一个长方体，
由图及题中数据可得，，，
所以，所以，
故交线围成的图形的面积为.
【例4-7】棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行
【答案】BD
【解析】对A，时，截面为矩形，故A错；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，
此时截面积，B正确；
对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，
故，根据线面平行的判定可知与截面平行，故D正确．
【例4-8】正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图所示：
延长交于点，则，即为中点，
连接，取中点，连接，则，，，，四点共面，
，，，
截面如图所示：在中，边上的高，
记边上的高为，则，
，
则所截得的截面面积为：.
题型五、判断两条直线的位置关系
【例5-1】两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【答案】D
【详解】已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，

根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面，
所以直线的位置关系是异面或相交.
【例5-2】已知a，b，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．a，b一定是异面直线
【答案】A
【详解】选项A，因为，，，所以，所以选项A正确；
选项B，如图，在长方体中，取平面为平面，平面为平面，则，
取直线为，直线为，
显然有，，但与不垂直，所以选项B错误；
选项C，如图，取平面为平面，平面为平面，则，
取直线为，此时有，但，所以选项C错误；
选项D，如图，取平面为平面，平面为平面，则，
取直线为，直线为，此时，所以选项D错误.
【例5-3】已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点） D．直线c与平面可能平行
【答案】C
【详解】ABC选项，因为，，，
所以，
因为，所以，
所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB错误，C正确；
D选项，假设直线c与平面平行，
假设直线c与平面 α 平行，由，可知，
这与矛盾，故假设不成立，D错误.
【例5-4】设点为正方形的中心，为平面外一点，为等腰直角三角形，且，若是线段的中点，则（ ）
A．，且直线、是相交直线
B．，且直线、是相交直线
C．，且直线、是异面直线
D．，且直线、是异面直线
【答案】B
【解析】连接，如下图所示：
由题意，，，，
则，所以，，
因为、分别为、的中点，则，
因为，故四边形是等腰梯形，
所以，，且直线、是相交直线.
【例5-5】已知四棱锥的所有棱长相等，M，N分别是棱PD，BC的中点，则（ ）
A． B．面
C． D．面
【答案】BC
【详解】对于A，因为平面，平面，直线，平面，
所以与是异面直线，故A错误；
对于B，取为的中点，连接，所以，，
又，，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以面，故B正确；
对于C，因为，为的中点，所以，
因为，所以，故C正确；
对于D，若面，面，所以，
因为四棱锥的所有棱长相等，
所以底面是正方形，取为的中点，连接，
所以，因为，平面，
所以平面，平面，所以，又，
所以，这与为等边三角形矛盾，故不垂直于平面，故D错误.
【例5-6】如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
【答案】C
【详解】正方体中，易得平面，
因为点在直线上，为线段的中点，
当点和点重合时，平面，，故A正确；
连接、，当点为线段的中点时，
为三角形的中位线，即，故B正确；
平面，当点和点重合时，平面，
所以直线和在同一平面内，故C错误；
平面，平面，，
所以直线始终与直线不相交，且不平行，
所以直线与直线是异面直线，故D正确.
【例5-7】如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（ ）
A．直线直线CD B．直线直线ED
C．直线直线PQ D．直线平面
【答案】B
【详解】在矩形ABCD中，，，可得四边形和都为矩形，
所以，，翻折后仍然成立，所以直线直线，故A正确；
翻折前，，翻折后直线和直线ED为异面直线，故B错误；
设中点为H，连接，，
因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，
所以，，而，，，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，故C正确；
连接，，因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，故D正确.
【例5-8】(多选题)如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．直线与可能垂直
D．若，则二面角的大小为
【答案】ABD
【详解】对于A，分别为中点，，
平面，平面，平面，A正确；
对于B，平面，平面，，
与为异面直线，B正确；
对于C，设菱形的边长为，又，则，
，，
，
，，
即与不可能垂直，C错误；
对于D，取中点，连接，
为等边三角形，，，
即为二面角的平面角，
设菱形的边长为，则，
，
，
又，，解得：，
二面角的大小为，D正确.
题型六、等角定理
【例6-1】(多选题)我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图，且，
则但和的关系不确定，故D错误.
【例6-2】下列说法中，正确的是__________．
①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
④若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；
⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是相交或异面．
【答案】①⑤
【详解】对于①：空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故①正确；
对于②：垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面，故②错误；
对于③：如下图所示：、为两条异面直线，、分别与、相交，
此时，即、为相交直线，故③错误；
对于④：如图长方体中，，，
此时满足、是异面直线，、是异面直线，
显然，故④错误；
对于⑤：一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是相交或异面，故⑤正确．
题型七、异面直线所成的角
【例7-1】已知三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将三棱柱补成如图所示的四棱柱，
连接，由四棱柱的性质知，，
所以异面直线与所成角即为与所成角，
则所求角为，设，则,
由余弦定理可得：，
同理可得，因为，，
所以，
所以.
【例7-2】正三棱柱的棱长均相等，E是的中点，则异面直线与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接，设F为的中点，设交于点D，
连接，由于四边形为平行四边形 ，故D为的中点，
所以，则即为异面直线与所成角或其补角，
连接，由于正三棱柱的棱长均相等，设棱长为2，
则,
，则，
故在中，,
由于异面直线与BE所成角的范围为，
故异面直线与BE所成角的余弦值为.
【例7-3】在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正四棱台的高为，连接，作交于点，
作交于点，连接，则为异面直线与所成角或其补角.
因为，且正四棱台的体积为，
即，
所以，即，
易求，，
，，
所以.
【例7-4】在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】D为的中点，E为的中点，所以，，
如图，延长CB至F，使得，连接DE，DF，AF，，
因为，所以，，
所以四边形BEDF是平行四边形，，
则为异面直线AD与BE所成的角或补角．设，
取的中点，连接、，
则，，，，
，
，
由余弦定理得，
由余弦定理得．
所以直线AD与BE所成角的余弦值为
【例7-5】在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取AC的中点F，连结BF，EF，因为△ACE为等边三角形，E是CD中点，
所以ED，所以，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得，因为，所以AC=2.
因为，所以AD⊥平面ABC，平面ABC，所以，
又，所以BC⊥平面ABD，平面ABD，所以.
在Rt△ABC中，，所以.所以.
又△ACE为等边三角形，所以，因为，
所以AC⊥平面BEF，平面BEF，所以，则直线AC与BE所成角为.
【例7-6】如图所示，在三棱锥中，，M在内，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】先证明：如图，设为平面上一点，过的斜线在面上的射影为，为平面上任意一条直线，记 则.
证明如下：过作于，
由于平面， ,所以平面,故 平面,
平面 ,所以 则 ,所以
过做平面的垂线，交平面于，连接．
，平面，
平面，
，．
由公式：，得到
是的余角，所以
再用公式：，得到

题型八、空间直线与平面位置关系判断
【例8-1】已知直线，平面，满足，则下列命题一定正确的是（ ）．
A．存在直线，使 B．存在直线，使
C．存在直线，使l，m相交 D．存在直线，使l，m所成角为
【答案】B
【详解】对于A,若直线与相交，则内的直线与要么相交要么异面，
故不存在直线，使，A错误，
对于B,由于,所以与相交或者平行,不论是相交还是平行,均可在,
找到与垂直的直线，故B正确，
对于C,当时，则内的直线要么与平行，要么与异面，
所以不存在，使l，m相交，故C错误，
对于D，当直线时，此时直线与内的所有直线均垂直，
故不存在直线，使l，m所成角为，故D错误.
【例8-2】已知为异面直线，平面，平面，若直线满足，且.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与相交，且交线平行于 D．与相交，且交线垂直于
【答案】C
【详解】由平面，直线满足，且，所以，
又平面，，所以，由直线为异面直线，
且平面平面，则与相交，
否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，
设，过直线作平面与平面交于直线，如图，则，
同理过作平面与平面交于直线，则，
所以，，，则，又，，
则，所以．
【例8-3】已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　)
A．0条　　　　　　　　B．1条　　　　　　　　C．2条　　　　　　　　D．无数条
答案　D　解析　如图所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接
MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D．
【例8-4】在三棱倠中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（ ）
A．直线 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】B
【详解】如图所示，取中点为，连结、，
由，分别是 和的重心，可得，，
则，，即，所以，
又由不平行，故A错误；
由，且平面，平面，所以平面，
所以B正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，所以C错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，所以D错误．
【例8-5】已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，若，则
C．若，、分别与、所成的角相等，则
D．若m//α，m//β，，则
【答案】B
【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；
对于B，因为，，，且，，则，
因为，，则，故，B正确；
对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，，，则与相交，D错误.
题型九、平面与平面位置关系的判断
【例9-1】如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（ ）
A． B．
C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH
【答案】B
【详解】若点与重合，点与点重合，
则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，所以错误，A错误；
当与重合时，由可得，当与不重合时，
因为，平面，平面，
所以平面，平面，
平面平面，所以，又，所以，B正确；
当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误；
当与重合时，平面与平面相交，D错误.
【例9-2】在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】A
【详解】选项A，正方体中，显然有，连接延长，
如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，
如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；

选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错；
选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；
选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．
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