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习题课:带电粒子在有界磁场中的运动
A级 必备知识基础练
1.如图所示,圆心角为90°的扇形区域MON内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b,以不同的速度大小先后从P点沿ON方向射入磁场,粒子a从M点射出,粒子b从N点射出,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子a带正电,粒子b带负电
B.粒子a、b的加速度大小之比为1∶5
C.粒子a、b的角速度之比为1∶5
D.粒子a在磁场中运动时间较短
2.(多选)长为l的水平极板间,有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离为l,极板不带电,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度3.(2023福建莆田第一中学期末)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一,磁聚焦原理如图所示,真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出),一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v,不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用。则磁感应强度的大小应为(　　)
A. B.
C. D.
4.如图所示为一圆形区域的匀强磁场,在O点处有一放射源,沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子,其中带电粒子1从A点飞出磁场,带电粒子2从B点飞出磁场,不考虑带电粒子的重力。则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为　　　,带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为　　　　。
5. 如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求
(1)带电粒子的比荷;
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
B级 关键能力提升练
6.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为(　　)
A.Δt B.2Δt
C.Δt D.3Δt
7.如图所示,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k,则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)
A.kBl,kBl B.kBl,kBl
C.kBl,kBl D.kBl,kBl
8.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(　　)
A. B.
C. D.
9.如图所示,直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场,磁感应强度为B,已知AB边长为L,∠C=30°,比荷均为的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场,求:
(1)粒子从AC或BC边界离开磁场时速率满足的条件;
(2)粒子在磁场中运动的最长时间;
(3)粒子在磁场中运动的最长路程。
习题课:带电粒子在有界磁场中的运动
1.B　由题设条件画出带电粒子a、b在扇形磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示,由左手定则可知a粒子带负电,b粒子带正电,选项A错误;若磁场区域扇形半径为R,由几何关系可知ra==R2+,解得rb=R,由公式qvB=m得r=,则,又qvB=ma,得a=,则,选项B正确;=1,故C错误;带电粒子在磁场中运动的周期T=,显然只与粒子比荷和磁感应强度有关,所以ta=T,由几何关系知b粒子偏转的角度为53°,所以tb=T,粒子a运动时间长,所以选项D错误。
2. AB　如图所示,由题意知,若带正电的粒子从极板左边射出磁场,其在磁场中做圆周运动的半径R<,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,即qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,粒子不从左边射出,则,即v<;带正电的粒子从极板右边射出磁场,如图所示,此时粒子的最大半径为R,由上图可知R2=l2+,可得粒子做圆周运动的最大半径R=,又因为粒子做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,粒子不从右边射出,则,即v>,故欲使粒子打在极板上,粒子的速度必须满足v<或v>,故A、B正确,C、D错误。
3.C　利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦,需要满足粒子做匀速圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相等,设粒子做匀速圆周运动的半径为R,则有R=r,粒子做匀速圆周运动所需向心力由洛伦兹力提供,则有qvB=m,解得B=,C正确。
4.解析 根据题图中几何关系,tan60°=,tan30°=,带电粒子在匀强磁场中运动,r=,联立解得带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为3∶1;带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为=2=2∶3。
答案 3∶1　2∶3
5.解析 (1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动能定理有
qU=mv2 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m ②
由几何关系知
d=r ③
联立①②③式得
。 ④
(2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s=+rtan30°⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t= ⑥
联立②④⑤⑥式得t=。
答案 (1)　(2)
6.B　
设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动,圆心为O1,半径为r1,则根据qvB=,得r1=,根据几何关系得=tan,且φ1=60°。当带电粒子以v的速度进入时,轨道半径r2=r1,圆心在O2,则=tan,即tan=3tan。故=60°,φ2=120°;带电粒子在磁场中运动的时间t=T,所以,即Δt2=2Δt1=2Δt,故选项B正确,选项A、C、D错误。
7.B　当电子从a点射出时,电子在磁场中运动的半径为ra=l,而Bqva=m,即va=kBl;当电子从d点射出时,电子在磁场中运动的半径为rd,如图,根据几何关系得=l2+,解得rd=l,所以,vd=kBl,B正确,A、C、D错误。
8.C　根据题意,电子的运动被限制在实线圆区域内的条件是轨迹圆与实线圆相切,画出临界状态电子的运动轨迹如图所示,根据图中几何关系可得+r=3a,解得r=a;电子在匀强磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,evB=m,解得B=,选项C正确。
9.解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,当粒子运动轨迹恰好与BC边相切时,粒子运动轨迹如图所示。由几何知识得,粒子轨道半径r=AB=L,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=,
粒子在磁场中的运动时间为t=T
当粒子速度v≤时,粒子都从AC边离开磁场,粒子在磁场中转过的圆心角θ=120°,当粒子速度v>时,粒子从BC边离开磁场,粒子在磁场中转过的圆心角θ<120°。
(2)粒子从AC边离开磁场时,粒子在磁场中转过的最大圆心角为θ=120°,运动的最长时间为t=T=。
(3)粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长,此时粒子轨道半径r=L,转过的圆心角θ=120°=,粒子运动轨迹的长度s=θr=。
答案 (1)v≤时,粒子都从AC边离开磁场;v>时,粒子从BC边离开磁场
(2)　(3)(共31张PPT)
第1章
习题课:带电粒子在有界磁场中的运动
重难探究·能力素养全提升
目录索引
学以致用·随堂检测全达标
重难探究·能力素养全提升
探究一　带电粒子在直线边界磁场中的运动
情境探究
如图所示,(a)图为单边界匀强磁场;(b)图为两边界相互平行的匀强磁场,粒子垂直左边界射入,从右边界射出,且与右边界夹角为α;(c)图为两边界相互平行的匀强磁场,粒子与左边界夹角为θ射入,恰好不从右边界射出。
试在图中画出粒子运动轨迹的示意图。
要点提示
知识归纳
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
(1)画轨迹。确定圆心,画出轨迹。
(2)定半径。①由半径公式r= 求解;②利用几何知识解直角三角形求解,做题时一定要作好辅助线,由圆的半径和其他几何边构成直角三角形。
⑤几个有关的角及其关系:如图所示,粒子做匀速圆周运动时,φ为粒子速度的偏向角,粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角(或圆心角),AB弦与切线的夹角θ为弦切角,它们的关系为φ=α=2θ,θ与相邻的弦切角θ'互补,即θ+θ'=180°。
2.带电粒子在有界磁场中运动的几个结论
(1)粒子进入单边磁场时,进、出磁场具有对称性,如图(a)(b)(c)所示。
(2)当速率一定时,粒子运动的弧长越长,圆心角越大,运动时间越长。
应用体验
典例1　如图所示,PN和MQ两板平行且板间存在垂直纸面向里的匀强磁场,两板间距离及PN和MQ长均为d,一带正电质子从PN板的正中间O点以速度v0垂直射入磁场,为使质子能射出两板间,试求磁感应强度 B 的大小。已知质子带电荷量为 e ,质量为m。
解析 由左手定则确定,质子向上偏转,B较弱时,质子从M点射出(如图所示),
规律方法　带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
1.题目特点:这类题目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语。
2.分析方法:从轨迹入手找准临界状态及其条件,如带电粒子刚好穿出或刚好不穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
3.两种常见的寻找临界状态的方法:
(1)放缩圆法:当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,画出半径逐渐变大的圆轨迹,找到临界圆。
(2)旋转圆法:当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置绕入射点发生了旋转,画出某方向的圆,然后绕入射点旋转得到其他圆,找到临界圆。
针对训练
真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子沿着与MN夹角为θ=30°的方向垂直射入磁场中,粒子不能从PQ边界射出磁场(不计粒子重力的影响),求:
(1)粒子射入磁场的速度大小范围;
(2)粒子在磁场中的运动时间。
解析 (1)粒子刚好没能从PQ边界射出磁场,即轨迹与PQ相切,如图所示;设
(2)粒子的速度大小不同,轨迹不同,但圆心角相同,即在磁场中的运动时间相同。
探究二　带电粒子在圆形边界磁场中的运动
情境探究
如图所示是边界为圆形的匀强磁场,粒子正对圆心射入。
(1)请画出粒子在磁场中的运动轨迹;
(2)试分析磁场圆和轨迹圆分别对应的圆心角的关系;
(3)试分析磁场圆半径R与轨迹圆半径r的关系。
要点提示 (1)如图所示,沿径向射入必沿径向射出。
(2)互补。
知识归纳
圆边界磁场及规律要点
1.圆形边界
如图所示,若粒子沿半径方向射入磁场,则
(1)一定沿半径方向射出。
(2)构建由磁场圆半径R、轨迹圆半径r和两圆圆心连线构成的直角三角形,
(3)磁场圆和轨迹圆对应的圆心角互补,即α+θ=π。
径向入,径向出
2.环状磁场区域
(1)径向出入:带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场,若能返回同一边界,则一定逆(沿)半径方向射出磁场,如图甲、乙所示。
(2)最值相切:①一群粒子沿环状磁场的半径方向从中空区域射入磁场,不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丙所示;②沿各方向从中空区域射入磁场区的所有粒子都不能穿越磁场的最大速度对应轨迹(两圆相切)如图丁所示。
两圆相切,速度最大
应用体验
典例2　(2021全国乙卷)如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不
B
解析 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动,意在考查推理能力。设圆形
学以致用·随堂检测全达标
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1.(多选)如图所示,在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场,速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计,则(　　)
A.粒子带负电荷
AD
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解析 由于粒子在洛伦兹力的作用下垂直穿过x轴,根据左手定则可知,粒子带负电荷,A正确;根据题意画图找圆心O',如图所示,结合几何关系有
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2.(多选)如图所示,一矩形匀强磁场区域abcd,ab=2L,bc=L,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,从cd中点P射入一速度大小为v、方向与dc边成45°角的带电粒子,恰好从ab边的中点N射出磁场,不考虑重力对带电粒子的影响,则下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子带负电
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3.如图所示,半径为r的圆形空间内,存在垂直于纸面向外的匀强磁场,一个质量为m,电荷量为q的带电粒子(不计重力),从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直于磁场方向射入磁场,在C点射出,已知∠AOC=120°,粒子在磁场中运动时间为t0,则加速电场的电压是(　　)
A
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4.如图所示,正方形abcd中,以a为圆心、ab为半径的 圆内有垂直正方形平面向外的匀强磁场。一带电粒子从b点沿ba方向以速度v0射入磁场,恰好从d点离开磁场;若该粒子从b点以速度v沿原方向入射,离开磁场后恰好能通过c点。不计粒子的重力,则粒子速度v的大小为(　　)
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5.(多选)(2022湖北卷)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为l的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处向磁场中射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为
k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向
的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为
(　　)
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第1章
习题课:带电粒子在有界磁场中的运动
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A 级 必备知识基础练
1.如图所示,圆心角为90°的扇形区域MON内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,P点为半径OM的中点。现有比荷相等的两个带电粒子a、b,以不同的速度大小先后从P点沿ON方向射入磁场,粒子a从M点射出,粒子b从N点射出,不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.粒子a带正电,粒子b带负电
B.粒子a、b的加速度大小之比为1∶5
C.粒子a、b的角速度之比为1∶5
D.粒子a在磁场中运动时间较短
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解析 由题设条件画出带电粒子a、b在扇形磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示,由左手定则可知a粒子带负电,b粒子带正电,选项A错误;若磁场
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2.(多选)长为l的水平极板间,有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离为l,极板不带电,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
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3.(2023福建莆田第一中学期末)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一,磁聚焦原理如图所示,真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出),一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v,不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用。则磁感应强度的大小应为(　　)
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解析 利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦,需要满足粒子做匀速圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相等,设粒子做匀速圆周运动的半径为R,则有R=r,粒子做匀速圆周运动所需向心力由洛伦兹力提供,则
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4.如图所示为一圆形区域的匀强磁场,在O点处有一放射源,沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子,其中带电粒子1从A点飞出磁场,带电粒子2从B点飞出磁场,不考虑带电粒子的重力。则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比值为　　　,带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比值为　　　　。
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5. 如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求
(1)带电粒子的比荷;
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
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解析 (1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,加速后的速度大小为v。由动
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B 级 关键能力提升练
6.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过Δt时间从C点射出磁场,OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为 ,仍从A点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为(　　)
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7.如图所示,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k,则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)
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8.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(　　)
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解析 根据题意,电子的运动被限制在实线圆区域内的条件是轨迹圆与实线圆相切,画出临界状态电子的运动轨迹如图所示,根据图中几何关系可得
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9.如图所示,直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场,磁感应强度为B,已知AB边长为L,∠C=30°,比荷均为 的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场,求:
(1)粒子从AC或BC边界离开磁场时速率满足的条件;
(2)粒子在磁场中运动的最长时间;
(3)粒子在磁场中运动的最长路程。
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