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人教版八年级上册数学期末动点问题专题训练题
1．如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点端点除外，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中．
(1)求证：；
(2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由；
(3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？
2．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．

(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
3．如图1，已知等边边长为，点P、Q分别是边上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为．连接交于点M．

(1)求证：；
(2)连接，何时是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交于点M，求的度数．
4．阅读材料：

如图①，在中，，若，则有；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边的边长为，动点P从点B出发，以每秒的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点P的移动时间为t秒．
(1)填空： ______（度）；t的取值范围是_____；
(2)试求当t取何值时，的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时，的形状是直角三角形．
5．在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧）点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上，且．

(1)如图1，当点与点重合时，与的位置关系是______，若，则的长为； _______；（用含的式子表示）
(2)如图2，当点与点不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
6．如图，在中，，是边上的中线，点是边上的一个动点，点是上的一个动点．
(1)当时，求的度数；
(2)若，，．
①求中边上的高；
②当的值最小时，最小值是______．
7．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作，且．

(1)如图1，过F点作交于D点，若，则的长为___________；
(2)如图2，连接交于G点，若E点为中点，求证：；
(3)如图3，E点在的延长线上，连接与直线交于G点．若，请直接写出和的数量关系．
8．如图，在中，，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，，连接．

(1)如图1，当点D在线段上时，若，则______；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，与相等吗？如果相等请说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，此时与有怎样的位置关系？并说明理由．
9．如图1，等边中，点D为中点，点E为边上一动点（不与点C重合），关于的轴对称图形为．

(1)如图1，当点F在上时，求证：；
(2)如图2，当点F在内部时，求的度数；
(3)如图3，当点F在外部，上方时，直接写出的度数．
10．在等边中，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)连结，当时，求的值；
(3)若在线段上存在一点，且．在点运动的同时有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发在线段上运动，当点运动到点时，立即以原速度返回至终点，当为等腰三角形时，直接写出的值．
11．中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接．

(1)如图1，求证；
(2)在（1）的条件下，试说明①，②；
(3)如图2，当点D在线段的延长线上时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
12．如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．

(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
13．如图，在等边中，于点D，E为线段上一动点（不与A，D重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点G，连接与所在直线交于点H，求证：；
(3)如图3，连接交于点G，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．若，直接写出的最小值．
14．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．
15．如图1，直线与直线分别交于点E，F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．
16．如图，已知线段，点为平面内一动点，连接，，若，，以为边作等边（点，在同则），连接．

(1)若，，求证：．
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
(3)当点在平面上运动时，探究：满足什么条件使得恒成立．并给予证明．
17．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．

(1)当点在上时，______时，把的周长分成相等的两部分？
(2)当点在上时，______时，把的面积分成相等的两部分？
(3)当点在所有运动过程中，连接或，求当为何值时，的面积为12？
18．已知，点C是的平分线上一动点，点A，B分别是边上的动点，交射线于点D．

(1)如图1，当时，图中有_________对全等的三角形， _________；
(2)如图2，当平分，且时，求的度数；
(3)如图3，当于点A，在点C移动过程中，有两个内角相等时，求的度数．
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参考答案：
1．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴（）；
（2）解：的大小不发生变化，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）解：设点，运动秒时，是直角三角形，
分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
②当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
综上，点，运动秒或秒时，是直角三角形．
2．
【详解】（1）解：，，
，
，
点是边的中点，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或．
（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，

，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
3．
【详解】（1）在等边中，
∵，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴．
（2）设运动时间为t秒，则
①当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
②当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
∴当点 P、Q 运动到第秒或第秒时，为直角三角形．
（3）∵在等边中，，
∴，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
4．(1)
(2)
(3)t的值为4或10
【分析】（1）由等边三角形的性质即可得的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围；
（2）当时，的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可；
（3）分两种情况：时；时，由此建立方程即可求得t的值．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，；
∵动点Q的速度大于动点P的速度，
∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为：（秒）
∴t的范围为：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴当时，的形状是等边三角形，
由题意：，
∴；
∴，
解得：，
即当t为秒时，的形状是等边三角形；
（3）解：当或时，
∵，
∴由题目材料结论知，的形状是直角三角形；
①当时，即，
得：；
②时，即，
得：；
综上，当t的值为4或10时，的形状是直角三角形．
【点睛】本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．在解答（3）小题时注意运用题中材料的结论．
5．(1)；
(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）由点与点重合，且，可得，则；如图1，过点作于点，由，可得，由，，，可得，证明，进而可得；
（2）①设，则，由，可得，由，可得；②如图2，在上截取，证明，则，由，可得，由①知，则，，证明，则，进而结论得证．
【详解】（1）解：∵点与点重合，且，
∴，
∴；
如图1，过点作于点，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）①解：，证明如下：
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②解：，证明如下：
如图2，在上截取，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．(1)
(2)①边上的高是；②
【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”以及三角形的内角和定理即可解决；
（2）①利用等面积法即可；②连接，把问题转化为两点之间线段最短问题．
【详解】（1）解：，
为等腰三角形，，
是边上的中线，
，
，
，
；
（2）①设边上的高为，
，
是边上的中线，为等腰三角形，
，，
，
，
；
②，根据等面积法，
边上的高与边上的高相等，都等于．
如图：连接，，
是边上的中线，，
是的垂直平分线，
，
，
点是边上的一个动点，
当等于边上的高时取到最小值，
，
即的值最小值为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等面积法求线段长度，轴对称-最短路径问题，点到直线的距离，垂线段最短等知识．熟练运用转化思想是解题的关键也是本题的难点．
7．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过“”证明即可得到；
（2）如图，过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，即可解题；
（3）过F作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）证明：如图，过F点作交于D点，
∵，
∴，，
∵E点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）解：过F作的延长线交于点D，如图3所示，\

∵，，，
∴，
由（1）（2）知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，本题中求证、是解题的关键．
8．(1)5
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）通过证明，可得；
（2）利用证明，可得；
（3）利用证明，可得，进而可得，从而可得．
【详解】（1）解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：5；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
．
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
9．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等边得，由关于的轴对称图形为得，即可证出结论．
（2）由关于的轴对称图形为得，，，然后利用三角形的一个外角等于和它不相邻得两个内角的和，即可求出的值．
（3）由关于的轴对称图形为得，，，然后利用三角形的一个外角等于和它不相邻得两个内角的和，即可求出的值．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
关于的轴对称图形为，
，
，
，
；
（2）解：连接

是的一个外角，
①，
是的一个外角，
②，
关于的轴对称图形为，
，，，
，，
由①+②得：．
（3），
解：连接，

是的一个外角，
①，
是的一个外角，
②，
关于的轴对称图形为，
，，，
，，
由得：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻得两个内角的和是解题关键．
10．(1)
(2)或
(3)或．
【分析】（1）根据题意分情况讨论，列出代数式，即可求解；
（2）根据题意，以及含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）依题意，得出为等腰三角形，分点从点运动到点以及从点返回，两种情况分析，即可求解．
【详解】（1）解：∵，动点以每秒个单位长度的速度从点出发在射线上运动，设点的运动时间为秒．
∴，
当时，；
当时，
综上所述，
（2）解：如图所示，当在线段上时，

∵是等边三角形，
∴，，
当时，
∴
∴
解得：
当在的延长线上时，

∵，
∴
∴
∴
∴
解得：
（3）解：如图所示，当时，在上运动时，

∵，
当为等腰三角形时，则为等边三角形，
∴，
∵，．
∴点在上运动的时间为：，在上运动的时间为，
当点从点运动到点的过程中，，
∴
解得：；
当，即点在的延长线上时，此时点从D运动回点C
当点从点返回时，，；

∴
解得：；
综上所述，当为等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形得到，，正方形得到，，从而推出，由得到全等．
（2）由全等得到，，由等腰直角三角形得到，推出从而证明．
（3）再次证明全等，由全等得到，，由等腰直角三角形得到，推出，从而求出证明结论．
【详解】（1）证明：以为边作正方形，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，，
①，
证明：，，
，
，
，
；
②，
，，
．
（3）①成立，
以为边作正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②不成立，
，，
．
【点睛】本题主要考查全等的判定和性质，熟练掌握全等的性质是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由和是等边三角形可得，由可得，由“”即可证明；
（2）由和是等边三角形可得，由可得，从而得到，由可得，利用“”即可证明；
（3）由（2）可得：，由，可得，从而即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：为等边三角形，
理由如下：
由（2）可得：，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，进而证明，即可得证；
（2）过点F作，交点的延长线于点K，连接，证明四边形是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长交于点R，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形是平行四边形，则．进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
∵将绕点C顺时针旋转得到线段，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点F作，交的延长线于点K，连接，

∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴点F在的垂直平分线上．
∵，
∴点B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴．
又∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图所示，延长交于点R，

由（2）可知是等边三角形，
∴．
∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由（2）可得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
由（2）可知G是的中点，则，
∴，
∴．
∵折叠，
∴，
∴．
又，
∴，
∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，

∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到；
（2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论；
（3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案．
【详解】解：（1）．理由：如图1，
直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）（1）中结论成立，
理由如下：如图2，，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）结论：是等边三角形．
理由：如图3，由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由平行线的判定可得结论；
（2）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可求，可得结论；
（3）由外角的性质和平行线的性质可证，由角平分线的性质可求，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
，
；
（2）证明：，
，
平分，PE平分，
，，
，
．
，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
．
，
，
．
平分，
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．
16．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，三角形内角和定理，得到，等角对等边，即可得证；
（2）设，则：，得到，三角形的内角和得到，进而得到，即可得出结论；
（3）以为边长，构造等边三角形，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）是等腰三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）当时，恒成立，理由如下：
如图，以为边长，构造等边三角形，连接，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即：，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键．本题的综合性较强，属于压轴题．
17．(1)6
(2)6.5
(3)为2或6.5秒时，的面积为12
【分析】（1）先求出的周长为24，所以当把的周长分成相等的两部分时，点在上，此时，再根据时间路程速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①在上；②在上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：中，∵，，，
∴的周长，
∴当把的周长分成相等的两部分时，
点在上，此时，
∴，解得．
故答案为：6；
（2）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分，
此时，
∴，解得．
故答案为：6.5；
（3）解：分两种情况：①当在上时，

∵的面积，
∴，
∴，
∴，则；
②当在上时，

∵的面积面积的一半，
∴为中点，
∴，则．
故为2或6.5秒时，的面积为12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
18．(1)3；66
(2)
(3)或或或
【分析】（1）由“”可证，可得，由“”可证，，即可求解；
（2）设，由三角形的内角和定理可求x，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）如图1，∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可证：，
故答案为：3，66；
（2）设，
∵平分，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴；
（3）当点C在的右侧时，如图，

∴
∴，
∴；
当点C在的左侧时，如图，

∵
∴
若时，则
∴；
若时，则，
∴；
若，则，
∴，
综上所述：的度数为或或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
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