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高考解析几何中与斜率有关的综合题
解析几何中圆锥曲线部分是高中数学的重要内容，也是高考重点考查的知识点，其中以斜率问题为命题点、考查的解析几何题成为高考题中的“亮点”，倍受命题者青睐。这类题涉及知识丰富、方法灵活、综合性强，能有效地考查学生的推理运算能力、理性思维能力。
1。斜率是定值的证明题
例1：如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．
（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标
的关系式；
（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，
求证：直线的斜率为定值。
分析：对于（Ⅰ）只要直接求解即可，对于（Ⅱ）
需要通过（Ⅰ）求得用表示的点的坐标。直接
表示出直线的斜率，通过运算即可证明此
斜率为定值。
注：本题综合考查平面解析几何相关知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系等，通过这些知识，只要表示出、两点坐标，进而表示直线的斜率。在解题中重点考查运算能力、思维能力及综合分析问题、解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意知，．因为，所以．
由于，故有．　（1）
由点的坐标知， 直线的方程为．
又因点在直线上，故有，将（1）代入上式，得，
解得．
（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为：
．
所以直线的斜率为定值．
2。斜率存在的探索题
例2：在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
分析：对于（Ⅱ）先假设存在满足题意的，使得向量与共线，求出的值，然后判断的值是否满足（I）。
注：联立直线与圆锥曲线方程，将曲线的交点转化为方程的解，利用韦达定理，设而不求，整体思维，整体代换，避繁就简，是解决圆锥曲线问题的通性、通法。
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
3。分类讨论斜率的研究题
例3：我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作工“果圆”，其中，，． 如图，点，，是相应椭圆的焦点， ，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．
试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的
中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
解：（1） ，
，
于是，所求“果圆”方程为，．
（2）由题意，得 ，即．
，，得．
又． ．
（3）设“果圆”的方程为，．记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是：
，与半椭圆的交点是．
的中点满足 ， 得 ．
， ．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
4。斜率范围（最值）的综合题
例4：设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
分析：对于（I）只要通过坐标转化，借助椭圆方程化二元为一元，结合椭圆的有界性，即可求得。（Ⅱ）只要将直线与椭圆交于不同的两点及∠为锐角都转化为含的不等关系，就可以求得斜率的范围。
注：本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解题中要求学生能够数形结合、灵活转化。
利用判别式、基本不等式、函数方法产生不等关系，从而求得相关参数的范围，是常用的求范围（最值）方法，要求在平时学习中练好这一基本功。
解：（Ⅰ）易知，所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又， ∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或

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