资源简介

(共39张PPT)
第一章
2.3　直线与圆的位置关系
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1　直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有　　　　公共点
相切 只有　　　　公共点
相离 　　　　公共点
两个
一个
没有
过关自诊
1.[人教B版教材习题]已知直线2x+y-5=0和圆(x-1)2+(y+2)2=6.
(1)求圆心到直线的距离d;
(2)判断直线与圆的位置关系.
2.[人教B版教材习题]直线x-y-1=0与圆x2+y2=13是否相交 如果相交,求出交点.
知识点2　直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断
几何法为常用方法
位置关系 相交 相切 相离
公共点 　　个 　　个 　　个
判定 方法 几何法:设圆心到直线的距离 d　 r d　 r d　 r
代数法:由 消元得到 一元二次方程的判别式Δ Δ　 0 Δ　 0 Δ　 0
两
一
零
<
=
>
>
=
<
过关自诊
[人教B版教材习题]判断下列直线与圆的位置关系:
(1)直线4x-3y+6=0与圆x2+y2-8x+2y-8=0;
(2)直线2x-y+5=0与圆x2+y2-4x+3=0.
重难探究·能力素养全提升
探究点一　　判断直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线y=x+b与圆x2+y2=2,当b为何值时,圆与直线有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点
Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
(1)当-20,直线与圆有两个公共点.
(2)当b=2或b=-2时,Δ=0,直线与圆只有一个公共点.
(3)当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,直线与圆没有公共点.
当d当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,直线与圆相切,直线与圆只有一个公共点.
当d>r,|b|>2,即b<-2或b>2时,直线与圆相离,直线与圆无公共点.
规律方法　
变式训练1已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
解 (方法一:代数法)
得5x2-50x+61=0.
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.
(方法二:几何法)
∵d探究点二　　直线与圆相切
【例2】 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在,设切线的斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,
即15x+8y-36=0.
②若所求直线的斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
变式探究若本例的条件不变,求其切线长.
规律方法　求过某一点的圆的切线方程,首先判断点与圆的位置关系,以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系知切线的斜率为 ,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.
变式训练2(1)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=(　　)
A.-3
B.1
C.
D.-3或1
D
(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为
(　　)
C
(3)过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为　　　　　　.
x=2或y=3
解析 ∵由题知,点P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,
∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.
当斜率存在时,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∴切线方程为y=3.
当斜率不存在时,切线方程为x=2.
综上,切线方程为x=2,或y=3.
探究点三　　直线与圆相交
【例3】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
(方法二:代数法)
当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,
得2x2-2x-7=0.
规律方法　直线与圆相交时弦长的两种求法
(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,
变式训练3直线l经过点P(5,5)且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦长为4 ,求直线l的方程.
解 由题意知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y-5=k(x-5),与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
(方法二)如图所示,线段|OH|的长度是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线与圆的三种位置关系.
(2)弦长公式.
(3)圆的切线方程.
2.方法归纳:几何法、代数法、弦长公式法.
3.常见误区:求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
6
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
D
1
2
3
4
5
6
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是(　　)
B
1
2
3
4
5
6
3.[2023吉林长春高三校考阶段练习](多选题)已知圆C:x2+y2-2x-8=0,直线l:y=k(x+1)+1,则(　　)
A.圆C的圆心为(1,0)
B.点(-1,1)在直线l上
C.直线l与圆C相交
D.直线l被圆C截得的最短弦长为4
ABC
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
4.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为
(　　)
B
1
2
3
4
5
6
5.过点A(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为　　　　　.
1
2
3
4
5
6
6.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为 ,求直线l的方程.第一章2.3　直线与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.[2023重庆沙坪坝第七中学校高二期末]直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
2.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于(　　)
A.或- B.-或3
C.-3 D.-3或3
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
4.(多选题)[2023山东菏泽鄄城县第一中学高二期末]已知直线l与直线3x-4y+6=0平行,且与圆C:(x-1)2+(y+1)2=9相切,则直线l的方程是(　　)
A.3x-4y+8=0 B.3x-4y-8=0
C.3x-4y-22=0 D.3x-4y+22=0
5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.40
6.若直线l:y=k(x-2)被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的线段长为2,则实数k=　　　　.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是(　　)
A.(0,) B.(1,-1)
C.(,0) D.(-1,1)
8.[2023山西统考一模]经过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点的圆与直线kx-y+2-4k=0的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.无法确定
9.(多选题)在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　　　　.
11.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　　.
12.已知圆C过点A(0,-2),B(3,-1),且圆心C在直线x+y+1=0上.
(1)求圆的标准方程;
(2)过(1,0)点的直线l截圆所得的弦长为4,求直线l的方程.
C级 学科素养创新练
13.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
参考答案
2.3　直线与圆的位置关系
1.D　 k∈R,当x=0时,恒有y=1,即直线y=kx+1过定点A(0,1),在圆x2+y2+2y-3=0中,当x=0,y=1时,方程x2+y2+2y-3=0成立,即点A(0,1)在圆x2+y2+2y-3=0上,所以直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是相交或相切.
2.C　3.A
4.AC　由圆的方程可知:圆心C(1,-1),半径r=3.设直线l:3x-4y+m=0(m≠6),则圆心C到直线l的距离d==3,解得m=8或m=-22,∴直线l的方程为3x-4y+8=0或3x-4y-22=0.
5.B
6.±　由(x-2)2+(y-3)2=9,可知圆心为(2,3),半径为3,又直线l:kx-y-2k=0,所以圆心到直线l的距离为d=,所以2+12=9,解得k2=,即k=±
7.AC　如图所示,圆心到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切.
由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ最大.
连接OP,OQ,由于∠PAQ最大为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=
设点A的坐标为(t,-t+),
由两点间的距离公式,得|OA|=,
整理得t2-t=0,解得t=0或t=,
因此点A的坐标为(0,)或(,0).
8.A　由题知,圆过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点,因为=(2,-2),=(2,2),所以=(2,-2)·(2,2)=0,即所以该圆是以AC为直径的圆,可得圆心为,即(2,2),半径r==2,故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.因为直线方程为kx-y+2-4k=0,所以圆心到直线的距离d=,当k=0时,有d=0<2=r,所以圆与直线相交,当k≠0时,有d=<2=r,所以圆与直线相交.
9.AB　圆的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4.因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P,圆心C,圆的两切点是构成一个正方形的四个顶点,所以PC=2因为点P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离d=2,解得-2k≤2符合条件的选项为A,B.
10.4　直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).
∵C,D分别为OA,AB的中点,∴|CD|=|OB|=,
当OP⊥AB时,|AB|最小,
此时|AB|=2=2,
∴|AB|·|CD|=|AB|2=4
11.4　圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,示意图如图所示.则圆心为O'(3,4),r=
切线长|OP|=
=2
∴|PQ|==2=4.
12.解 (1)由题知AB的中点坐标为,-,直线AB的斜率为k=,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-=-3.所以线段AB的垂直平分线方程为3x+y-3=0,联立方程解得所以圆心C(2,-3).又A(0,-2),求得r=|AC|=,因此圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
(2)因为直线l截圆所得的弦长为4,圆的半径为r=,依题可得圆心到直线的距离d==1.设直线l的斜率为k,当k不存在时,l:x=1,此时d=1,符合题意;当k存在时,l:y=k(x-1),此时d==1,解得k=-,直线l:y=-(x-1),整理得4x+3y-4=0.
综上,直线l的方程为x=1或4x+3y-4=0.
13.解 (1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设点Q坐标为(0,b),设PQ与圆A相切于点B,连接AB(图略),以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为=1(b>2),即bx+4y-4b=0,
∵PQ与圆A相切,=1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.因为直线PQ与圆A相切,所以=1,化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;因此|PQ|=
因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是|PQ|=a+b-2.又ab=2(a+b)-2,解得04,所以a+b≥4+2,
|PQ|=a+b-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时,等号成立,
所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+
答:当公路PQ最短时,OQ的长为2+千米.(共22张PPT)
第一章
2.3　直线与圆的位置关系
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A 级 必备知识基础练
1.[2023重庆沙坪坝第七中学校高二期末]直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是(　　) 　　　　　 　　　　
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
D
解析 k∈R,当x=0时,恒有y=1,即直线y=kx+1过定点A(0,1),在圆x2+y2+2y-3=0中,当x=0,y=1时,方程x2+y2+2y-3=0成立,即点A(0,1)在圆x2+y2+2y-3=0上,所以直线y=kx+1与圆x2+y2+2y-3=0的位置关系是相交或相切.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是(　　)
A.6 B.3 C.2 D.8
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.(多选题)[2023山东菏泽鄄城县第一中学高二期末]已知直线l与直线
3x-4y+6=0平行,且与圆C:(x-1)2+(y+1)2=9相切,则直线l的方程是(　　)
A.3x-4y+8=0 B.3x-4y-8=0
C.3x-4y-22=0 D.3x-4y+22=0
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.若直线l:y=k(x-2)被圆(x-2)2+(y-3)2=9截得的线段长为2,则实数k=　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.(多选题)已知点A是直线l:x+y- =0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是(　　)
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ最大.
连接OP,OQ,由于∠PAQ最大为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
解析 如图所示,圆心到直线l的距离为 ,则直线l与圆x2+y2=1相切.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8.[2023山西统考一模]经过A(2,0),B(0,2),C(2,4)三点的圆与直线
kx-y+2-4k=0的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.无法确定
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.(多选题)在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
AB
解析 圆的方程x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4.因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P,圆心C,圆的两切点是构成一个正方形的四个顶点,所以PC=2 .因为点P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B 级 关键能力提升练
11.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则线段PQ的长为　　　　　.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.已知圆C过点A(0,-2),B(3,-1),且圆心C在直线x+y+1=0上.
(1)求圆的标准方程;
(2)过(1,0)点的直线l截圆所得的弦长为4,求直线l的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C 级 学科素养创新练
13.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也
相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解 (1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设点Q坐标为(0,b),设PQ与圆A相切于点B,连接AB(图略),以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为 =1(b>2),即
bx+4y-4b=0,
∵PQ与圆A相切,∴ =1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

展开更多......

收起↑