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广东省潮州市潮安区2023-2024学年高三上学期数学统测（一）
一、单选题
1．下列不等式中，解集为或的不等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小；一元二次不等式
【解析】【解答】解：A、，即或，解得或，故A正确；
B、，即或，解得或，故B错误；
C、解得或，故C错误；
D、，解得或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值不等式的解法求解AB；将分式不等式转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于0，判断C；根据一元二次不等式的解法求解D即可.
2．已知集合，集合，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，所以，.
故答案为：D.
【分析】先分别求出集合A，B，再根据集合的交、并运算逐项分析判断即可.
3．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，即，解得，因为是的真子集，
所以“”是“”的的的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】化简，得到，根据真子集关系即可得解.
4．下列各命题的否定为真命题的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定；一元二次不等式
【解析】【解答】解：A、因为恒成立，所以，为真命题，则命题的否定为假命题，故A错误；
B、命题“，”当时，，所以命题“，”为真命题，则命题的否定“，”为假命题；
C、命题“，”的否定为“，”，当时，，所以命题“，”为假命题，故C错误；
D、命题“，”的否定为“”，当时，，则命题“”为真命题，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的否定的定义，结合二次不等式或特殊值的方法逐项判断即可.
5．已知且，，则（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解： 由已知且，， 得，解得，则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据函数解析式可得，解出a、b的值，即可得，进而计算可得到答案．
6．下列命题为真命题的是（　　）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．，成立的一个充分不必要条件是
D．“，”的否定是“，”（e为自然对数的底数）
【答案】C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但；当时，，即是的既不充分也不必要条件，故A错误；
B、因为即，解得，是的子集，所以是的必要不充分条件，故B错误；
C、因为，成立，所以，即，所以，的充分不必要条件为，故C正确；
D、命题，的否定为，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】取特殊根据充分必要条件即可判断A；根据指数函数的单调性求得的范围，再根据充分必要条件判断即可；恒成立问题的求解，含一个量词命题的否定定义判断D即可.
7．下列命题正确的是（　　）
A．“” 的否定为真命题
B．若，则
C．若“”为真命题，则
D．的必要不充分条件是
【答案】B
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：A、命题的否定为，当时，，所以命题的否定为假命题，故A错误；
B、因为，所以，解得，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、若为真命题，则需满足解得，故C错误；
D、当时，但不成立；当时，一定成立，故是的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据含有量词命题的否定以及对数性质即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结合二次函数恒成立判断C；根据充分必要条件即可判断D.
8．已知正数、满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】由已知，等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.
二、多选题
9．下列各组函数是同一函数的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与定义域，对应关系和值域都相同，故函数为同一函数，故A正确；
B、函数与的定义域为，但对应关系不同，所以两函数不是同一函数，故B错误；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以两函数不是同一函数，故C错误；
D、函数与的定义域为，由与函数的定义域和对应关系一致，所以两函数为同一函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再判断两函数的定义域、对应关系和值域是否一致即可判断两函数是否为同一函数.
10．（2020高一上·连云港期中）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（　　）
A．“ ， 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．设 ， ， ，则“ ”是“ ”的充要条件
D．设 ， ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，若 都是偶数，可得a+b是偶数，所以充分性成立；
反之：比如 ，此时a+b是偶数，但 不是偶数，
所以 “ 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，所以正确；
对于B中，由 ，解得 ，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以不正确；
对于C中，由 ，可得 ，
解得 ，故“ ”是“ ”的充要条件，所以正确；
对于D中，设 ，若 且 ，可得 ，所以充分性成立，
反之：若 ，不能得出 且 ，所以必要性不成立，
所以 ，则“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，所以不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项进行判定，即可得到答案。
11．已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数有且仅有一个零点0 B．
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数，可得有两个零点，故A错误；
由，故B正确；因为时，，所以函数在区间上单调递增，故C正确；当时，函数，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据分段函数求零点直接判断A；再根据分段函数的解析式结合对数函数的性质判断单调性即可.
12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，当且仅当且，即时等号成立，故A正确；，当且仅当且，即时等号成立，故B正确；因为，所以，当且仅当且，即时等号成立，故C错误；，当且仅当且，即时等号成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件结合基本不等式逐项判断即可.
三、填空题
13．函数，则定义域是　 　．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数有意义，必须满足，解得，故.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式，列出满足根式和对数由意义的不等式组，求解即可得函数的定义域.
14．已知二次函数满足，，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：设二次函数，因为，所以，则
，，因为，所以，解得，故，则不等式，即，解得.
故答案为：.
【分析】设二次函数，因为，所以，根据得到，最后求解不等式即可求解．
15．已知不等式的解集为，若函数（且），则　 　．
【答案】6
【知识点】函数的值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以是方程的两个实数根，由韦达定理可得，解得，则函数，故.
故答案为：6.
【分析】根据不等式的解为，可得是方程的两个根，由韦达定理求得的值，从而求出函数的解析式，计算得值即可.
16．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：因为不等式对任意正实数恒成立，所以，因为，，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】将不等式恒成立等价于，根据已知条件结合基本不等式求，再解不等式即可求得实数的取值范围.
四、解答题
17．已知数列的前项和，且；
（1）求它的通项
（2）若，求数的前项和.
【答案】（1）解：，当时，，
当时，，经验证，满足，
；
（2）解：，，
数列是以首项为1，2为公比的等比数列，
；
综上，，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 当时，，当时也成立，即可得解；
（2）由题意得到数列是以首项为1，2为公比的等比数列，运用分组求和分别求出数列和的前n项和即可得到.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求c的值．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：因为的面积为，
所以，所以，
由余弦定理得，
所以．
所以，与联立，得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得，结合三角恒等变换推出，求解得；
（2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而求解即可.
19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100 分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计这100 人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.
【答案】（1）解：由图可知，，解得，
估计这人问答成绩的平均数为：
.
（2）解：由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5 的样本，
则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，
问答成绩在内的有(人)，分别记为、、，
从中任意抽取2 人，则实验的样本空间为：
共有个样本点.
设事件为2 人的问答成绩均在内，则，
所以这2 人的问答成绩均在内的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出参数，在根据平均数公式计算即可得解；
（2）求出 ， 中抽取的人数分别为人，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算即可得解.
20．（2022高二上·丽水期末）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的导数，
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为.
（2）解：由（1）得：当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
由三次函数性质知：当时，；
当时，.
所以若有三个零点，则，解得.
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性；
(2)结合(1)中的单调性，可知原函数的极值，结合 三次函数性质知可得结果.
21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：//平面AEC；
（2）设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．
【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
由几何关系有：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，即
据此可得：平面.
（2）解：因为平面ABCD，E为PD的中点．，
所以点E到平面ABCD的距离为，
因为三棱锥的体积是，
所以有，
结合（1）的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，
观察可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点， 建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量， 利用空间向量数量积计算得，所以平面 ；
（2） 由三棱锥的体积是，推出，由题意得出平面的一个法向量为 ， 平面的一个法向量为， 根据空间向量夹角公式，计算求解即可.
22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得，， 则， 即可求得椭圆的方程；
（2） 由直线的方程为，由点到直线的距离公式得， 联立方程组， 整理可得， 根据，得到，结合弦长公式求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
1 / 1广东省潮州市潮安区2023-2024学年高三上学期数学统测（一）
一、单选题
1．下列不等式中，解集为或的不等式是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知集合，集合，则有（　　）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．下列各命题的否定为真命题的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知且，，则（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
6．下列命题为真命题的是（　　）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．，成立的一个充分不必要条件是
D．“，”的否定是“，”（e为自然对数的底数）
7．下列命题正确的是（　　）
A．“” 的否定为真命题
B．若，则
C．若“”为真命题，则
D．的必要不充分条件是
8．已知正数、满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各组函数是同一函数的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2020高一上·连云港期中）下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（　　）
A．“ ， 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．设 ， ， ，则“ ”是“ ”的充要条件
D．设 ， ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
11．已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．函数有且仅有一个零点0 B．
C．在上单调递增 D．在上单调递减
12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为
三、填空题
13．函数，则定义域是　 　．
14．已知二次函数满足，，则不等式的解集为　 　．
15．已知不等式的解集为，若函数（且），则　 　．
16．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题
17．已知数列的前项和，且；
（1）求它的通项
（2）若，求数的前项和.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求c的值．
19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100 分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计这100 人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.
20．（2022高二上·丽水期末）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：//平面AEC；
（2）设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．
22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小；一元二次不等式
【解析】【解答】解：A、，即或，解得或，故A正确；
B、，即或，解得或，故B错误；
C、解得或，故C错误；
D、，解得或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据绝对值不等式的解法求解AB；将分式不等式转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于0，判断C；根据一元二次不等式的解法求解D即可.
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，所以，.
故答案为：D.
【分析】先分别求出集合A，B，再根据集合的交、并运算逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，即，解得，因为是的真子集，
所以“”是“”的的的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】化简，得到，根据真子集关系即可得解.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定；一元二次不等式
【解析】【解答】解：A、因为恒成立，所以，为真命题，则命题的否定为假命题，故A错误；
B、命题“，”当时，，所以命题“，”为真命题，则命题的否定“，”为假命题；
C、命题“，”的否定为“，”，当时，，所以命题“，”为假命题，故C错误；
D、命题“，”的否定为“”，当时，，则命题“”为真命题，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的否定的定义，结合二次不等式或特殊值的方法逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解： 由已知且，， 得，解得，则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据函数解析式可得，解出a、b的值，即可得，进而计算可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但；当时，，即是的既不充分也不必要条件，故A错误；
B、因为即，解得，是的子集，所以是的必要不充分条件，故B错误；
C、因为，成立，所以，即，所以，的充分不必要条件为，故C正确；
D、命题，的否定为，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】取特殊根据充分必要条件即可判断A；根据指数函数的单调性求得的范围，再根据充分必要条件判断即可；恒成立问题的求解，含一个量词命题的否定定义判断D即可.
7．【答案】B
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：A、命题的否定为，当时，，所以命题的否定为假命题，故A错误；
B、因为，所以，解得，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、若为真命题，则需满足解得，故C错误；
D、当时，但不成立；当时，一定成立，故是的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据含有量词命题的否定以及对数性质即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结合二次函数恒成立判断C；根据充分必要条件即可判断D.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：B.
【分析】由已知，等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与定义域，对应关系和值域都相同，故函数为同一函数，故A正确；
B、函数与的定义域为，但对应关系不同，所以两函数不是同一函数，故B错误；
C、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以两函数不是同一函数，故C错误；
D、函数与的定义域为，由与函数的定义域和对应关系一致，所以两函数为同一函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域，再判断两函数的定义域、对应关系和值域是否一致即可判断两函数是否为同一函数.
10．【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，若 都是偶数，可得a+b是偶数，所以充分性成立；
反之：比如 ，此时a+b是偶数，但 不是偶数，
所以 “ 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，所以正确；
对于B中，由 ，解得 ，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以不正确；
对于C中，由 ，可得 ，
解得 ，故“ ”是“ ”的充要条件，所以正确；
对于D中，设 ，若 且 ，可得 ，所以充分性成立，
反之：若 ，不能得出 且 ，所以必要性不成立，
所以 ，则“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，所以不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项进行判定，即可得到答案。
11．【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数，可得有两个零点，故A错误；
由，故B正确；因为时，，所以函数在区间上单调递增，故C正确；当时，函数，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据分段函数求零点直接判断A；再根据分段函数的解析式结合对数函数的性质判断单调性即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，当且仅当且，即时等号成立，故A正确；，当且仅当且，即时等号成立，故B正确；因为，所以，当且仅当且，即时等号成立，故C错误；，当且仅当且，即时等号成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件结合基本不等式逐项判断即可.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数有意义，必须满足，解得，故.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式，列出满足根式和对数由意义的不等式组，求解即可得函数的定义域.
14．【答案】
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：设二次函数，因为，所以，则
，，因为，所以，解得，故，则不等式，即，解得.
故答案为：.
【分析】设二次函数，因为，所以，根据得到，最后求解不等式即可求解．
15．【答案】6
【知识点】函数的值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以是方程的两个实数根，由韦达定理可得，解得，则函数，故.
故答案为：6.
【分析】根据不等式的解为，可得是方程的两个根，由韦达定理求得的值，从而求出函数的解析式，计算得值即可.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：因为不等式对任意正实数恒成立，所以，因为，，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】将不等式恒成立等价于，根据已知条件结合基本不等式求，再解不等式即可求得实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：，当时，，
当时，，经验证，满足，
；
（2）解：，，
数列是以首项为1，2为公比的等比数列，
；
综上，，.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 当时，，当时也成立，即可得解；
（2）由题意得到数列是以首项为1，2为公比的等比数列，运用分组求和分别求出数列和的前n项和即可得到.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：因为的面积为，
所以，所以，
由余弦定理得，
所以．
所以，与联立，得．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得，结合三角恒等变换推出，求解得；
（2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而求解即可.
19．【答案】（1）解：由图可知，，解得，
估计这人问答成绩的平均数为：
.
（2）解：由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5 的样本，
则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，
问答成绩在内的有(人)，分别记为、、，
从中任意抽取2 人，则实验的样本空间为：
共有个样本点.
设事件为2 人的问答成绩均在内，则，
所以这2 人的问答成绩均在内的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出参数，在根据平均数公式计算即可得解；
（2）求出 ， 中抽取的人数分别为人，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算即可得解.
20．【答案】（1）解：函数的导数，
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为.
（2）解：由（1）得：当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
由三次函数性质知：当时，；
当时，.
所以若有三个零点，则，解得.
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性；
(2)结合(1)中的单调性，可知原函数的极值，结合 三次函数性质知可得结果.
21．【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
由几何关系有：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，即
据此可得：平面.
（2）解：因为平面ABCD，E为PD的中点．，
所以点E到平面ABCD的距离为，
因为三棱锥的体积是，
所以有，
结合（1）的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，
观察可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点， 建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量， 利用空间向量数量积计算得，所以平面 ；
（2） 由三棱锥的体积是，推出，由题意得出平面的一个法向量为 ， 平面的一个法向量为， 根据空间向量夹角公式，计算求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得，， 则， 即可求得椭圆的方程；
（2） 由直线的方程为，由点到直线的距离公式得， 联立方程组， 整理可得， 根据，得到，结合弦长公式求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
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