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第四章 数列 测试卷
一、单选题
1．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是．其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设为等差数列的前项和，若公差则（ ）
A．8 B．7
C．6 D．5
4．在数列中，，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知数列满足，若，则=（ ）
A． B． C． D．
6．已知在递减的等比数列中，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．设是公比大于1的等比数列的前项和，则“数列递增”是“数列递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．等比数列的公比为，前项积，若，，
，则（ ）
A． B．是的最大值
C． D．使的的最大值是
二、多选题
9．已知数列若，设数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．为等差数列 B．
C．恒成立 D．数列的前项和小于1
11．若数列满足（，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差.则下面四个数列为等方差数列的是（ ）
A．数列，
B．数列，
C．数列，
D．数列，
12．已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．
D．当且仅当时，取最大值
三、填空题
13．已知数列{an}是首项为1，公比为q（q>0）的等比数列，并且2a1，，a2成等差数列．则公比q的值为
14．已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为 .
15．在等差数列中，，则该数列前13项的和是 .
16．在各项均为正数的等比数列中，，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记数列{}的前n项和为，求.
18．在数列中，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前50项和.
19．已知数列满足：．
(1)证明：时，；
(2)是否存在这样的正数，使得数列是等比数列，若存在，求出值，并证明；若不存在，请说明理由．
20．已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
21．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
22．已知数列单调递增,其前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且,求数列的前n项和.
参考答案：
1．C
【分析】由有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，利用等差数列前项和公式求出，由此能求出结果．
【详解】解：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，
，
解得，
在①中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是：，故①错误；
在②中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是，故②正确；
在③中，得到橘子第三多的人所得的橘子个数是：，故③正确．
故其中说法正确的个数是2．
故选：C．
2．D
【分析】根据题意可通过举例特殊数列可知不满足充分性，再由数列可得不满足必要性即可得出结论.
【详解】根据题意可知，若存在，且，
不妨设即数列从第三项起满足，
此时存在满足且，但数列从第三项开始是递增数列，无最大项；
所以充分性不成立；
若存在最大项，不妨设数列，此时的最大项为，且为递减数列；
所以不存在，且，即必要性不成立.
故选：D
3．D
【分析】利用等差数列的求和公式即可得到答案
【详解】解：因为是等差数列，且公差
所以可整理得，
解得，
故选:D．
4．D
【分析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.
【详解】由题意得，令，可得，
令，可得，
令，可得，
令，可得.
故选：D
5．A
【分析】依次求出得解.
【详解】时，；
时，；
时，.
故选：A
【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6．D
【分析】由等比数列的性质与通项公式求出、，从而得到公比和答案．
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
解得，，或，，舍去，
所以，所以.
故选：D．
7．C
【分析】根据递增数列的定义、等比数列的定义证明即可.
【详解】若数列递增，则，所以，又，所以，
则，即，因此数列递增，满足充分性，
若数列递增，则，所以，
又，所以，因此
也随之递增，即数列递增，所以必要性成立．
所以“数列递增”是“数列递增”的充要条件．
故选：C
8．D
【分析】由题设条件和等比数列的通项公式，可得出，，，结合等比数列的性质就有，，进而逐一判断每个选项即可.
【详解】解：根据条件可得，
则，，
又因为，
则A选项：，所以，
若，则，，
所以与条件矛盾，
所以，故A错误；
B选项：由，，
可得等比数列单调递减，
又，
可得，，所以是的最大值，故B错误；
C选项：由，，可得等比数列单调递减，
可得，，
，，故C错误；
D选项：，
，
由上可知，
可得，
由此类推可得当时，，
，
由，
可得，
由此类推可得可得当时，，
所以使的的最大值是，故D正确．
故选：D．
9．AC
【分析】先求出，再求出，利用裂项求和方法即可．
【详解】
的前项和为
故选：AC
10．ACD
【分析】对于A项，方法1：运用与的关系求得的通项公式，再运用等差数列的定义判断A项即可，方法2：运用等差数列前n项和是关于n的常数项为0的二次函数或常函数可直接判断A项；对于B项，根据已知条件及是等差数列列方程组求解即可；对于C项，运用函数思想求得取得最小值；对于D项，运用裂项相消法求和即可.
【详解】对于A项，方法1：∵
∴①当时，，
②当时，，
③将代入得：，
∴，
∴与n无关，
∴是等差数列，公差为，
方法2：∵是关于n的二次函数且常数项为0，
∴是等差数列，公差为，故A项正确；
对于B项，由A项知，是等差数列，公差为，
又∵，解得：，故B项不成立；
对于C项，由B项知，，开口向上，对称轴为，
∴当时，取得最小值，
∴，故C项正确；
对于D项，由B项知，，
∴
设的前n项和为，
，故D项正确.
故选：ACD.
11．AB
【分析】根据等方差数列概念依次判断选项即可.
【详解】对于A，因为（常数），所以数列为等方差数列；
故A正确.
对于B，因为（常数），所以数列为等方差数列；
故B正确.
对于C，因为（不是常数），
所以数列不是等方差数列；故C错误.
对于D，因为（不是常数），
所以数列不是等方差数列，故D错误.
故选：AB.
12．AB
【分析】由递推关系式可得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可知A正确；由通项公式可知当时，，知B正确；分别在和求得的前项和，知C错误；由当时，，可知D错误.
【详解】对于A，由得：，
数列为等差数列，设其公差为，则，
，A正确；
对于B，，且当时，，的最小值为，B正确；
对于C，令，解得：，则当时，；
当时，；
当时，；
综上所述：，C错误；
对于D，当时，；当时，；当时，；
当或时，取最大值，D错误.
故选：AB.
13．2
【分析】由等差中项性质及等比数列通项公式可得，即可求公比.
【详解】由题设，则，即，
又，故.
故答案为：
14．
【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式整理可得，令，结合函数单调性求取值范围.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
则，
所以，且，
可得，，
则，
令，则在上单调递增，可得，
故在上单调递减，可得，
即的取值范围为.
故答案为：.
15．26
【分析】利用等差数列的性质结合已知可求得，再利用等差数列的性质可求得结果
【详解】因为在等差数列中，，
所以，所以，
所以该数列前13项的和为，
故答案为：26
16．6
【分析】由题意，根据等比数列的性质和基本不等式即得.
【详解】由题意，是等比数列，
又，当且仅当时，等号成立，
的最小值为为6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于基础题.
17．(1)，
(2)
【分析】(1)根据递推公式得出，进而求出数列的通项公式，再利用已知条件列出方程求出数列的公差，进而求出数列的通项公式即可；
(2)结合（1）的结论，利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）∵，
∴
∴
∴，
又∵，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
设等差数列的公差为d，则由)得，
解得：(舍)，或，
所以.
（2）由（1）可知：，令，
则
∴
∴
∴
综上，
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件易得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可得答案；
（2）利用分组求和法，即可得答案；
【详解】（1）因为，所以，即，
因为，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式和等差数列、等比数列求和公式，考查运算求解能力.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据递推公式做商证明结论；
（2）根据等比中项计算得出，再应用定义证明等比数列即可.
【详解】（1） ①
时， ②
得时，
（2）假设存在正数使得数列为等比数列，由得，
由，得，因为为等比数列，，即，
．
下证：时，数列是等比数列：
由（1）知数列和均为公比的等比数列．
；
为奇数时，，n为偶数时，
∴对一切正整数n，都有，
，
∴存在正数，使得数列是等比数列．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，代入计算可得，由代入得到，从而证明数列是等比数列，求出通项公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通项公式可得，计算可求出前项和.
【详解】（1），算得
当时，；得到，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，得到
（2）由，得到.
则，
.
21．(1)；
(2)不存在，证明见解析.
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，构造数列即可求解作答.
（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合的单调性推理作答.
【详解】（1），，则当时，，即，而，
因此，数列是公比为2的等比数列，则，即，
所以.
（2）记，由（1）知，，
不妨假设存在三项成等差数列，则，
因为，所以，
令，则，于是有对是递增的，
则，即，
因此，即，其左边为负数，右边为正数，矛盾，
所以数列中不存在成等差数列的三项．
22．(1)
(2)
【分析】(1)由,可得当时,,两式相减得,再利用数列单调递增,确定数列是等差数列即可得到结果;
(2)先用累加法求出数列的通项公式,再利用裂项相消法即可求出数列的前n项和.
【详解】（1）因为,当时,.
所以当时,.
两式相减得,
因为数列单调递增,且,
所以当时,,,
所以当时,,即.
即数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
（2）由,,可得.
由,
可得
,
上式对也成立.
所以.
则.

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