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专题7.12 平面直角坐标系（面积问题）（专项练面直角坐标系中求面积问题方法
一、直接求法：对于具有特殊位置的三角形，如三角形一边平行于坐标轴，就可以直接求面积；
二、割补法：对于不规则图形：常用“割补法”，割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解,然后相加即可，补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分
1．坐标平面内有个点为．
(1)建立坐标系，描出这4个点；
(2)顺次连接，组成四边形，求四边形的面积．
2．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称点为点P和点Q的系点．例如：已知，，点P和点Q的2系点为．已知，．
(1)点和点的3系点的坐标为__________（直接写出答案）；
(2)已知点，若点和点的系点为点，点在第二、四象限的角平分线上．
①求的值；
②连接，若轴，求的面积．
3．已知：如图，的三个顶点位置分别是．
(1)求的面积是多少？
(2)若点的位置不变，当点P在y轴上时，且，求点P的坐标？
(3)若点的位置不变，当点Q在x轴上时，且，求点Q的坐标？
4．如图，在平面直角坐标系中，已知，点为第三象限内一点．
(1)若到两坐标轴的距离相等，，且，则点坐标为______．
(2)若为，请用含的式子表示的面积．
(3)在(2)条件下，当时，在轴上有点，使得的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标．
5．已知点，，点B在y轴上，且的面积是6，求点B的坐标．
6．已知以下点的坐标，，，．
(1)在平面直角坐标系中标出点，，的位置．
(2)求三角形的面积．
(3)若点在轴上，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标．
7．如图，点A的坐标为，点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为．
(1)点E的坐标为________；点B的坐标为_______；
(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“”移动．
①当点P在CD上时﹐设，试用含x，y的式子表示z，写出解答过程．
②当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐求点P的坐标．
8．在平面直角坐标系中，已知点，，，且，，满足关系式，点在第一象限．
(1)求，，的值；
(2)如图1，当时，的面积等于10，求的值；
(3)如图2，连接，当的面积等于的面积时，求满足上述条件的整点（，都是整数）的坐标．
9．已知在平面直角坐标系中，点满足，轴于点B．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)如图1，若点M在x轴上，连接MA，使，求出点M的坐标；
(3)如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠OPE与∠FOP的数量关系，并证明．
10．如图在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)画出向上平移个单位，向左平移个单位后所得的图形；
(2)求平移、、后的对应点的坐标；
(3)求平移过程中扫过的面积．
11． 如图，平面直角坐标系中，已知两点A(0，10)，B(15，0)，ACx轴，点D是线段AO上的一点，点P以每秒2个单位的速度在射线AC上运动，连接DP，DB，设点P运动时间为t秒．
(1)若∠PDB=65°，∠DBO=25°，求∠APD的度数？
(2)当时，求点P运动的时间是多少？
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（-4， 3）B（-2，-3）
(1)求AOB的面积；
(2)求AB与x轴的交点C的坐标．
13．在平面直角坐标系中，为原点，点．
(1)如图①，则三角形的面积为______；
(2)如图②，将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到平移后的线段连接，．
①求三角形的面积；
②是一动点，若，请直接写出点坐标．
14．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式，．
(1)求a、b、c的值：
(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，观察对应点坐标之间的关系．
(1)三角形内任意一点G的坐标为，根据图形变换的特点，则点G的对应点H的坐标为________；（用含x，y的式子表示）
(2)________；
(3)点P在y轴上，若，则点P坐标为________．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)已知P为y轴上一点，若的面积为5，求点P的坐标．
17．如图，，，点B在x轴上，且．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．
(1)在图中画出平移后的．
(2)若连接从，，则这两条线段的关系是______．
(3)过点作直线，将分成两个面积相等的三角形，在图中画出直线．
(4)若点是网格上一点（不与重合），且与面积相等，则满足条件的点共有______个．
19．如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．
(1)若，，求的面积．
(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．
①判断的形状，并说明理由．
②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．
20．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，且点B在A的右边．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中，．
(1)求b和k的值；（用含a的代数式表示k）
(2)探求当a变化时，三角形与三角形的面积大小关系．
21．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是．将三角形平移，使点A与点O重合，得到三角形，其中点B，C的对应点分别为点．
(1)画出三角形；
(2)写出点的坐标；
(3)三角形的面积为____________．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
(1)求，的值及；
(2)若点在轴上，且，试求点的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）用矩形围住四边形，用矩形的面积减去4个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）坐标系及4个点的位置，如图所示；
（2）如图，用矩形围住四边形，则
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
2．(1)
(2)① ②1
【分析】（1）根据系点的定义进行求解即可；
（2）①根据题意表示出点的坐标，再结合已知条件可得点的横、纵坐标互为相反数，从而可求解；②由①可得点，设点，根据轴可求得，从而确定点，即可求得，点到的距离为，然后计算的面积即可．
【详解】（1）解：根据题意，点，点，
则点和点的3系点的坐标为，
即．
故答案为：；
（2）①∵点，点，
∴点和点的系点的坐标为，
即，
又∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴，
整理，可得，
∵，
∴，
解得；
②由①可得，点，设点，
∵轴，
∴，解得，
∴点，
∴，点到的距离为，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义系点、坐标与图形、点的坐标以及三角形面积等知识，解题关键是理解题意，明确在直角坐标系中第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．
3．(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【详解】（1）∵，
∴，
点B到的距离为3，
∴的面积；
（2）∵，
∴以为底时，的高，
∴点P在y轴正半轴时，；
点P在y轴负半轴时，；
（3）∵，
∴以为底时，的高为3，底边，
∴点Q在C的左边时，，即；
点Q在C的右边时，，即．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积解决本题的关键在于要分情况讨论．
4．(1)或
(2)－2m
(3)或
【分析】（1）根据到两坐标轴的距离相等，构建方程，求出m，再由，且，求出N的坐标即可；
（2）根据三角形面积公式求出即可；
（3）P点在y轴上，根据面积公式构建方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵到坐标轴的距离相等，
∴，或8，
∵M为第三象限内一点，
∴，
∴，
∵，且，
∵，且，
∴或．
故答案为：或；
（2）∵M为，且M在第三象限，
∴，
∴的面积；
（3）当时，的面积为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，
∴，，
∴或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．
5．或．
【分析】由B点在y轴上，则B点的横坐标为0，只需求出B点的纵坐标即可，由的面积及的长，易求得B点的纵坐标的绝对值，由此可的得出B点的坐标．
【详解】解：设点B的坐标为，
，，
；
点B 在y轴上，
是直角三角形，
由题意可得：
，
，
则点B的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的问题，关键是根据三角形的面积公式得出OB的长度，属于中考常考题型．
6．(1)见解析
(2)18
(3)(0，-3)或(0，9)
【分析】（1）根据点的坐标直接确定出点A、B、C的位置即可；
（2）根据三角形的面积求解可得；
（3）设P(0，m)，利用三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，求出m值，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵A(-2，3)，，，
，点到AB的距离是；
的面积是：；
（3）解： ∵A(-2，3)，，
∴ABx轴，
设P(0，m)，
∵点在轴上，且三角形的面积与三角形的面积相等，
∴，
解得：m=-3或m=9，
∴点的坐标为：(0，-3)或(0，9)．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
7．(1)（-2，0）；（0，2）．
(2)① ②
【分析】（1）依据平移的性质可知轴，BC=AE=3，然后依据点A和点C的坐标可得到点B和点E的坐标；
（2）①过点P作交AB于点F，则，然后依据平行线的性质可得到∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，最后，再依据角的和差关系进行解答即可；②先求解四边形ABCD的面积，再画出图形，结合直线OP平分四边形ABCD的面积建立方程求解即可．
【详解】（1）解： ∵将三角形OAB沿x轴负方向平移，C（-3，2），A（1，0），
∴轴，BC=AE=3．
∴B（0，2），E（-2，0）．
故答案为：（-2，0）；（0，2）．
（2）①∵点P在线段CD上时，
如图，过点P作交AB于点F，则，
∴∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，
∴∠BPA=∠BPF+∠APF=x+y=z，
∴z=x+y．
②∵由平移的性质可得：轴， 而
∴
∵
∴ 而
∴
如图，当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形，平行线的判定与性质，图形面积的计算，掌握“坐标与图形中线段的长度的对应关系以及平移的性质”是解本题的关键．
8．(1)
(2)4
(3)（2，6）或（6，3）
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求解；
（2）过点P作PD⊥y轴于点D，根据梯形OAPD的面积等于三个三角形的面积之和，即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，然后分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，，
∵，，
∴PD=m，OD=AE=5，
由（1）得：，，
∴OA=4，OB=3，
∴BD=2，
∵的面积等于10，
∴，
解得：；
（3）解：∵，，，
∴AC=6，OB=3，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
∵点在第一象限．
∴AE=OD=n，DE=OA=4，
当，时，
如图，过点P作PD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥PD交DP延长线于点E，则轴，，
∴，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴m=2，n=6，
此时P（2，6）；
如图，过点B作BG⊥AE于点G，则AG=OB=3，BG=OA=4，
∴△ABG的面积为，
∴，不成立；
当，时，如图，过点P作PF⊥x轴于点F，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴m=6，n=3，
此时点P（6，3）；
当，时，如图，过点P作PH⊥y轴于点H，
∴，
∴，
∵，都是整数，
此时无解；
综上所述，点P的坐标为（2，6）或（6，3）．
【点睛】绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形，点到坐标轴的距离，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．
9．(1)（3，2），（3，0）
(2)（5，0）或（1，0）
(3)，详见解析
【分析】（1）根据非负性的性质得a＝3，b＝2，则点A的坐标为（3，2），根据轴得OB＝3，即可得点B的坐标为（3，0）；
（2）设点M的坐标为（m，0），由题意得，，进行就是即可得m＝4或m＝2，即可得；
（3）根据角平分线的性质得，根据平行线的性质得，即可得，根据得，则，即．
【详解】（1）：∵，
∴a＝3，b＝2，
∴点A的坐标为（3，2），
∵轴，
∴OB＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
（2）解：设点M的坐标为（m，0）
∵
∴，或1
∴点M的坐标为（5，0）或（1，0）．
（3）
理由如下：设
∵轴，y轴轴
∴
∴轴
∴
∴
∵OE平分
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．(1)画图见解析
(2)、、
(3)22
【分析】根据网格结构找出平移后A、B、O的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构写出点、、的坐标即可；
分向上平移和向左平移两个部分，利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解： 如图所示∶
（2）由（1）可得：、、；
（3）向上平移个单位扫过的面积为，
接着向左平移个单位扫过的面积为，
所以平移过程中扫过的面积一共为．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
11．(1)40°
(2)
【分析】（1）如图1，过D作DE∥x轴，根据两直线平行内错角相等，∠EDB=∠DBO，∠PDE=∠APD，得出∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD，得出∠PDB=∠DBO+∠APD，进而求得∠APD=40°；
（2）如图2，连接OP、BP，作PG⊥OB于G．根据A、B的坐标求得OB=15，PG=10，根据，列出关于时间t的方程，解这个方程即可．
【详解】（1）如图1，过D作DEx轴，
∴∠EDB=∠DBO
∵ACx轴
∴ACDE
∴∠PDE=∠APD
∴∠EDB+∠PDE=∠DBO+∠APD
∴∠PDB=∠DBO+∠APD
∵∠PDB=65°，∠DBO=25°，
∴65°=25°+∠APD
∴∠APD=40°；
（2）如图2，连接OP、BP，作PG⊥OB于G．
∵A（0，10），B（15，0），ACx轴，
∴OB=15，PG=OA=10，
∵，
∴，
即，
解得t=．
【点睛】本题考查了平行线的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．
12．(1)9
(2)（-3，0）
【分析】（1）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，则四边形ABED是梯形，根据进行求解即可；
（2）如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，根据进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，则四边形ABED是梯形，
∵A（-4， 3）B（-2，-3），
∴AD=4，OD=3，OE=3，BE=2，
∴DE=6，
∴
；
（2）解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴AD=BE=3，
∵，
∴，即
∴，
∴点C的坐标为（-3，0）；
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，正确作出辅助线是解题的关键．
13．(1)3
(2)①；②
【分析】（1）判断出，的长，利用三角形面积公式求解．
（2）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，构建方程求解即可．
【详解】（1）∵A(0，-3)，B(-2，0)，
∴OA=3，OB=2，
∴，
故答案为：．
（2）如图：，
由题意，，
，
∴P（-1，10）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题．
14．(1)a＝2，b＝3，c＝4；
(2)3﹣m
(3)存在，点P（﹣3，）
【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）四边形ABOP的面积＝△APO的面积+△AOB的面积，即可解答；
（3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答．
【详解】（1）由已知|a﹣2|+＝0和≤0可得：
a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
解得：a＝2，b＝3，c＝4；
（2）∵a＝2，b＝3，c＝4，
∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），
∴OA＝2，OB＝3，
∵＝×2×3＝3，
＝×2×（﹣m）＝﹣m，
∴＝+＝3+（﹣m）＝3﹣m
（3）存在，
∵＝×4×3＝6，＝,
∴3﹣m＝6，
解得m＝﹣3，
∴存在点P（﹣3，），使＝．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，实数的非负性，熟练掌握实数的非负性，灵活运用分割法求面积是解题的关键．
15．(1)
(2)5
(3)或
【分析】（1）由对称的定义构造方程组求解即可．
（2）将其转化为的长方形减去三个直角三角形即可求解．
（3）由题意知点P到的距离与点B到的距离相等，得，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）由图可知：和是关于对称，
故点关于对称，
∴即，
∴，
∴点
（2），
（3）
∵，
∴点P到的距离与点B到的距离相等，
∴，
∵点P在y轴上，如图，过B点作的平行线可知与y轴交点就是P点坐标，
∴．
又∵点B关于对称点，如图，过点作的平行线可知与y轴交点就是P点坐标，
∴．
故P坐标为或．
【点睛】本题考查了图形的变换与坐标间的关系，利用数形结合思想是本题的关键．
16．(1)见解析
(2)P点坐标为或
【分析】（1）在坐标系中描出A、B、C三个点，依次连接这三个点即可；
（2）由题意可求得，则由点A的坐标即可求得点P的坐标．
【详解】（1）如图所示．
（2）因为P为y轴上一点，的面积为5，
可得，解得：．
则点P的纵坐标为：或．
故P点坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正确描点、由条件求得是解题的关键．
17．(1)或
(2)8
(3)存在，或
【分析】（1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论．
（2）以为底，以点C的纵坐标的绝对值为高，利用公式计算面积即可．
（3）以为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可．
【详解】（1）解：∵，点B在x轴上，且，
∴，，
∴点B的坐标为或．
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：假设存在，设点P的坐标为，
∵，
∴，
∴在y轴上存在点P或，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为7．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的计算，能够熟练的转化线段长度与点的坐标是解题关键．
18．(1)答案见解析
(2)平行且相等
(3)答案见解析
(4)4
【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等可得，；
（3）根据三角形的中线平分三角形的面积可得就是中线所在直线，因此根据网格图可得的中点位置，再画直线即可；
（4）以为邻边作平行四边形，分别过、作平行线，即可得到点．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
根据平移的性质：对应点连线平行且相等可得，，
故答案为：平行且相等；
（3）解：如图所示；
（4）解：如图所示，满足条件的点共有4个．
【点睛】本题考查的是平移变换作图以及平移的性质，三角形的中线性质，三角形的面积，正确地作图是解题的关键．
19．(1)6
(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）由A、B的坐标可得的长度，由点C的坐标即可求得的面积；
（2）①由A、E的坐标可得，，由轴，即可得，从而，即可得的形状；
②由四边形的面积的面积的面积，即可求得．
【详解】（1）解：∵，，
，
，
，
；
（2）①结论：△ABC是等腰直角三角形．
理由：，
，
，
，轴，
，
，
是等腰直角三角形；
②四边形的面积的面积的面积
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定，求图形面积等知识，熟悉这些知识是关键．
20．(1)；；
(2)
【分析】（1）由，，结合，可得线段向上平移，再根据点的平移规则列方程即可；
（2）由平移的性质可得：，，如图，可得，过作于，过作于，显然，，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，∵点，点，且点B在A的右边．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中，．
∴，，
∴，即，解得：，
∴，，，
∴，
解得：；
（2）由平移的性质可得：，，如图，
∴，
过作于，过作于，
显然，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平移的性质，点的平移的坐标变化规律，平移的性质，平行线的性质，熟练地利用平移的性质解题是关键．
21．(1)画图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据平移的性质画出点，，再顺次连接点，，即可得；
（2）根据点在平面直角坐标系中的位置即可得；
（3）利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：由图可知，．
（3）解：三角形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移作图、点的坐标、坐标与图形，熟练掌握平移作图的方法是解题关键．
22．(1)，，
(2)点的坐标为或
【分析】（1）由，结合绝对值、完全平方的性质即可得出，的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值；
（2）设出点的坐标，找出线段的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴；
（2）解：设点M的坐标为，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、完全平方的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值：（2）根据三角形的面积公式得出关于含绝对值符号的一元一次方程．解决该题型题目时，根据绝对值、算术平方根的非负性求出点的坐标是关键．
答案第1页，共2页
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