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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题11 复数
【考点考向】
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
【解题策略】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【考点解析】
一．虚数单位i、复数
1．“”是“复数为纯虚数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．复数的虚部与实部的和为　　
A． B． C．1 D．7
3．已知复数的实部与虚部的和为12，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
4．的虚部为　　
A．1 B． C． D．
5．若复数，则实数　　
A．2 B．3 C．0 D．1
6．已知复数，，，，并且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
二．纯虚数
7．已知为虚数单位，复数为纯虚数，则　　
A．0 B． C．2 D．5
8．已知为虚数单位，则下列说法中正确的个数是　　
①两个复数不能比较大小；
②若和都是虚数，且它们的虚部相等，则；
③若，是两个相等的实数，则必为纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若复数为虚数单位，，且为纯虚数，则　　
A． B． C． D．
10．若复数是纯虚数，则实数的值是　　
A． B． C．0 D．1
11．已知为虚数单位）是纯虚数，则　　
A． B．0 C．1 D．2
12．已知复数为纯虚数，则实数　　
A．3 B． C． D．
三．共轭复数
13．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内所对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知复数，，则　　
A． B． C．1 D．2
15．已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则的虚部为　　
A． B． C． D．
16．已知，则的虚部为　　
A． B．5 C． D．
17．写出一个同时满足①②的复数　　①；②．
18．已知复数满足，则　　．
19．已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数　　．
20．已知复数满足，则　　．
四．复数的模
21．在复平面内，向量，分别与复数，对应，其中为坐标原点，为虚数单位，则　　
A． B．4 C． D．
22．已知，则　　
A． B．0 C． D．1
23．已知是虚数单位，，，，则　　
A． B． C．2 D．
24．已知复数是虚数单位），则　　
A． B． C． D．1
25．已知复数为虚数单位），则　　
A． B．2 C． D．5
五．复数的代数表示法及其几何意义
26．在复平面上，复数的共轭复数对应的向量是　　
A． B．
C． D．
27．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是　　
A． B． C． D．
28．已知，则复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
29．设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　
A． B．
C． D．
30．在复平面内，复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
31．已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
32．设，满足，其中为虚数单位．则在复平面内，表示的点的轨迹不经过的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
33．在复平面内表示的点为，满足，则点所组成图形的面积为 　　．
34．已知复数满足，则在复平面中对应的点所构成的图形的面积为 　　．
35．若复数在复平面内所对应的点在直线上．请写出一个满足上述条件的复数　　．
36．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围是 　　．
37．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数的模长是 　　．
38．把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 　　．
39．已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为 　　．
40．已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则的取值范围是 　　．
六．复数的运算
41．设复数满足，则它的共轭复数的虚部为　　
A． B．1 C． D．
42．复数　　
A． B． C． D．1
43．若复数满足，则复数的虚部是　　
A． B． C．2 D．
44．若复数，则的实部为　　
A． B． C．1 D．
45．已知为虚数单位，则复数的虚部为　　
A． B． C． D．
46．已知，则　　
A． B． C．0 D．1
47．复数满足，则　　．
48．设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数　　．
49．已知关于的实系数方程的一个虚根为，则　　．
50．若为虚数单位，则复数　　．
51．已知，是实数，且，其中是虚数单位，则　　．
52．已知复数，．
（1）求；
（2）求．
53．已知是虚数单位，设复数，．
（1）若，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点位于右半平面（不包括虚轴），求实数的取值范围．
54．（1）在复数范围内解方程；
（2）若复数为纯虚数，求．
七．复数的三角表示
55．复数的辐角的主值为　　
A． B． C． D．
56．复数的三角形式是　　
A． B．
C． D．
57．复数的三角形式是　　
A． B．
C． D．
58．设复数，，则的辐角的主值是 　　．
59．任何一个复数为虚数单位，，都可以表示为，的形式，通常称之为复数的三角形式．瑞士著名数学家欧拉首先发现为自然对数的底数），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．因此可得．由复数相等可知对，存在一个关于的次多项式，，，使得，这样的多项式被称为“切比雪夫多项式”，由知，则　　；运用探求切比雪夫多项式的方法可得　　．
60．复数的辐角主值是　　．
参考答案
一．虚数单位i、复数
1．【解析】为纯虚数的充要条件为，
因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件．
故选：．
2．【解析】，其虚部与实部的和为．
故选：．
3．【解析】，
所以复数的实部与虚部分别为，，
则，得．
故选：．
4．【解析】，
的虚部为1．
故选：．
5．【解析】复数，
则，解得．
故选：．
6．【解析】由得，
，，当时，；当时，，．
故选：．
二．纯虚数
7．【解析】因为为纯虚数，
所以，则，
故，
所以．
故选：．
8．【解析】对于①，两个复数若是实数，可以比较大小，故①错误；
对于②，和都是虚数，且它们的虚部相等，但是实部不一定相等，故②错误；
对于③，当时，则必为实数，故③错误．
故选：．
9．【解析】为纯虚数，
则，即，
故．
故选：．
10．【解析】是纯虚数，
，解得：．
故选：．
11．【解析】为纯虚数，
则，解得．
故选：．
12．【解析】因为为纯虚数，
所以，解得，
所以．
故选：．
三．共轭复数
13．【解析】，
则，
故的共轭复数在复平面内所对应的点在第四象限．
故选：．
14．【解答】解；因为，则，
所以，所以．
故选：．
15．【解析】复数为虚数单位），，
则
，
所以的虚部为．
故选：．
16．【解析】，设，，，
，
则，
故，解得．
故选：．
17．【解析】因为，不妨设，则，
解得，即符合．
故答案为：（或．
18．【解析】．
故答案为：2．
19．【解析】复数在复平面内对应的点在直线上，
则，即，
故，即．
故答案我：．
20．【解析】设，，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
四．复数的模
21．【解析】向量，分别与复数，对应，
则，，
，即．
故选：．
22．【解析】，
则，
故，
所以．
故选：．
23．【解析】由，，，可得，解得，，
则．
故选：．
24．【解析】，
故．
故选：．
25．【解析】，
则．
故选：．
五．复数的代数表示法及其几何意义
26．【解析】由复数，
则其共轭复数，即复数对于的向量．
故选：．
27．【解析】复平面内的点对应的复数为．
故选：．
28．【解析】由题意可得：，
所以复数对应的点为，位于第四象限．
故选：．
29．【解析】复数满足，
则，
．
故选：．
30．【解析】，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
31．【解析】由，
可得复数在复平面内所对应的点所在的象限为第四象限．
故选：．
32．【解析】解法一、设，，，则，
所以，
则该直线过点和，所以表示的点的轨迹不经过的象限是第三象限．
解法二、考虑向量意义意思是说，2023， 共线，
而过点，的直线过第一、二、四象限，不过第三象限，
所以表示的点的轨迹不经过的象限是第三象限．
故选：．
33．【解析】的解集是以为圆心，1为半径的圆及其内部所有点组成的集合，
其面积．
故答案为：．
34．【解析】根据题意可知复数满足，
则由复数模的几何意义知对应的点所构成的图形为半径为2和的两个同心圆所围成的圆环，
则其面积为．
故答案为：．
35．【解析】设，
则在复平面内所对应的点为，
所以，
满足上式的有无数个，不妨取．
故答案为：（答案不唯一）．
36．【解析】在复平面内对应的点在第二象限，
可得，解得，
故答案为：．
37．【解析】对应的复数是，对应的复数是，
则，，
故，
所以对应的复数为，．
故答案为：2．
38．【解析】把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，
则所得向量对应的复数是．
故答案为：．
39．【解析】，，，，转化为一般形式得
．即，
从得知，在复平面的对应点的坐标为．
故答案为：．
40．【解析】由题意可知，复数对应点的坐标为的点位于第三象限内，
则满足得，解得，
故的取值范围为．
故答案为：．
六．复数的运算
41．【解析】复数满足，
，
，
它的共轭复数的虚部为．
故选：．
42．【解析】根据题意，，
则，
故选：．
43．【解析】由题意，，则．
故复数的虚部是2．
故选：．
44．【解析】，
的实部为，
故选：．
45．【解析】因为，
所以复数的虚部为．
故选：．
46．【解析】，
则，
故．
故选：．
47．【解析】由题意可得：，
所以．
故答案为：1．
48．【解析】设，，，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，
由根与系数的关系可得，，
整理得，，
设、、在复平面上对应的点分别为、、，
则，
可知，关于轴对称，
若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，
即，解得，
所以．
故答案为：13．
49．【解析】关于的实系数方程的一个虚根为，
则该方程的另一个根为，
故，解得．
故答案为：1．
50．【解析】
故答案为：．
51．【解析】由，是实数，且，
可得，即，
可得且，
故．
故答案为：．
52．【解析】（1）设，，，
，，
，
故，解得：，
故；
（2）由（1），
故．
53．【解析】（1），，
则，即，解得；
（2），，
则，
在复平面上对应的点位于右半平面（不包括虚轴），
，解得，
故实数的取值范围为．
54．【解析】（1）由，
可得，则，
解得；
（2）因为，
且为纯虚数，所以，
解得，
故．
七．复数的三角表示
55．【解析】，，，
．
所以复数的辐角的主值为：．
故选：．
56．【解析】
．
复数的三角形式是．
故选：．
57．【解析】
．
复数的三角形式是．
故选：．
58．【解析】，，
，
的辐角的主值是．
故答案为：．
59．【解析】
，
所以，
取，则，
所以，
所以，则且，解得：．
故答案为：；．
60．【解析】的辐角主值
．
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