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专题6.11 实数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．4的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．
2．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．一个负数的立方根是一个负数
C．﹣8的立方根是﹣2 D．8的算术平方根是2
4．若和的和是单项式，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
5．估计的值在（ ）
A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间
6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A． B． C． D．8
7．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
8．若，，，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．若、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数
C．若、均为无理数，则一定为无理数 D．若为无理数，且，则
10．下面是李华同学做的练习题，他最后的得分是（　　）
姓名 李华 得分______ 填空题（评分标准，每道题5分） （1）的平方根是 （2）立方根等于它本身的数有0和1 （3）的相反数是2 （4）
A．5分 B．10分 C．15分 D．20分
二、填空题
11．16的平方根是 ．
12．计算的结果是 ．
13．的相反数是 ，
14．若实数、满足：，．则的值是 ．
15．四个实数，0，，3中，最小的实数是 ．
16．实数a在数轴上的位置如图，则 ．
17．比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
18．找规律填空：0，，2，，，，，…， （第n个数）．
三、解答题
19．求下列各式中的：
(1)
(2)
20．计算
(1)
(2)
21．已知：的平方根是和，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
22．如图，长方形的长为，宽为．
（1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
23．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 　 　．
(2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　．
(3)利用（2）中结论计算：．
24．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1．
∴的小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．
略去，得方程，解得，即．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根．
【详解】∵22＝4，
∴4的算术平方根是2；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．
2．D
【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：①开方开不尽的数；②含有的数；③（每两个之间依次多个）这样的数；据此解答即可．
【详解】解：A、，属于整数，不是无理数，不符合题意；
B、为分数，不是无理数，不符合题意；
C、为有限小数，不是无理数，不符合题意；
D、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．
3．D
【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案．
【详解】解：A、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、8的算术平方根是2，原说法不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意可得和是同类项，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】解：∵和的和是单项式，
∴和是同类项，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到和是同类项是解题的关键．
5．C
【分析】先把化成，然后利用“夹逼法”即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数的估值问题，“夹逼法”的应用是解题的关键．
6．A
【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，
∵8是有理数，
∴结果为无理数，
∴y==．
故选A．
7．A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
8．A
【分析】先估算出和的值的范围，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
9．D
【分析】A、不一定是无理数，举例说明；
B、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明；
C、、均为无理数，不一定还是无理数，举例说明；
D、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b的值，即可做出判断．
【详解】解：A、不一定是无理数，例如，错误；
B、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如：，错误；
C、、均为无理数，不一定还是无理数，，例如：，错误；
D、若为无理数，且，得到，，解得：，正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．B
【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别判断得出答案．
【详解】解：（1）的平方根是，故此选项错误；
（2）立方根等于它本身的数有0和1、 ，故此选项错误；
（3）的相反数是2，故此选项正确；
（4），故此选项正确．
李华最后得分为10分，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，平方根和立方根概念，正确化简各数是解题关键．
11．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】即：16的平方根是
故填：
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．
12．-3
【分析】根据立方根的性质计算即可．
【详解】=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得．
【详解】解：的相反数是，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．
14．32
【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a+b=4，a－b=8，进而直接代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足：，，
∴a+b=4，a－b=8，
∴=4×8=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．
15．-2
【分析】根据实数大小比较的方法解答即可．
【详解】解：∵<0<<3，
∴最小的实数是-2
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
16．
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【详解】∵a＜0，
∴，则原式=，
故答案为
17．
【分析】根据无理数的大小估算得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，估算出的大小是解题的关键．
18．
【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n个数为2的倍，从而得出答案．
【详解】解：由题意得：由题意得：
第一项：；
第二项：；
第三项：；
第四项：；
……
第n项：.
故答案是：．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，即：，
解得：．
【点睛】本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．
（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方根的意义可得，从而求出的值，再估算出的值的范围，从而求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答；
（2）把，的值代入式子中求出的值，然后再利用算术平方根的意义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：的平方根是和，
，
解得：，
，
，
是的整数部分，
，
，
的值为；
（2）当，时，，
的算术平方根是．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
22．（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为，根据题意得，
∴（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
23．(1)＝7
(2)n+1
(3)14
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据得出的结论可知，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：，
故答案为：；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：，
故答案为：；
（3）解：根据（2）中的规律知，
．
【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；
（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为9．
∴的小数部分为．
（2）解：我们知道面积是5的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．
略去，得方程，解得，即．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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