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专题二十七 直线、平面垂直的判定与性质
知识归纳
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面 线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
三、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行
线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
四、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
如图所示，若，且，则.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、平面与平面垂直判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
六、平面与平面垂直性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
方法技巧与总结
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
典例分析
题型一、垂直性质的简单判定
【例1-1】设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】A：由，，则或相交，错误；
B：由，，则或或相交，错误；
C：由，则存在直线且，而则，
根据面面垂直的判定易知，C正确；
D：由，，则或，错误．
【例1-2】已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面
【答案】B
【解析】连接、，交于点，连接、，交于点．
连接、、、、．
由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；
在四边形中，且，
所以四边形为平行四边形．．
平面，平面，
平面，故B正确；
由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面，，又，
，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；
显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D错误．
【例1-3】如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【解析】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
【例1-4】(多选题)已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若是异面直线，，则.
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且 ，
同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是相交的，n与也是相交的，
即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确；
设，并且，则有，显然是相交的，错误；
对于B，若，则不成立，错误；
对于C，若，则平面上必然存在一条直线l与n平行，，即，正确；
对于D，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又，正确；
【例1-5】在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
【答案】A
【详解】选项A，正方体中，显然有，连接延长，
如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，
如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；

选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错；
选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；
选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．
题型二、证明线线垂直
【例2-1】如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．证明：
【解析】证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，
，
，
由平面几何知识易知，
，
则四边形和四边形是矩形，
∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，
可得，而，∴平面，而平面
【例2-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．
（1）求四棱锥的全面积；
（2）求证：．
【解析】（1）∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∴BC⊥BP，∴，
同理可得，
∴
．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE 平面PDC，∴PE⊥AF．
【例2-3】如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）∵，，∴，
∵平面，平面，∴，∵，∴，
∵，平面，
∴平面，又平面，
∴．
（2）∵平面，平面ABC，∴，
又∵，，∴平面．
，
【例2-4】如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．
若，试证；
【解析】在中，
∵为中点且，
∴．
∵平面平面交线为，
∴平面，∴．
∵，分别为，的中点，
∴．
∴．
在直角和直角中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴平面，平面，
∴．
【例2-5】如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．
证明：；
【解析】取中点，连接，
，
为正三角形，
又面，面
又面，
【例2-6】已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：
若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；
【解析】假设折叠过程中能使．
折叠前，假设，E为垂足，连，则与不垂直．①
折叠后，若，又与是平面内的相交直线，
故平面，又平面，从而有，
故折叠前也应有②．显然，①与②矛盾．故假设不能成立．
即折叠过程中不能使．
【方法技巧与总结】
题型三、证明线面垂直
【例3-1】如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，．
证明：平面；
【解析】∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，故
又∵，，∴
∵，∴，
∴∴，又∵，，平面
∴平面
【例3-2】如图，在三棱柱中，平面，，且，为棱的中点．
求证：平面；
【解析】方法一：取的中点，连接．
平面，平面，，．
，，，，
又，平面，
平面，且四边形为正方形，又平面，
，，
又，平面，平面．
方法二：取的中点，连接．
平面，平面，
，．
，，
，，
又，平面，
平面，且四边形为正方形，又平面，
平面平面，又平面平面，，
平面．
【例3-3】如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【解析】（1）由题意有．
∵为的中点，∴．又，∴点到平面的距离为．
∴．∴．
∴三棱锥与三棱锥的体积之比为．
（2）证明：∵平面，平面，∴．
∵，∴．
∵，，平面，∴平面．
又平面，∴．
在中，由，，得．
又，得．∴．
∵，∴．又，∴．
∴，即．
又，平面ABD，∴平面．
【例3-4】如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．
证明：平面；
【解析】∵四边形为矩形，，且，
∴
∵，∴
∵，，∴，∴
∵四边形为矩形，∴
∵，平面，∴平面
【例3-5】如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．求证：平面；
【解析】证明：如图所示，取中点，连接，
是正三角形，为中点，
又平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，，
，且，平面，
平面；．
【例3-6】在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2．证明：直线平面．
【解析】证明：图1中，在中，所以．所以
也是直角三角形，
，
在图2中，所以平面．
【例3-7】如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【解析】证明：如图，连接AF，
由题意知为等腰三角形，
而为的中点，所以．
又因为平面平面，
且，平面平面，
平面，所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
连接，则，，
而，，所以且，
所以是平行四边形，
因此，故平面．
【例3-8】已知边长为2的等边（图1），点D和点E分别是边AC，AB上的中点，将沿直线DE折到的位置，使得平面平面BCDE，点O和点P分别是边DE，BE的中点（图2）．证明：平面
【解析】证明：连接BD．
∵点和点分别是边DE，BE上的中点，∴，
等边中，点是边AC的中点，∴，∴
等边中，点是边DE的中点，∴，
又∵平面，平面平面BCDE，
且平面平面，
∴平面BCDE，∴，
∵，∵，平面
∴平面；
【方法技巧与总结】
垂直关系中线面垂直是重点．
线垂面哪里找
线垂面有何用
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
题型四、证明面面垂直
【例4-1】如图，在三棱柱中，，．
（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【解析】（1）连接．
三棱柱中，，．
则，
则，则，∴，
又∵，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）取AB的中点D，连接CD，∵，∴，
又由（1）知平面平面，平面平面
则平面，且．
则三棱锥的体积为，
则三棱柱的体积为6，
∵，∴在四边形中，，
又∵四棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为．
【例4-2】如图，在矩形中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．
证明：平面平面；
【解析】证明：取线段的中点，连结，，
，，为等边三角形，．
，．又，
，，，
又，平面．
平面，∴平面平面
【例4-3】如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为．
证明：平面平面
【解析】证明：连接PE，BE，
因为为AD中点，所以PE⊥AD，
因为，E为AD中点，所以BE⊥AD，
因为，所以AD⊥平面PBE，
因为平面PBE，所以AD⊥PB，
因为，E为AD中点，所以，
由勾股定理得：，
因为，
由勾股定理逆定理可得，所以，
因为BE⊥AD，PE⊥AD，所以即为二面角的平面角，所以=．
在三角形PEB中，由余弦定理得：，
所以，因为，所以，
因为，所以平面ABCD，因为平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABCD
【例4-4】如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．
（1）若D是BC的中点，求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
【解析】（1）证明：∵，D是BC中点，∴，
∵底面侧面，交线为BC，∴侧面，
又∵侧面，∴；
（2）证明：取中点E，连接DE，ME，
在中，D，E分别是BC，的中点，∴且
又且，∴且，
∵，∴且，
∴四边形AMED是平行四边形，∴，
由（1）知面，∴侧面，又∵面，
∴面侧面．
【例4-5】如图，已知四棱台的底面是矩形，平面平面，，为的中点，且．
证明：平面平面
【解析】证明：平面平面，平面平面，，平面，
平面．又平面，．
，平面，，
平面．
又平面，平面平面．
【例4-6】如图，四面体的棱平面，．
证明：平面平面；
【解析】
作于M，连接，则，，则，
则，故．又，则，又，平面，故平面，
又平面，则平面平面．
【例4-7】如图，在直三棱柱中，，，F为棱上一点，，连接AF，．
证明：平面平面；
【解析】如图，延长和CB的延长线相交于点E，连接AE，
则AE为平面与底面ABC的交线，
由已知得，，，
所以，
由AB、BC的长都为3，AC的长为，得，
所以，
在三角形ABE中，由余弦定理，
得，
所以，所以，即，
又是直三棱柱，故平面ABC，
又平面ABC，所以，因为，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【例4-8】《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析； (2).
【详解】（1）分别取和的中点，连接，
因为底面是边长为2的正方形，，
所以.
在梯形中，，
分别作垂直于，垂足分别为，则，
故由勾股定理得，
所以，
易知，故.
又，所以，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接.因为，所以四边形的面积，
所以.
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，且.
因为，所以，
即四棱锥的体积为.
【方法技巧与总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
题型五、垂直中的探究性问题
【例5-1】如图，已知矩形，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）

A．对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．存在某个位置，使得直线与直线垂直
【答案】D
【详解】在平面内，作于E，作于F，连接.
对于选项B，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直.
连接，由，
平面，可得平面，又平面，
则，这与平面内矛盾，
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线与直线垂直.判断错误；
对于选项C，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
则，则为的斜边，则，
这与矛盾.
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线与直线垂直.判断错误；
对于选项D，假设存在某个位置，使得直线与直线垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
则，又，则，
又中，，
则，
中，
则中，，，，三边长可以构成三角形.
故假设成立，即存在某个位置，使得直线与直线垂直.
则选项D判断正确；选项A判断错误.
【例5-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面．
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围．
【解析】（1）当时，四边形为正方形，则．
因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面
所以平面．
故当时，平面．
（2）设是符合条件的边上的点．
因为平面，平面
所以，
又，，平面，平面
所以平面，
因为平面，
所以．
因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点．
则半径，即．
所以．
【例5-3】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）证明：如图，取SC的中点G，连接FG，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又平面SEC，平面SEC，∴AF∥平面SEC；
（2）证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又平面SEC，∴AD⊥EG，
又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又平面SBC，∴AF⊥平面SBC，
又平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB；
（3）解：假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，
∵平面MAC，∴BD⊥OM，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，，△SAD为正三角形，
∴，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
又侧面底面ABCD＝AD，平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，∴SE⊥BE，
∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC，.
【例5-4】如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）连接与，两线交于点，连接，
在中，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面，平面，所以．
又为棱的中点，，所以．
因为，，平面，
所以平面，平面，所以．
因为，所以．又，
在和中，，
所以，即，
所以，又，，平面，
所以平面．
（3）当点为的中点，即时，平面平面．
证明如下：设的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以且，又为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面．
【例5-5】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.
(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；
(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.
【详解】（1）解：当时，平面平面，理由如下：
因为底面，平面，所以，
因为为矩形，所以，
又，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以为线段的中点，又因为，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面平面，由（1）可知为的中点.
因为底面，所以点到底面的距离为，
所以，
因为，所以，所以，，
平面，平面，则，同理可知，
，为的中点，则，，
所以，，
设点到平面的距离为，由得，解得.
【例5-6】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：取线段的中点，连接、，
因为四边形是边长为的菱形，则，，
因为，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中点，,
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
过点作，分别交、于点、，
因为，则，
所以，、、、四点共面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为，，，则，
因为，，
由余弦定理可得，
所以，，，
所以，,，
因为，所以，.
题型六、面面垂直性质的应用
【例6-1】如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．
(1)求证：；
(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为
【详解】（1）四边形是直角梯形，，，，
∴，则，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
（2）由（1）可知平面，，
设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，
即E到平面的距离，
是等腰直角三角形，，，，
，即，，
E为线段上靠近点D的三等分点．
【例6-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，.

(1)证明：；
(2)若为线段上靠近的三等分点，且平面，平面平面，平面，求的值.
【详解】（1）
取的中点为，连接，
因为为正三角形，故，
而为菱形，，故为等比三角形，故，
而，平面，故平面，
而平面，故.
（2）设直线与平面交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
故，同理.
由菱形可得，故，故，
又，故，故.
连接，设，则.
由（1）可得，而平面平面，平面平面，
平面，故平面，
而平面，故，故.
在中，，
故，故，
故，故
_
_
a
_
_
b
_
a
_
b
_
a
_
_
_
_
a
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
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专题二十七 直线、平面垂直的判定与性质
知识归纳
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面 线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
三、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行
线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
四、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
如图所示，若，且，则.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、平面与平面垂直判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
六、平面与平面垂直性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
方法技巧与总结
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
典例分析
题型一、垂直性质的简单判定
【例1-1】设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【例1-2】已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面
【例1-3】如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
例1-4】(多选题)已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若是异面直线，，则.
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【例1-5】在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ）

A． B．
C．平面 D．平面平面
题型二、证明线线垂直
【例2-1】如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．证明：
【例2-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在棱上．
（1）求四棱锥的全面积；
（2）求证：．
【例2-3】如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【例2-4】如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．
若，试证；
【例2-5】如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．
证明：；
【例2-6】已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：
若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；
【方法技巧与总结】
题型三、证明线面垂直
【例3-1】如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，．
证明：平面；
【例3-2】如图，在三棱柱中，平面，，且，为棱的中点．
求证：平面；
【例3-3】如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【例3-4】如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．
证明：平面；
【例3-5】如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．求证：平面；
【例3-6】在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2．证明：直线平面．
【例3-7】如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【例3-8】已知边长为2的等边（图1），点D和点E分别是边AC，AB上的中点，将沿直线DE折到的位置，使得平面平面BCDE，点O和点P分别是边DE，BE的中点（图2）．
证明：平面
【方法技巧与总结】
垂直关系中线面垂直是重点．
线垂面哪里找
线垂面有何用
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
题型四、证明面面垂直
【例4-1】如图，在三棱柱中，，．
（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【例4-2】如图，在矩形中，，点为边的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，使得，连结，，．
证明：平面平面；
【例4-3】如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，F分别是棱的中点，二面角为．
证明：平面平面
【例4-4】如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．
（1）若D是BC的中点，求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于M，若，求证：截面侧面．
【例4-5】如图，已知四棱台的底面是矩形，平面平面，，为的中点，且．
证明：平面平面
【例4-6】如图，四面体的棱平面，．
证明：平面平面；
【例4-7】如图，在直三棱柱中，，，F为棱上一点，，连接AF，．
证明：平面平面；
【例4-8】《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
题型五、垂直中的探究性问题
【例5-1】如图，已知矩形，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）

A．对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．存在某个位置，使得直线与直线垂直
【例5-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面．
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围．
【例5-3】如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．
(1)求证：AF∥平面SEC；
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【例5-4】如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
【例5-5】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.
(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；
(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.
【例5-6】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题型六、面面垂直性质的应用
【例6-1】如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．
(1)求证：；
(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为
【例6-2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，.
(1)证明：；
(2)若为线段上靠近的三等分点，且平面，平面平面，平面，求的值.
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a
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b
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a
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b
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a
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a
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
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