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【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练
专题08 函数的奇偶性、对称性及周期性
一、单选题
1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项不正确的有（ ）
A．关于中心对称
B．关于中心对称
C．函数的图象关于点对称，则
D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数
4．已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
5．已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2；
②；
③的一条对称轴为；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（ ）
①；②；
③关于点对称；④
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
11．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
12．设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
13．若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
14．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
16．设是定义在上的奇函数，对任意，满足，则的值等于（ ）
A．2022 B．2021 C．4040 D．4042
17．已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
18．函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．3
19．已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是 B．是奇函数
C．是周期函数 D．是增函数
21．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．-2019 B．1 C．0 D．2019
22．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中错误的是（ ）
A．函数是周期函数；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数为上的偶函数；
D．函数为上的单调函数．
23．已知函数满足如下条件：①任意，有成立；②当时，；③任意，有成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
24．定义在上的函数满足，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．在区间上有最大值
D．的解集为
25．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称
C．函数关于点中心对称 D．
26．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列结论错误的是（ ）
A．为奇函数 B．为周期函数
C．为奇函数 D．为偶函数
27．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．关于点对称 D．关于直线对称
二、解答题
28．定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)解不等式：；
29．已知，设函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．
30．已知函数是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，求证：是周期函数.
31．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
32．已知函数．
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)若关于m的不等式在恒成立，求实数t的取值范围．
33．已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)若，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
34．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；
（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；
（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.
35．已知，且关于x的方程有3个不同的实数解，其中
（1）求的取值范围；
（2）是否存在点，使得的图像关于点对称？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
36．已知函数．
(1)当时，求的单调区间不要求证明；
(2)若为偶函数，求a的值；
(3)若的最小值，求实数a的取值范围．
37．若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数，
(1)求的值，并证明为奇函数；
(2)解不等式
(3)若，，恒成立，求实数的取值范围.
38．已知函数，．
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)求函数 的最小值．
39．已知函数对任意实数恒有，当时，，且
(1)判断的奇偶性；
(2)求函数在区间上的最大值；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
40．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
(1)依据推广结论，求函数图象的对称中心；
(2)请利用函数的对称性求的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）
参考答案：
1．D
【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，即恒成立，
所以在上单调递增，
因为是偶函数，
所以的图象关于对称，
因为，，，
因为，
所以，即，
所以．
故选：D．
2．D
【分析】构造函数，则在上递增，判断也是是定义在上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可.
【详解】因为对任意的，，均有成立，
不妨设，则，
所以，
构造函数，则在上递增，
因为是定义在上的奇函数，所以也是是定义在上的奇函数，
所以在上递增，
不等式化为，
因为，
则，
或；
时，，不合题意；
综上不等式的解集为，
故选：D.

3．A
【分析】根据函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，即可判断A错误，B正确；对选项C，根据充要条件的定义即可判断C正确；对选项D，根据函数的对称性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D正确.
【详解】对选项A，，，，
，故A错误.
对选项B，由，若，
则，故B正确.
对选项C，因为函数为奇函数，所以，
即，令，则有，
即，故C正确.
对选项D，若为偶函数，则，
令，则有，函数的图象关于对称，故必要性成立，
函数的图象关于对称，则有，
令，则有，
即为偶函数，故充分性成立，故D正确.
故选：A.
4．B
【详解】[方法一]：直接法.
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
[方法三]：构造法.
设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点.
将，代入，即得
∴，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数和的图象都关于对称,
所以两函数的交点也关于对称,
对于每一组对称点和，都有.
从而.故选B.
考点：函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.
5．B
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值.
【详解】由可得，①
对任意的，，所以，，②
由①②可得，所以函数是周期为的周期函数．
因为为偶函数，则，
因为，由可得，且，
由可得，
因为，所以，，故函数为偶函数，
因为，则，所以，，
由可得，
因为，所以，
.
故选：B.
6．A
【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解；
【详解】解析：因为为奇函数，
所以，即，
所以 ， 所以，
所以等价于
又因为，都有
所以函数在上单调递减，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
7．B
【分析】由可得函数关于对称，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
8．C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，，由此推理计算即可判断各命题作答.
【详解】对于①：是偶函数，设，得，
因，所以，故，
故，即，故，
所以，所以的一个周期为4，故①错误.
对于②：由于，令，得.
.故②正确.
对于③：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也是函数的一条对称轴，故③正确.
对于④：因，得，即.
因，所以，
，故④正确
故选：C.
9．C
【分析】根据奇偶性可求得函数是以4为周期的函数，再利用赋值法求函数值，即可判断.
【详解】函数为奇函数，则，可得
函数为偶函数，则，可得，
所以，
则，可得，
所以，可知函数是以4为周期的函数，
由，令，则，解得，
则，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立.
故选：C.
10．D
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.
【详解】对于①，由于都有，
所以令，则，即，
因为，所以，所以①正确，
对于②，令，则，所以，即，
所以，所以②错误，
对于③，令，则，所以，
即，所以关于点对称，所以③正确，
对于④，因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以的周期为4，
在中，令，则
，因为，所以，
，
所以，
所以，所以④正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
11．D
【详解】[方法一]：
与都是奇函数，，
，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数.故选D.
[方法二]：
与都是奇函数，，
，由，得，
由，得，所以，
进而可得，可见是周期的周期函数.说明A与B不一定成立，C肯定不成立，而D成立的理由如下：，
，所以.
12．A
【详解】由题设知:于是有
，
，
，
.
13．C
【详解】x1=x2=0，则，，
令x1=x，x2=-x，
则，
所以，
即，为奇函数，故选C.
14．A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】，
对于选项A，，因为，
所以是偶函数，A正确；
对于选项B，，因为，，
所以不是偶函数，B错误；
对于选项C，，因为，，
所以不是偶函数，C错误；
对于选项B，，因为，，
所以不是偶函数，D错误；
故选：A
15．B
【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.
【详解】的定义域关于原点对称，
因为，，，
故令时，，
令时，，
令，时，，
，即，
∴是偶函数，
又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数.
故选：B.
16．A
【分析】利用题设条件推得，从而得到，再利用奇函数的性质得到，从而利用并项法即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故，
又是定义在上的奇函数，所以，
因此.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是观察分析之间的关系，从而得到，由此得解.
17．A
【分析】根据函数的单调和奇偶性，将不等式转化为当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围，同样当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围即可.
【详解】解：①当时，可以转换为，
因为奇函数在上单调递增，
，则，
∴在成立，则，
由于，∴在递减，则，
又在上有解，则，∴；
②当时，由单调性和奇偶性可转换为：，
∴，在成立，则，
当时，在，递增，则，
又在有解，则，∴，
当时，在，递减，则，
又在有解，则，∴，综合得.
综上，或.
故选：A.
18．B
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为，所以，则，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则由得，
又因为在上是增函数，所以，
两边平方化简得在恒成立，
令，则，
又因为开口向上，对称轴为，
所以在单调递增，
则，解得，
又因为，所以，
所以的最大值为.
故选：B.
19．D
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，由题意知在上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得.所以或.
故选：D.
20．C
【分析】根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数，故错误；
选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
【点睛】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
21．C
【分析】推导出函数 为周期为4的周期函数，
， 由此能求出
【详解】 是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有
则函数 是周期为4的周期函数，
，
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期性．通过函数的奇偶性和周期性推导出函数的周期是关键．
22．D
【分析】根据函数周期性、对称性、奇偶性、单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，，所以是周期为的周期函数，故A正确.
对于B，函数为奇函数，关于对称，向左平移个单位得到，横坐标再扩大为原来的倍，所以关于对称，故B正确.
对于C，关于对称，则，
，所以为偶函数，故C正确.
对于D，由于是偶函数，函数图象关于轴对称，轴两侧函数对应区间的单调性相反，故D错误.
故选：D
23．A
【分析】通过条件①，分析函数是奇函数；
通过条件②，将写成分段函数，并通过奇函数画出整个函数图像；
通过条件③，分析出若成立，则图像在图像的上方，从而求出实数的取值范围.
【详解】，是奇函数
当时，，显然符合题意
当时，在上的解析式为：
作出的函数图象如图所示
任意，有成立
，解得
故选：A
【点睛】本题主要考查的知识点是函数的图象及其应用．
化简在上的解析式，然后根据的奇偶性作出函数的图象，根据条件得出不等式解出即可得到答案，考查了学生数形结合的思想，也是解题的关键．
24．C
【分析】根据题意，可令即可判断A；根据奇函数定义可判断函数满足，即B正确；再利用单调性的定义以及当时，可判断函数单调性，得出C错误；根据函数单调性的应用，即可解出不等式的解集.
【详解】解：对于选项，在中，令，可得，
解得，A选项正确；
对于B选项，由于函数的定义域为，在中，
令，可得，所以，则函数为奇函数，选项正确；
对于选项，任取，且，则，，
所以，所以，
则函数在上为减函数，所以在区间上有最大值，C选项错误；
对于选项，由可得，
又函数在上为减函数，则，
整理得，解得，
故D选项正确.
故选：C.
25．C
【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由由及推导出，故周期为4，A错误；
根据函数的周期性求出，D错误.
【详解】∵为偶函数，
∴，
∴，
故
即，
∴函数的图象关于直线对称.
∵为奇函数，
∴，
∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由及知，，
∴，
∴，即，
∴，故
∴函数的周期为4，A错误，
，故D错误.
故选：C.
26．D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行公式变换，找到新的函数关系即可求解.
【详解】①与都为奇函数，
①，②，
由①可得，即③，
由②③得，
,
由 及 ,
得 , 以 代换 ,
得 ,
即 ，因而选项A正确.
②在前面已经证明
所以的周期为2，因而选项B正确；
③==
所以，
所以为奇函数，因而选项C正确.
④
则为奇函数，因而选项D错误.
故选：D.
27．A
【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D.
【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，
是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，
因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，
又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，
故为奇函数，A正确；
因为为奇函数，故，
由与的图象关于轴对称，可得，
故 ，故为奇函数，B错误；
由A的分析可知的图象关于对称，故C错误；
由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，
则的图象也关于成中心对称，
而与的图象关于轴对称，
则的图象关于成中心对称，故D错误，
故选：A
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解，
（3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】（1）令，则，解得：；
令，则，
为定义在上的奇函数.
（2）设，则，；
，，，；
又，
，又当，，，
，即，在上是减函数.
（3）由得：；
定义域为且在上是减函数，
，解得：，不等式的解集为.
29．(1)当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数
(2)．
【分析】（1）由可求，结合偶函数定义可得函数为偶函数，而不成立，故可判断的奇偶性；
（2）利用赋值法可得，再证明当时题设中的不等式恒成立，从而可求求a的取值范围.
【详解】（1）易知，
若，则，解得，
此时，而，故此时为偶函数；
当时，，
而，故，
故此时为非奇非偶函数.
综上，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数．
（2）时，显然成立，所以符合．
时，若，则恒成立，
故只需考虑对任意恒成立．（*），
取，有，解得，即得．
而当时，，
故（*）式可化为对任意恒成立，
令，
①当时，恒成立；
因为对称轴，故．
②当时，，
因为对称轴，且．
故此时对任意恒成立，
因此．
综上：．
30．证明见解析.
【分析】利用函数的奇偶性，以及抽象函数周期性的公式，即可证明是周期函数，且周期为4
【详解】证明：由，得，
又是R上的奇函数，∴，
∴，即，
用替换x，得，
又是R上的偶函数，
∴，，
∴
即，所以是周期函数，且周期为4.
31．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）把看成一个整体证明即可；
（2）当时，可得出，再由可求得函数在上的解析式；
（3）计算出、、、的值，再利用函数的周期性可求得的值.
【详解】（1）证明：因为是定义在上的奇函数，且对任意实数，，
则，所以函数是周期为的周期函数.
（2）解：当时，，
此时，.
（3）解：因为当时，；当时，，
所以，，，，，
因为，
所以，
.
32．(1)增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用作差法判断函数在上单调性，再证明函数是奇函数，从而可得出结论；
（2）由（1）可得不等式等价于在恒成立，分和两种情况将分离出来，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解：函数在上是增函数，
理由：函数的定义域为，
当时，
令，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以函数在上递增，
因为，
所以函数是奇函数，
由函数在上连续，
所以函数在上是增函数；
（2）解：由（1）可得，
不等式，
等价于，
因为函数在上是增函数，
所以在恒成立，
即在恒成立，
当时，不等式等价于，
因为，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
所以，所以，
当时，不等式等价于，
令，
任取，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以函数在上递增，
所以，
所以，即，
综上实数t的取值范围.
【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性和奇偶性解决函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想.
33．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）令代入方程得，令代入方程得即可证；
（2）由定义法先证函数在单调递增，恒成立等价于，由单调性及奇偶性得，故恒成立等价于，恒成立，等价于恒成立.
【详解】（1）证明：令得，
得，故是奇函数；
（2）设任意且，，
，且当时，，故，
故函数在单调递增，由函数为奇函数，故函数在单调递增.
对任意的，恒成立，即，
由函数单调性得，故对任意恒成立.
设，，要使恒成立，则，
故或，所以实数的取值范围为.
34．（1）；（2），函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；（3）.
【分析】（1）根据题意可知，由待定系数法可求得；
（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在上的解析式，讨论m与的关系判断的单调性得出的最值；
（3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出p的值.
【详解】（1）假设具有“性质”，则恒成立，
等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，
所以，解得，
则所有的值的集合为；
（2）因为函数具有“性质”，
所以恒成立，是偶函数.
设，则，.
①当时，函数在上递增，值域为.
②当时，函数在上递减，在上递增，
，，值域为.
③当时，，，值域为.
④时，函数在上递减，值域为.
（3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，
又既具有“性质”，即，
函数是以2为周期的函数.
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.
当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，
则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以，
同理，当时，，
综上，.
【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.
35．（1）且；（2）存在,；（3）
【分析】（1）变形，问题转化为有两个不同的非零实数解，利用判别式列不等式求解即可；
（2）将问题转化为函数为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解；
（3）分类讨论，当时，可求出的最大值为零，则，解不等式求解；当时，发现，不可能对任意的，都有，综合可得结果.
【详解】解：由已知，
（1）关于x的方程有3个不同的实数解，其中，
则有两个不同的非零实数解，
，
解得且；
（2）假设存在点，使得的图像关于点对称，
则函数为奇函数，
则，
恒成立，
，解得，
故存在点，使得的图像关于点对称，此时；
（3）由已知
①当时，此时有，对任意的，有，此时，
，即，得，；
②当时，此时有，
又，，
，所以不可能对任意的，都有.
综上所述：.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查二次方程的根的问题，关键时将恒成立问题转化为最值问题，考查学生分类讨论的思想以及转化的思想，是一道难度较大的题目.
36．(1)在上单调递减，在上调递增
(2)
(3)或
【分析】（1）当时，，即可得的单调区间；
（2）由条件可得恒成立，即可求得的值；
（3），分类讨论得的最小值，根据求得实数的取值范围即可．
【详解】（1）当时，，
∴在上单调递减，在上调递增．
（2）因为定义域为，，
所以恒成立，解得．
（3）．
①当时，时，，解得．
②当即时，，解得．
③当，即时，，解得或，
∴．
综上可得，或．
37．(1)，证明过程见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）利用赋值法令可求出，令，即可证明为奇函数；
（2）利用结合单调性的定义列出不等式，即可求解；
（3）利用赋值法结合求出，再由的单调性结合一元二次不等式恒成立，即可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）解：由
令，则
解得：
令，，则
即，
所以为奇函数
（2）解：由得
所以
即
所以
等价于
即
由，且，令，
得：
所以等价于
又为R上的增函数
所以，即
解得：
故不等式得解集为：
（3）解：由（2）知，
，，
等价于
又为R上的增函数
所以
即，恒成立
所以
即，恒成立
①当，即或
时，不等式变为：，符合题意
时，不等式变为：，即，不符合题意
②当时
解得：
综上，实数m的取值范围为：
【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题
①当（）对恒成立，等价于
②当（）对恒成立，等价于
38．(1)见解析
(2)单调递增区间是，单调递减区间是
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断得结论；
（2）利用分段函数的单调性与单调区间，结合二次函数的图象得结论；
（3）利用分段函数的最值，结合对a的讨论和二次函数的图象计算得结论．
【详解】（1）显然函数的定义域为R，
当 时，，此时函数为偶函数；
当 时，因为 ，，
所以 ，，
此时函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当时，，
所以函数在 上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递增区间是，单调递减区间是 ．
（3）因为，
所以
①当时，时，函数的最小值为 ，
时，函数在上单调递减，，
而 ，
所以函数的最小值为 ．
②当时， 时，函数的最小值为，
时，函数的最小值为 ，
而 ，
所以函数的最小值为 ．
③当时，函数的最小值为 ．
综上所述，．
39．(1)奇函数，理由见解析；
(2)最大值为；
(3)或.
【分析】（1）令求得，令结合奇偶性定义即可判断；
（2）令，根据已知条件及单调性定义即可判断单调性，利用单调性求最值；
（3）由（2），问题化为恒成立，根据一次函数性质，讨论参数m求范围.
【详解】（1）令，则，可得，
令，则，可得，
又定义域为R，故为奇函数.
（2）令，则，且，
因为时，，所以，
故，即在定义域上单调递减，
所以在区间上的最大值为.
（3）由（2），在上，
恒成立，即恒成立，
所以恒成立，显然时不成立，
则，可得；，可得；
综上，或.
40．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）设对称中心为，令，根据为奇函数建立关系即可求出；
（2）根据（1）中结论可得即可求出；
（3）根据函数对称性质推论即可.
【详解】（1）设的对称中心为，
设，则为奇函数，
由题可知，且，
所以，即，
则，整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
（2）由（1）知函数的对称中心为，
所以，
则，且，
则
；
（3）推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数
或函数的图象关于成轴对称的充要条件是满足.
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