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专题5.38 相交线与平行线（旋转问题）（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
二、填空题
2．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行．
3．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．
4．已知直线，点P、Q分别在上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒1°旋转至停止，此时射线也停止旋转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间30秒时，与的位置关系为_____；
(2)若射线先转45秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为_____秒时，．
5．在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，且，射线以每秒的速度绕B点顺时针方向旋转至射线，M为x轴正半轴上一点，射线以每秒的速度绕M点逆时针方向旋转至射线，设运动时间为t秒，当 秒时，．
6．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，BC（A在B的左侧），灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转，灯B发出的射线BD从BP开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC第一次经过点B，此时，则 ，两灯继续转动，射线AC与射线BD交于点E（如图2），在射线BD到达BQ之前，当，的度数为 ．
7．在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t = 秒时，两块三角尺有一组边平行．
8．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 ．
9．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为 ．
10．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是　 　．
三、解答题
11．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图（1），求的度数；
(3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由．
12．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．
(1)当时，求．
(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
13．如图，，射线在平面内．
(1)若与互补，则_____；
(2)射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，平分．
①若，则的度数为______；
②是否存在的值，使得与互余，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
14．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
15．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．
(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数．
②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由．
(2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
16．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系
17．如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动．其中，满足方程组．
(1)求，的值；
(2)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值；
(3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）．
18．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为．
①在旋转过程中，当时，求的值．
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值．
19．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
(1)如图 1，若DE∥OB，∠EDF＝∠EFD，求x的值；
(2)如图 2，若DE⊥OA，是否存在这样的 x 的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由．
(3)在（2）的条件下，若射线DA绕点D顺时针旋转至DO后立即回转，射线EO绕点E顺时针旋转至ED停止，射线DA转动的速度是4°/秒，射线EO转动的速度是1°/秒．若射线DA先旋转4秒，射线EO才开始绕点E顺时针旋转，在射线EO到达ED之前，射线EO旋转到第几秒时，射线DA与射线EO互相平行，直接写出答案．
20．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　，∠β＝　 　；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝　 　．（直接写出答案）
21．点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设（），射线，作射线OE平分．
(1)如图1，若，且OD在直线AB的上方，求的度数（要求写出简单的几何推理过程）．
(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．
(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
22．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．
(1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
(2)在图1中，若∠AOM＝a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
23．如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足，
(1)_____________，____________；
(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（），两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系；
(3)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒（），若旋转中，求t的值．
24．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
2．30或110##110或30
【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
3．
【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【详解】解：分10种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．
4．(1)；
(2)15秒或63秒或135秒．
【分析】（1）求出旋转30秒时，，，过 E 作 ，根据平行线的性质求得，，进而得结论；
（2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出 t 的方程便可求得旋转时间．
【详解】（1）解：当旋转时间30秒时，由已知得：，，
过E作，则，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①第一次平行时，如图
则，，
∵，，
∴，
即，
解得：秒；
②第二次平行时，如图 则，，
∵，，
∴，
即，
解得：秒；
③第三次平行时，如图，则，，
∵，，，
∴，
即，
解得：秒；
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
5．2秒或14秒或26秒
【分析】分0＜t≤，＜t≤，＜t≤20，20＜t≤30四种情况分别求解．
【详解】解：分四种情况：
当0＜t≤时，如图1，F为BA1与x轴交点，
∵∠A1BO=∠ABO+9t=60+9t，∠OMO1=6t，
∴∠BFO=30-9t，
∴当∠BFO=∠OMO1时，BA1∥MO1，
即30-9t=6t，解得：t=2；
当＜t≤时，如图2，不符合题意；
当＜t≤20时，如图3，延长A1B至点E，交x轴于点H，
若A1E∥MO1，
则∠AHE=∠OMO1=6t，
∴∠BHO=∠AHE=6t，
∴∠HBO=90-6t，
∴∠ABH=60-（90-6t）=6t-30，
∵∠ABH+∠ABA1=180，
∴∠ABH=180-9t，
∴6t-30=180-9t，解得：t=14；
当20＜t≤30时，如图4，
设射线BA1与x轴交于点R，若BR∥MO1，
则∠BRO=∠O1MR，
∴∠OBR=360-60-9t=300-9t，
∴∠BRO=90-∠OBR=9t-210，
∵∠O1MR=180-6t，
∴9t-210=180-6t，解得：t=26；
综上：t为2秒或14秒或26秒时，直线BA1∥MO1，
故答案为：2秒或14秒或26秒．
【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，难度较大，解题的关键是要根据转动情况分类讨论求解．
6． 2 或．
【分析】（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC没到达AN时，；②射线AC到达AN后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可．
【详解】解：（1）如图，射线AC第一次经过点B，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：2．
（2）①设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，
由旋转的性质，则，，
∵EF//MN//PQ，
∴，，
∵，
∴，
∴（秒），
∴；
②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ， 此时AC为达到AN之后返回途中的图像；
与①同理，
∴，，
∵，
∴，
解得：（秒）；
∴；
综合上述，的度数为：或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．
7．6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t=(秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．30或120
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴APDF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MNGH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴APDF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MNGH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DFBC，AC⊥BC，
∴AIDF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MNGH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120(此时DF在MN下方，舍去），
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°-180°，
∵DFBC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴ACDE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MNGH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°-60°，
∴t＝120，
综上，所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论．
9．或或
【分析】分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案．
【详解】解：①当在左边且平分时，
∵，，
∴；
②当在右边且平分时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当在右边且平分时，
∵，
∴，
∴，
综上所述的值为或或．
【点睛】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是分类讨论位置．
10．6秒或19.5秒
【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45 12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．(1)；
(2)；
(3)与互补，理由见解析
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据的度数可得，再根据可得；
（2）再根据直角三角板的性质可直接得出结论；
（3）当分两种情况：与有重叠部分时和当与没有重叠部分时．
【详解】（1）若，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）与互补．
当与有重叠部分时，
∵，
∴．
∵，
∴，
当与没有重叠部分时，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
12．(1)
(2)
(3)t为6或12或21或24或30
【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；
（2）由得到，由即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
（3）由（1）知，，，
∴，
如图1，当时，，
∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图2，当时，
∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图3，当时，
∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图4，当时，设与相交于点S，
∴，
∴，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图5，当时，
∴，
∴此时是旋转了，
此时，；
∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．
13．(1)或
(2)①；②存在或使得与互余
【分析】（1）分如图1所示，当在的同侧时，如图2所示，当在的两侧时，两种情况根据补角的定义进行求解即可；
（2）①先画出图形，求出，根据角平分线的定义得到，则；②分如图3所示，当在左侧时，如图4所示，当在右侧时，两种情况利用余角的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：如图1所示，当在的同侧时，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2所示，当在的两侧时，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，或；
（2）解：①如图，∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②如图3所示，当在左侧时，
∵与互余，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，当在右侧时，
∵与互余，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上所述，存在或使得与互余．

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．(1)60
(2)秒或秒
(3)或
【分析】（1）设，则，根据，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得 ；
（3）分类讨论当时和当时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．
【详解】（1）设，则，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：60；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知，．
当时，如图，
，
．
，
，
．
，
解得 ；
当时，如图，
，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得 ．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为秒，
当时，
过点作，
，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此时与共线，不符合题意；
当时，同的图可得，
则，
解得：；
如图中，当时，
同可知．
因为此时，
，
解得：．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．(1)①；②比值为，详见解析
(2)灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行
【分析】（1）①当转动50秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，得到，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解；
（2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解．
【详解】（1）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
①当转动50秒时，，
∴，
∴，
故答案为：15°；
②比值为：，理由如下，
如图2，过点作，
∵，
∴，
设两灯转动时间为秒，则，，
∴，，
∴，
即，
又∵，
即，
而，
∴
．
∴．
即比值为：；
（2）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，
A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）
即，
①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），
此时A射线共计运动30+30=60秒，即，
即在灯射线到达之前，如图3所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即有：，
解得：（秒）；
②如图4，在灯射线到达之后，回到前，
根据①中，同理有：
∵
即有：，
解得：．
③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，
由题意得：
，解得：（舍去）．
综上所述，灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数；
(2)由角平分线的定义可得，进而可求解；
(3)可分两种情况：①当时，，求出，得出答案；②当时，，得出，进而得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵OE平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵OE平分，OF平分，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）①当时，由题意可得
∴，
∴，
，
∴；
②当时，如下图，
∴，
∴
，
∴
【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
17．(1)
(2)10或66或130或138
(3)
【分析】(1)用加减消元法直接求出a和b的值即可；
(2)由题意分四种情况讨论：当0＜t≤45时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，由∠EMD=∠ANF，可得4t=30+t，解得t=10；当45＜t≤90时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，可得360-4t=30+t，解得t=66；当90＜t＜135时，NF在MN的右侧，ME在MN的左侧，则4t-360=30+t，解得t=130；当135＜t≤150时，，解得t=138；
(3)过点作，如解析图中得到，进而得到，最后利用即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：，
解得： ．
（2）解：由(1)可知，射线绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，射线绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，
分类讨论：①当时，
，，
当时，，
，
解得；
②当时，
，，
当时，，
，
解得；
③当时，
，，
当时，，
，
解得；
④当时，
当时，，
，
解得；
综上所述，的值为10或66或130或138．
（3）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴当时，.
【点睛】本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键．
18．(1)60°
(2)①15s；②7．5s或70s
【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQMN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）解：①如图②中，
∵BGCD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴2t＝30，
∴t＝15s．
∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s．
②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN＝∠KRN，
过点K作KTPQ，则PQKTMN，
∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT，
∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t，
∴2t＝30°﹣2t，
∴t＝7.5s．
如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°，
∴2t+t﹣30°＝180°，
∴t＝70s．
综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
19．(1)60
(2)68或104
(3)或64.8
【分析】（1）由题意易得，则有，，然后问题可求解；
（2）由题意可分当DP与OC交于点F在点E的下方和在点E的上方，然后根据角的和差关系可进行求解；
（3）设射线EO旋转到第t秒时，射线DA与射线EO互相平行，然后根据题意可分类求解．
【详解】（1）解：∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：存在这样x的值，使得∠EFD＝4∠EDF，理由如下：
∵DE⊥OA，
∴，
当DP与OC交于点F在点E的下方时，如图所示：
∵∠ODP＝x°，
∴，，
∵∠EFD＝4∠EDF，
∴，
解得：；
当DP与OC交于点F在点E的上方时，如图所示：
∵∠ODP＝x°，
∴，，
∵∠EFD＝4∠EDF，
∴，
解得：；
（3）解：设射线EO旋转到第t秒时，射线DA与射线EO互相平行，由题意可分：
①当射线DA未旋转至DO，DA∥EO，则有，如图所示：
∴，，
∴，
解得：；
②当射线DA旋转至DO后立即回转，且DA∥EO，如图所示：
∴，
∴，
解得：；
综上：当射线EO旋转到第或64.8秒时，射线DA与射线EO互相平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义及角的和差关系，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义及角的和差关系是解题的关键．
20．(1)15°；150°
(2)∠FHG=67.5°；
(3)30°或90°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵PQ∥MN，
∴∠E=∠α+∠BAC，
∴α=∠E-∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）解：∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=67.5°；
（3）解：当BC∥DE时，如图1，
此时∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
故答案为：30°或90°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
21．(1)
(2)
(3)即或即或即或即
【分析】（1）根据，∠COD=90°，求出∠BOD=50°，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；
（2）先用表示出∠BOC，再根据∠COD=90°表示出∠BOD，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；
（3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE与∠AOC的关系，用含α的代数式表示∠DOE的度数即可．
【详解】（1）解：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵，即，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴．
（2），
，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∴
∵OE平分∠BOD，
∴．
（3）①当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
②当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
③当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
④当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
综上分析可知，即或即或即或即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和OD的位置分类讨论，是解决本题的关键．
22．(1)∠CON＝15°
(2)∠CON＝a
(3)∠CON＝∠AOM
【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，根据角平分线的定义得到∠MOC=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=α，于是得到结论．
【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°；
（2）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=α；
（3）解：∠AOM=2∠CON，
理由如下：
设∠AOM=，则∠BOM=180°-，
∵OC平分∠BOM，
∴∠MOC=∠BOM=（180°-）=90°-，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-）=，
∴∠CON=∠AOM．
即∠AOM=2∠CON．
【点睛】本题主要考查了余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用．
23．(1)，
(2)
(3)或8
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值；
（2）由题意可得∠BAC＝3t﹣135°，再根据PQ∥MN即可得到∠BCA＝∠CBD+∠CAN，从而可得∠BCA＝180°﹣2t，再根据∠ACD＝90°，可得∠BCD＝2t﹣90°，从而可得∠BAC：∠BCD＝3：2，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM、射线BP互相平行时的时间．
【详解】（1）解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0．
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b，1，
故答案为：3，1；
（2）解：由题意得∠CAM＝3t，∠CBD＝t，
∵∠CAN＝180°﹣3t，∠BAN＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
过点C作CE∥PQ，
∴∠CBD＝∠BCE＝t，
∵PQ∥MN，
∴CE∥MN，
∴∠CAN＝∠ACE＝180°﹣3t，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB，
∴∠ACB＝CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）解：∵t＜160，
∴（20+t）×1＜180，3t＜480，即射线BP旋转的角度小于180°，
①当3t＜180，即0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10；
②当180＜3t＜270且（20+t）×1＞90，即70＜t＜90时，
3t﹣180+（20+t）×1＝180，
解得：t＝85；
③当360＜3t＜480且（20+t）×1＞90，即120＜t＜160时，
3t﹣360＝（20+t）×1，
解得：t＝190（不合题意，舍去）；
∴若旋转中AM∥BP，t的值为10或85．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
24．(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40 ，∠AOE=90 -2t，
∵，
∴2t-40 =（90 -2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）解：图2中∠AOE=90 -2t=40 ，∠D1O E1=∠DOE=90
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140
即40 +5t+45 =140
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10 -45 =180 ，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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