资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练
专题04 基本不等式
一、单选题
1．若均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
4．设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
① ②的最小值为16 ③的最小值为9 ④的最小值为3
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③
6．当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
7．若，则下列代数式中值最大的是
A． B． C． D．
8．设，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
9．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．设，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，且；则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最小值是1 B．的最小值是2
C．的最小值是8 D．的最大值是
13．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
15．若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
17．已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知，若，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值2
C．有最大值1 D．有最小值
20．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
21．设二次函数（）的值域为，则的最大值为
A． B． C． D．
22．若正实数，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值4 D．有最小值
23．已知，，若，则对此不等式描述正
确的是
A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形
B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形
24．设，，则三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
25．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
26．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
28．已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
二、多选题
29．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
30．已知，，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为16
三、填空题
31．已知实数、、满足，，则的最大值为 .
32．已知，且，则的最小值为 ．
四、解答题
33．汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短
34．（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
35．（1）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
（2）已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：．
36．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）.
37．已知a，b，c均为大于零的实数．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
38．若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
39．设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
40．若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
41．已知，，，．
证明：．
证明：．
42．已知a，b，c均为正实数，且满足.
证明：（1）；
（2）.
43．已知正实数a，b，c满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
44．已知.
(1)证明：；
(2)若，求的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】将变形为 ，结合可求得答案.
【详解】因为均为正数，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
2．B
【分析】由可得原式化为，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】由可得时等号成立，
所以，
所以时，的最小值是，
故选：B
3．A
【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，
故选：A.
4．D
【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以，
所以，（当且仅当，即时取等号）.
故答案为：D
5．D
【分析】①由判断；②利用基本不等式求解判断；为，③结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断；④转化为，利用基本不等式求解判断.
【详解】①因为，且，所以，则，故正确；
②因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
③因为，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
④因为，且，所以
当且仅当，即 时，等号成立，故错误；
故选：D
6．B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，
当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
7．A
【详解】因为
，综上可得最大，故选A.
8．B
【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案.
【详解】解：，
，
当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当取等号，即，取最小值，
可得的最小值：4，
故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题.
9．B
【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
10．D
【分析】对变形后，利用基本不等式求解.
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
11．A
【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.
【详解】
连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.
在中，由射影定理可得，即，
由得，
故选：A
12．B
【分析】利用基本不等式得、分别求、的最值，注意取等条件；由题设有且代入、，结合基本不等式求最值，注意取等条件.
【详解】由，当且仅当时等号成立，
即，又，，故，仅当时等号成立，
所以，故xy的最大值是1，A错误；
由，当且仅当时等号成立，
所以，即，又，，
则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确；
由，，，可得，且，
所以，
当且仅当，即、时等号成立，故，C错误；
同上，，
当且仅当，即、时等号成立，故，D错误；
故选：B
13．D
【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后再解关于的不等式即可
【详解】解：因为两个正实数，满足，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以由恒成立，得，
解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查利用基本不等式求函数的最值及一元二次不等式的解法，解题的关键是由，得，从而将转化为，化简后利用基本不等式求出其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
14．D
【分析】将不等式恒成立转化为,利用基本不等式求得的最小值，即可得答案.
【详解】∵，，不等式恒成立，
即恒成立，∴只需,
∵，当且仅当时取等号.
所以，
∴，∴m的最小值为，
故选：D
15．D
【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．
【详解】解：，，，
，
∴
当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立，
因为不等式恒成立，
所以，即
所以，实数的最大值为.
故选：D．
16．B
【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得．
【详解】解：∵不等式有解，
∴，
∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时取“＝”，
∴，故，即，
解得或，
∴实数 m 的取值范围是．
故选：B．
17．B
【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.
【详解】因为，所以，
所以由可得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
故选：B．
18．A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
19．D
【分析】运用均值不等式容易得到答案.
【详解】根据均值不等式：，则，当且仅当时取等号；
A错；
，B错；
C错；
上述不等式都在时取等号，D对；
故选：D.
20．C
【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：C
21．C
【详解】解：因为二次函数f（x）=ax2-4x+c的值域为[0，+∞），
所以，ac=4，c= ，
所以= += =1+
由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）
所以1+≤1+ =．
故答案为C
22．C
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A不正确；
对于B，，当且仅当时取等号，故，即有最大值，故B不正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D不正确.
故选：C.
23．B
【详解】本题可用排除法，由，
对于，若，可得，故不存在这样的错误，排除；对于时，成立，而以为边的三角形不存在，错误，排除；对于时，成立，存在以为边的三角形为直角三角形，故错误，排除故选B.
【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.
24．D
【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．
【详解】假设三个数且且，相加得：
，由基本不等式得：
；；；
相加得：，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4．
故选．
【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．
25．A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
26．D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
27．A
【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
28．A
【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，
故选：A.
29．AB
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确；
对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确；
对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误；
对于选项D，，则，
，
当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误．
故选：AB.
30．BCD
【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【详解】因为，，
所以，仅当时，即等号成立，
令，则，故，
所以，即，仅当时右侧等号成立，
所以的最大值为，A错误；
由，则，
所以，
仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16，D正确.
故选：BCD
31．
【详解】试题分析：因为，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故实数的最大值为.
考点：一元二次方程的根的判别式，容易题.
32．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
33．(1)
(2)km/h
【分析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，代入数值，得到，令，则，最后写出分段函数解析式即可；
（2）设通过隧道的时间为，则，分当和两种情况，结合幂函数的性质及基本不等式计算可得．
【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，
所以，所以，
所以，令，则，
所以.
（2）设通过隧道的时间为，则．
①当时，．
②当时，
．
当且仅当，即时等号成立．
又，
所以当时用时最短．
答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短．
34．（1）（2）
【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，且，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为；
（2）∵，则，
∴，
当且仅当即时等号成立.
∴的最大值.
35．（1）[16，＋∞)；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题得，再解一元二次不等式得解.
（2）根据化简，利用均值不等式即可证明.
【详解】（1），
即，即，解得，
所以，当且仅当取等号
所以的取值范围为
（2）都为正实数，且
，
当且仅当时，等号成立，
所以.
36．（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由，，得：
，
由题设得，
即，
所以，即.
（Ⅱ）因为，，，
所以，
即，
所以.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
37．(1)证明见解析
(2)9
【分析】对于（1），相当于证明，恒等变形后利用基本不等式可证；
对于（2），注意到，后利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）证明：要证，
即证，注意到
设，
则
=
，
当且仅当，即时取等号.
故
（2）由，所以
，当且仅当，即，时取等号.故的最小值为.
38．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【详解】（1）由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
（2）由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立.
39．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
所以.
40．（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近.
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
41．证明见解析；证明见解析.
【解析】先利用完全平方式子证出，再利用均值不等式证出，进而可求证；
化简式子得，再利用完全平方公式和基本不等式的运用得，进而可求证结论.
【详解】解：证明：由，
得．
另一方面，，，，
所以，即．
所以．
证明：
，
因为，
即，则，
所以．
【点睛】本题考查不等式的证明，结合基本不等式和完全平方公式的运用，属于中档题.
42．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；
（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．
【详解】（1）由，，均为正实数，且满足，
，
可得，当且仅当时取得等号．
则，
当且仅当，时取得等号．
（2）由，，均为正实数，且满足，
，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．
【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
43．(1)3
(2)证明见解析
【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值.
(2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证.
【详解】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式，
，当且仅当时等号成立.
的最小值为3.
（2），由柯西不等式，
∴
要证
只需证
即证
由，，
令，
∴，得证.
∴，当且仅当时等号成立.,
44．(1)证明见解析；
(2)9.
【分析】（1）由，，相加得，从而得到，得到结论；
（2）在第一问的基础上，得到，得到.
【详解】（1）∵，
∴，，，
∴，
即，当且仅当时取等号，
∴，
∴；
（2）要最大，当且仅当a，b都是非负数，
由（1）得当时，，当且仅当时取等号，
所以，
由，得，，
所以当，时，的最大值为9.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑