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第1章 空间向量与立体几何 练习
一、单选题
1．已知，，若，则实数的值分别是（ ）
A． B． C． D．
2．设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，与矩形所在平面垂直，，，球O的表面积为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A． B．3 C． D．2
5．已知空间中两点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为
B．已知向量，则在上的投影向量为
C．若，则是锐角
D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2
10．设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有(　　)
A． a2 B． a2
C． a2 D． a2
11．已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列是真命题的有（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最大值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
12．已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则共面
C．若，则与共线 D．若，且，则
三、填空题
13．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 .
14．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为 ．
15．已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作.已知，，则 ．
16．已知正方体棱长为1，是上一点，且.经过点作平面截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为
四、解答题
17．如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，．
(1)求证：平面平面ABD；
(2)求点M到平面ABE的距离；
(3)求二面角的正弦值．
18．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，点为边上的动点，点为的中点.
(1)当平面平面时，求的长；
(2)在（1）的条件下，求二面角的余弦值.
19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，侧面平面，.
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线为，在上是否存在点，使二面角的余弦值为 若存在，请确定点位置；若不存在，请说明理由.
20．如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21．如图，在正方体中，点是的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图所示，已知长方形中，为的中点将沿折起，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)若点在线段上，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，试确定点的具体位置.
参考答案
1．A
【分析】根据空间向量共线的坐标表示列方程组，由此求得的值.
【详解】因为，所以，所以.
故选：A
【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.
2．B
【分析】根据空间向量基本定理，判断四个选项中的每一组向量是否共面即可得出答案.
【详解】解：对于A，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底；
对于B，因为，所以三个向量共面，故不能作为一组基底；
对于C，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底；
对于D，设三个向量共面，
则存在唯一一对实数，使得，
即，
又，，是不共面的三个单位向量，
所以，方程组无解，
所以三个向量不共面，能作为一组基底.
故选：B.
3．B
【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，，即可表示的坐标，再连结，可证平面，即可得到则即可得到，设，则，即可得到，即可表示的坐标，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得；
【详解】解：如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，1，，
设，，，，
则，，，
，
连结，正方体中，是正方形，平面，
，，
又，平面，平面，
平面，，
又，1，，，，
，，，，，，
设，则，，，
，，即，
，，，，
，
当时，的最小值是．
故选：．
4．A
【解析】根据外接球面积可求得，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出.
【详解】设球的半径为，则，解得，
由题可得两两垂直，则该球等价于以为棱的长方体的外接球，
，解得，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
，，.
故选：A.
【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
5．B
【分析】计算，再计算模长得到答案.
【详解】，，故，故.
故选：B
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.
【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C.
7．D
【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
8．D
【分析】由得，结合中点公式可得，由线性运算即可求解.
【详解】由得；由点为线段的中点得，
∴，
故选：D
9．ABD
【分析】由直线方向向量的概念即可判断A，由投影向量的定义，即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由空间中点到直线的距离公式，即可判断D.
【详解】因为直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为，故A正确；
由投影向量的定义可知，在上的投影向量为
，故B正确；
若，则，故C错误；
由条件可得，由，
所以在方向上的投影为，
则点到直线的距离为，故D正确；
故选：ABD.
10．BC
【分析】根据题意，建立空间坐标系，表示出各个点的坐标，利用空间向量的数量积运算公式即可求解．
【详解】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图:
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，
对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则 a2，A错误；
对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则 a2，B正确；
对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则 a2，C正确；
对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则 a2，D错误；
故选：BC．
11．CD
【分析】理解仿射向量的概念，利用空间向量共线定理及数量积运算即可﹒
【详解】
．
因为，且，所以，故A错误．
如图所示：

设，，则点A在xOy平面内，点B在z轴上，
由图易知当时，最小，
即向量，的夹角取得最小值，故B错误．
根据“仿射”坐标的定义，可得
，故C正确．
由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，
其表面积，故D正确．
故选：CD.
12．BC
【分析】对于A，举例判断，对于B，由共面向量定理判，对于C，根据数量积的定义判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，若，结论不一定成立，故A错误；
对于B，由三向量共面的充要条件知B正确；
对于C，若且为非零向量，则，所以或，所以与共线，若中有零向量，则与也共线，故C正确；
对于D，若都与垂直，不一定成立，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，
所以，
故答案为：
14．/
【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．
【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．
故答案为：
15．
【解析】根据新定义结合向量数量积的坐标表示，可得结果.
【详解】
则
由
，
则
故答案为：
【点睛】本题考查对新定义的理解，还考查向量数量积的坐标表示，属基础题.
16．/
【分析】先求出球的半径，然后分析可得，当与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径最小.利用向量表示出，即可根据数量积的运算律求得，进而根据球的性质得出，即可得出答案.
【详解】
如图，连结，取中点为，连结.
正方体的外接球是以为直径的球，，所以外接球半径.
因为经过点作平面截正方体的外接球，截面为圆，设圆的半径为.
根据圆的性质可知，圆心到截面的距离越大，圆的半径越小，
显然当与截面垂直时，距离最大，此时截面圆的半径最小.
因为，，
所以，
所以，
根据球的性质可知，，
所以，，，
所以，截面圆的面积为.
故答案为：.
17．(1)证明见解析；
(2)1；
(3).
【分析】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，由勾股定义易得，由菱形的性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求的坐标及面ABE的法向量，应用空间向量的坐标运算求点面距.
（3）由（2）求得面MBA的法向量，结合（2）中面ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.
【详解】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，
因为，，故，同理，又，
所以，即．
因为ABCD为菱形，所以，又，
所以面ABD，又面EBD，
所以面面ABD．
（2）以O为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
所以，，．
面ABE的法向量为，所以，令，则．
又，则点M到面ABE的距离为．
（3）由（2）得：面ABE的一个法向量为，且，．
若面MBA的法向量为，则，令，则．
所以，故二面角的正弦值为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）连接，过点作于，由线面垂直的判定和性质以及面面垂直的性质，可求得答案；
（2）以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，运用面面角的空间向量求解方法可求得答案.
【详解】（1）解：连接，过点作于，
因为平面平面，平面平面，，平面，
则平面，平面，所以.
因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，
又，，平面，∴平面.
又平面，∴，
又点为的中点，∴，又，∴.
（2）解：平面，，
以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，，
∴设平面的法向量，则，即
令，得，，故平面的一个法向量.
同理可求平面的一个法向量为，∴，
又二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得；
（2）作出平面与平面的交线，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可得解.
【详解】（1），，则，，
且为等腰直角三角形，所以，，从而可得，
在中，，，
由余弦定理可得，
由勾股定理可得，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以；
（2）延长、相交于点M，连接.
因为平面，平面，所以，
又，所以即为交线.
过点D在平面内作的垂线，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，
且，、分别为、的中点，
以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，得.
设，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，可得，
由题意可得，
整理可得所以，解得或.
当时，点与点重合，此时二面角为钝角，不合题意，舍去.
所以存在点N符合要求，且.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
20．(1)证明见解析.
(2)存在，.
【分析】(1)证明平面即可；
(2)假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.
【详解】（1）
如图，作，，连接交于，连接，，
∵且，∴，即点在平面内．
在平行四边形中，，
∴，又由平面知，
∴平面，∴①
在矩形中，，∴②
∴由①②知，平面，∴．
（2）
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
∴，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，∴，
又平面，∴为平面的一个法向量，
∴，解得，
故在上存在点，且．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，表示出和，由即可证明；
（2）直接根据线面角的向量公式即可求解．
【详解】（1）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体的边长为2，则，
所以，
因为，
所以．
（2）由（1）得，
设平面的一个法向量为，
由，即，取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
22．(1)证明见解析
(2)为的中点
【分析】（1）根据平面几何知识易证，再由，根据线面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；
（2）由，过点作直线垂直于平面，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的向量公式即可解出．
【详解】（1）在矩形中，为中点，
又平面，
又平面平面平面.
（2）因为，过点作直线垂直于平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设，
设，，
，
设平面的一个法向量，
而平面的一个法向量
设平面与平面所成锐二面角为，
，故为的中点.

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