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离心率问题
e c c
2 b2
1. 1 1, (a2 b2 2椭圆离心率 c )
a a2 a2
c c2 b2
2. 双曲线离心率 e 2 1 2 1, (a
2 b2 c2 )
a a a
3. 常用二级结论：设圆锥曲线 C的焦点 F在 x 轴上，过点 F且斜率为 k的直线 l交曲线 C于 A、B两点，若

AF FB( 0) 2 1 1 ，则 e 1 k | |，设直线倾斜角为 ，则有 | ecos | | | .特别地，对于抛物线
1 1
有 | cos | 1 | |
1
经典举例
x2 y2
例 1：已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 A是椭圆上一点，线段 AF1的垂直平a b

分线与椭圆的一个交点为 B，若AB 3F2B，则椭圆 C的离心率为（ ）
1 3 2 6
A． B． C． D．
3 3 3 3

解：如上左图，AB 3F2B得 A、F2、B共线，AF2 F2B 3F2B得AF2 2F2B，设 BF2=m，则 AF2=2m,，
b
AB=3m,故BF1=3m,BF1+BF2=4m，得AF1=2m，AF1=AF2,故A为上顶点或下顶点.如上右图，作BD⊥x轴得BD= ，
2
c 3c , b c 3DF2= 即 B( )，代入椭圆方程得 ，选 B
2 2 2 a 3
点评：画出草图，利用向量关系、垂直平分线、椭圆的性质得到点 A处于特殊位置，利用相似得到点 B坐标，
进而得到离心率.
x2 y2
例 2：已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一a b
点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当 IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）
1 1 3 6
A． B． C． D．
3 2 2 3
x0 , y0 (PF1 PF解：设 P(x ,y )，重心 G( )，同时 2 F1F2 )r 1 2c y cy x cy0 0 0得 r 0 得 I( 0 , 0 )，在 PDI3 3 2 2 a c 3 a c
cy 1 2 2
中，PD2+DI2=PI2，即有 (a c)2 ( 0 )2 (x0 x )
2 cy x y
0 (y0 0 )
2
得 09
0
2 1又a c 3 a c (a c)2 b
4
x 2 20 y 02 2 1
2 9
得 a (a c)2 c 1得 ，故选 A
a b 4 a 3
点评：明显此题对同学们的基本功底有一定的要求，例如重心坐标公式、三角形内切圆半径的求解.
x2 y2 x2 y2
例 3：已知椭圆 C1： 2 2 1(a1 b1 0)与双曲线 C2： 2 2 1(a2 0，b2 0)有相同的焦点 F1，F2，a1 b1 a2 b2

点 P是两曲线在第一象限的交点，且F1F2在F1P上的投影等于|F1P |，e1，e2分别是椭圆 C1和双曲线 C2的离
心率，则 9e12+e22的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16

解：F1F2在F1P上的投影等于|F1P |，可知 PF1⊥PF2于是PF
2
1 PF
2 F 2 22 1F2 即有PF1 PF
2
2 4c
2
，同时
PF1 PF2 2a1,PF1 PF2 2a2两边同时平方得
PF 2 PF 2 2PF PF 4a 2 , PF 2 PF 2 2PF 1 11 2 1 2 1 1 2 1 PF2 4a
2
2 ,两式相加得 2 2 2，于是e1 e2
2 2 2 2 2 2
9e2 e2 11 2 (9e
2
1 e
2 )( 1 1 ) 1 (10 e2 9e1 12 2 2 2 2 ) (10 2
e2 9e 1 ) 8 e 9e2 2 ，当且仅当
2
2
1 即
2 e1 e2 2 e1 e2 2 e1 e2 e1 e
2
2
e2 3e1时成立，故选 C
例 4：已知 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以原点为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线左支
的一个交点为 P，若 PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． ( 5, ) B． (1, 5) C． ( 15, ) D． (1, 15)
x2 y2 2 2 2
1 x2 y2 c2 a b c b解：如图，设双曲线方程为 2 2 ，圆的方程为 ，联立得 P( , ),PF1与双曲线a b c c
b2
b b b
右支有交点，则 kPF ,即有 c ，整理可得 2，故 e 5 ，选 A.1 a a b2 c2 a a
c
c
精选好题
x2 y2
1．已知双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P是双曲线上一点，△PF1F2是以 F1Pa b
PF F 2 为底边的等腰三角形，且 2 1 则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）3 3
3 1 3 1 3 1
A．（1，2） B． (1, ) C． ( ，2) D． ( ， )
2 2 2
x2 y2
2．已知双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，过点 F且斜率为 k（k≠0）的直线 l交双曲线于 A、a b
B两点，线段 AB的中垂线交 x轴于点 D．若AB 3DF，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． (1, 2 3 ] B． (1，3] [ 3, 2 3C． ) D．[ , )
3 3
x2 y2
3．设 O为坐标原点，F1，F2为双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的两个焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线，a b
F1A垂直 l1于 A，F1A的延长线交 l2于 B，若|OA|+|OB|＝2|AB|，则双曲线的离心率为（ ）
6 5
A． 6 B． 5 C． D．
2 2
4．已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 F1P＞F2P，线段 F1P的垂直平分线过
2 e
F2.若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e ，则 22 的最小值为（ ）
e1 2
A． 6 B．3 C．6 D． 3
x2 y2
5．已知双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，若以 OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线a b
C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线 C的虚轴长，则双曲线 C的离心率为（ ）
5 5
A． B． 2 C． D．2
2 4
x2 y2
6．已知 F1、F2分别是双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F1向一条渐近线作垂线，a b
交双曲线右支于点 P，直线 F2P与 y轴交于点 Q（P，Q在轴同侧），连接 QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰
好落在以 F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D．2
x2 y2
7．已知双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1（﹣c，0），F2（c，0），过点 F1的直a b
8
线 l（斜率存在）交双曲线 C 的渐近线于 A，B 两点，若 |F2A|＝ |F2B|， S AF F S c
2
＝
1 2 BF1F2 5
（S AF 、S 表示△AF1F2，△BF1F2的面积），则双曲线 C的离心率为（ ）1F2 BF1F2
6
A． 3 B． C． 5 15D．
2 3
x2 y2
8．已知双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0），若双曲线不存在以点（2a，a）为中点的弦，则双曲线离心率a b
e的取值范围是（ ）
2 3 5 2 3
A．(1， ] B．[ , ] 2 3C．[ , ) D．[ 5， ]
3 2 3 3 2
x2 y2
9．设椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的右焦点为 F，椭圆 C上的两点 A、B关于原点对称，且满足FA FB 0，a b
|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆 C的离心率的取值范围是（ ）
2 5 5
A．[ , ] B．[ ,1) [ 2C. , 3 1] D.[ 3 1,1)
2 3 3 2
x2 y2
10．已知直线 y＝kx（k≠0）与双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）交于 A，B两点，以 AB为直径的圆恰好经a b
过双曲线的右焦点 F，若△ABF的面积为 4a2，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
11．如图，α，β，γ是由直线 l引出的三个不重合的半平面，其中二面角α﹣l﹣β大小为 60°，γ在二面角α﹣l
﹣β内绕直线 l旋转，圆 C在γ内，且圆 C在α，β内的射影分别为椭圆 C1，C2．记椭圆 C1，C2的离心率分
别为 e1，e2，则 e12+e22的取值范围是（ ）
1 3 1 5 1 3 1 5
A．[ , ) B．[ , ) C．[ , ) D．[ , )
3 4 3 4 2 4 2 4
x2 y2
12．已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，a b
I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当 IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）
1 1 3 6
A． B． C． D．
3 2 2 3
13．椭圆的焦点F1( 2 2,0)，F2 (2 2,0)长轴长为 2a，在椭圆上存在点 P，使∠F1PF2＝90°，对于直线 y＝
a，在圆 x2+（y﹣1）2＝2 上始终存在两点 M，N使得直线上有点 Q，满足∠MQN＝90°，则椭圆的离心率
的取值范围是（ ）
2 2
A．[ ,1) [ 2 ,1) [ 2 , 2 2 ] 2 2B． C． D． (0, ]
3 2 2 3 3
x2 y2
14.过双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）右焦点 F的直线 l与 C交于 P，Q两点，，若QP 2PF，QP FQ 0，a b
则 C的离心率为（ ）
A． 2 B．2 C． 7 D． 10
x2 y2 1
15．已知双曲线 E： 2 2 1（a＞0，b＞0），斜率为 的直线与 E的左右两支分别交于 A，B两点，点 Pa b 8
1
的坐标为（﹣1，2），直线 AP交 E于另一点 C，直线 BP交 E于另一点 D．若直线 CD的斜率为 ，则 E
8
的离心率为（ ）
6 3 5 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
x2 y2
16．设椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的左，右顶点为 A，B．P是椭圆上不同于 A，B的一点，设直线 AP，a b
a
BP的斜率分别为 m，n，则当 +ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆 C的离心率为（ ）
b
1 2 4 3
A． B． C． D．
5 2 5 2
x2 y2
17．设椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的左，右顶点为 A，B．P是椭圆上不同于 A，B的一点，设直线 AP，a b
a 2 2
BP的斜率分别为 m，n，则当 （3﹣ ）+ +3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆 C的离心率为（ ）
b 3mn mn
1 2 4 3
A． B． C． D．
5 2 5 2
x2 y2
18．设 F1，F2为双曲线 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点 P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△a b
PF1F2的重心和内心的连线与 x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
6 5
A． B． C． 6 D． 5
2 2
x2 y2
19．过双曲线 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）左焦点 F的直线 l与 C交于 M，N两点，且FN 3FM，若 OMa b
⊥FN，则 C的离心率为（ ）
A．2 B． 7 C．3 D． 10
x2 y2
20．已知椭圆 C： 2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 A是椭圆上一点，线段 AF1的垂直平a b2

分线与椭圆的一个交点为 B，若AB 3F2B则椭圆 C的离心率为（ ）
1 3 2 6
A． B． C． D．
3 3 3 3
x2 y2
21．已知 O为坐标原点，A，B分别是椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的左，右顶点，抛物线 E：y
2＝2px（p
a b

OP'
＞0）与椭圆 C在第一象限交于点 P，点 P在 x轴上的投影为 P’，且有OP ＝c（其中 c2＝a2﹣b2），
| OP'|
AP的连线与 y轴交于点 M，BM与 PP'的交点 N恰为 PP'的中点，则椭圆 C的离心率为（ ）
3 2 2 1
A． B． C． D．
2 2 3 3
x2 y2
22．已知点 P（x0，y0）（x0≠±a）在椭圆 C： 2 2 1(a b 0)上，若点 M为椭圆 C的右顶点，且 POa b
⊥PM（O为坐标原点），则椭圆 C的离心率 e的取值范围是（ ）
3 3 2 2
A．（0， ） B．（ ，1） C．（ ，1） D．（0， ）
3 3 2 2
23．已知椭圆与双曲线有公共焦点，F1，F2，F1为左焦点，F2为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，
1 1
且∠F1PF2＝ ，设 e1，e2分别为椭圆双曲线离心率，则 的最大值为（ ）
4 e1 e2
A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
x2 y2
24．已知 F1，F2是椭圆 E： 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，若 E上存在不同两点 A，B，使得 Fa b 1
A 3 F2B
则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．（ 3﹣1，1） B．（0， 3﹣1） C．（2﹣ 3，1） D．（0，2﹣ 3）
x2
25．点 A 2是椭圆 2 y 1（a＞1）的上顶点，B、C是该椭圆的另外两点，且△ABC是以点 A为直角顶点的a
等腰直角三角形，若满足条件的△ABC只有一个，则椭圆的离心率 e的范围是（ ）
3 3 6 6
A． ≤e＜1 B．0＜e≤ C．0＜e≤ D． ≤e＜1
3 3 3 3
x2 y2
26．已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的焦点，P是椭圆 C上一点，若 I是△PF1F2的内心，且满a b

足 2 IF1 3IF2 4 IP 0则 C的离心率 e的值是（ ）
2 2 1 4
A． B． C． D．
9 7 2 5
参考答案
1. D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.C 12.A 13.A
14.C 15.C 16.D 17.A 18.A 19.B 20.B 21.D 22.C 23.B 24.C
25.C 26.D

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