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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题10 平面向量
【考点考向】
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝
共线(平行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b平行记作a∥b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x＋y).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
平面向量的数量积及其应用
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝eq \r(x＋y).
③夹角：cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x＋y)·eq \r(x＋y).
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【解题策略】
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2；
(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线 x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【考点解析】
一．向量的概念与向量的模
1．下列说法错误的是　　
A．向量与的长度相同 B．单位向量的长度都相等
C．向量的模是一个非负实数 D．零向量是没有方向的向量
2．若非零不共线的向量，满足，则　　
A． B． C． D．
3．以下结论中错误的是　　
A．若，则
B．若向量，则点与点不重合
C．方向为东偏南的向量与北偏西的向量是共线向量
D．若与是平行向量，则
二．向量相等与共线
4．若，，是三个互不相同的点，则“”是“，，三点共线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则　　
A． B． C． D．
6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是　　
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C． D．
三．向量的加法
7．在中，，，．若动点满足，，则点的轨迹与直线，所围成的封闭区域的面积为　　
A．5 B．10 C． D．
8．若向量，，，，，则的值为　　
A． B． C．0 D．1
9．已知点是内一点，且，则　　
A． B． C． D．
四．向量的减法
10．　　
A． B． C． D．
11．下列各式化简正确的是　　
A． B．
C． D．
12．已知向量，则　　
A． B． C． D．
五．向量的三角形法则
13．已知向量、、，满足，已知、成角，且、的大小分别为2和4，则的大小为　　
A．6 B．2 C． D．
14．下列结论一定正确的是　　
A． B．C． D．
六．向量加减混合运算
15．化简：　　
A． B． C． D．
16．　　
A． B． C． D．
17．已知边长为1的正五边形，则　　
A． B． C． D．
七．两向量的和或差的模的最值
18．已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．
19．已知向量的夹角为，，与共线，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
20．若向量，满足，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
八．向量数乘和线性运算
21．如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则　　
A． B． C． D．
22．点是线段靠近点的三等分点，下列正确的是　　
A． B． C． D．
23．如图正六边形，设，，为的中点，则　　
A． B． C． D．
九．平面向量数量积的含义与物理意义
24．已知平面内三点，，，则向量在的方向上的投影为　　
A． B． C． D．
25．已知向量，则在方向上的投影为　　
A． B． C．1 D．
26．已知，，则在方向上的投影为　　
A． B． C． D．
十．平面向量数量积的性质及其运算
27．若且，则　　
A． B． C． D．10
28．在梯形中，，，，，为的中点，则　　
A．3 B． C． D．
29．已知空间向量，则下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，则与共线
C．若，则 D．
十一．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
30．已知单位向量，的夹角为，则　　．
31．在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数的模　　．
32．已知，则的取值范围是 　　．
33．若平面向量的夹角是，且等于　　．
十二．向量的投影
34．在中，已知，，，则在方向上的投影数量为 　　．
35．，，与的夹角为，则向量在向量方向上的投影是 　　．
36．已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为 　　．
十三．投影向量
37．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为 　　．
38．如果平面向量，，则向量在 上的投影向量为 　　．
39．如图，在斜坐标系中，为坐标原点，轴轴相交成角，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作，在此坐标系中，已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为 　　．
十四．平面向量的基本定理
40．已知，且，则实数　　．
41．在中，，，是线段上一点，若，则实数的值为 　　．
42．如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为 　　．
十五．平面向量的正交分解及坐标表示
43．已知两点，，则与同向的单位向量是　 　．
44．点按向量平移后的对应点的坐标是，则　　．
45．在平面直角坐标系内，已知、两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示　　．
十六．平面向量共线（平行）的坐标表示
46．已知向量，，若，则　　．
47．已知向量，．若，则　　．
48．已知平面向量，，．若，则　　．
十七．数量积表示两个向量的夹角
49．已知空间向量，，满足，，，，则与夹角为　　
A． B． C． D．
50．已知向量，，，则向量，的夹角为　　
A． B． C． D．
51．若向量、满足，则向量与向量的夹角为　　
A． B． C． D．
十八．向量在物理中的应用
52．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于　　
A． B． C． D．
53．一质点受到平面上的三个力，，的作用而处于平衡状态．已知与的夹角为，且，的大小分别为和，则的大小为　　
A． B． C． D．
十九．平面向量的综合题
54．在内使的值最小的点是的　　
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
55．如图，在中，、、分别是各边的中点，交于点，则下列各式能表示向量的有①，②，③，④　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
56．将函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则，的值分别为　　
A． B． C． D．
参考答案
一．向量的概念与向量的模
1．【解析】对于选项中，向量与互为相反向量，则，所以正确的；
对于选项中，单位向量的长度都是1，所以正确的；
对于选项中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以正确的；
对于选项中，零向量方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的，所以错误．
故选：．
2．【解析】，
，是非零向量，必有，上式中等号不成立，
，
故选：．
3．【解析】对于选项，若，则，则，故说法正确；
对于选项，若向量，则两向量的起点都是，点与点不重合，故说法正确；
对于选项，方向为东偏南的向量与北偏西的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故说法正确；
对于选项，若与是平行向量，则，两向量的模长不一定相等，故说法错误．
故选：．
二．向量相等与共线
4．【解析】因为，，是三个互不相同的点，
所以均不为零向量，
若，则，，三点共线，反之亦成立，
故“”是“，，三点共线”的充要条件．
故选：．
5．【解析】向量与向量共线，
存在实数，使，
即，
，解得．
故选：．
6．【解析】因为，所以与的方向相同，故选项正确；
当时，与的方向相同，故选项错误；
当时，，故选项错误
；当时，，故选项错误．
故选：．
三．向量的加法
7．【解析】设，
，，三点共线．
点轨迹为直线．
在中，，，，
，
．
故选：．
8．【解析】，
，，，，
可得：，，解得．
．
故选：．
9．【解析】延长，交于，画出图形，如图所示；
，
又，
，
；
又是的中点，
，
．
故选：．
四．向量的减法
10．【解析】根据题意，；
故选：．
11．【解析】因为，故错；
，故对；
，故错；
，故错；
故选：．
12．【解析】，
，，，，
故选：．
五．向量的三角形法则
13．【解析】由题意得：
，
故，
故选：．
14．【解析】，故错误；
，故正确；
，故错误；
与不一定同向，，故错误．
故选：．
六．向量加减混合运算
15．【解析】
．
故选：．
16．【解析】．
故选：．
17．【解析】设的中点为，连接，，如图所示：
由正五边形的性质可得：，
．
故选：．
七．两向量的和或差的模的最值
18．【解析】由，得，即．
设，则，显然，
所以，
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：．
19．【解析】根据与共线，
令
则
向量的夹角为，，
，
则的最小值为
故选：．
20．【解析】，
，
，
，
故选：．
八．向量数乘和线性运算
21．【解析】平行四边形中，分别是的中点，
，，
故选：．
22．【解析】由题，点是线段靠近点的三等分点，
，所以选项错误；
，所以选项和选项错误，选项正确．
故选：．
23．【解析】由题意，
．
故选：．
九．平面向量数量积的含义与物理意义
24．【解析】，
，，
在方向上的投影为：．
故选：．
25．【解析】设向量与的夹角为，则在方向上的投影为．
故选：．
26．【解析】，，；
在方向上的投影为；
故选：．
十．平面向量数量积的性质及其运算
27．【解析】根据题意，若，
则，解可得．
故选：．
28．【解析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系．
则：，，，，，．
，，
则．
故选：．
29．【解析】对，若，则，不能得出，故错误；
对，若，则，
当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，
故夹角为或，则与共线，故正确；
对，若，则，不能得出，故错误；
对，由数量积的定义可知：，，
因为与不一定相等，故不一定成立，故错误．
故选：．
十一．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
30．【解析】单位向量，的夹角为，
则，
所以．
故答案为：．
31．【解析】根据题意：，
．
故答案为：．
32．【解析】由于；
所以；
所以，
当时，，
当时，；
故的取值范围是，．
故答案为：，．
33．【解析】的夹角是
共线，
设，
，
，
，
的夹角是
故答案为：
十二．向量的投影
34．【解析】因为在中，，，，
所以，即，所以，
则，
所以在方向上的投影数量为．
故答案为：．
35．【解析】已知，，与的夹角为，
则向量在向量方向上的投影是，
故答案为：．
36．【解析】，
，，
向量在向量方向上的数量投影为，
解得．
故答案为：3．
十三．投影向量
37．【解析】因为，是与向量方向相同的单位向量，
所以向量在向量上的投影向量为，
解得，又，，
所以与的夹角．
故答案为：．
38．【解析】，，
则，，
，
所以向量 在上的投影向量为．
故答案为：．
39．【解析】根据题意，，，
，且，
，且，
在上的投影向量的坐标为：．
故答案为：．
十四．平面向量的基本定理
40．【解析】，
，
．
故答案为：．
41．【解析】因为，，所以，
所以，
又因为是线段上一点，所以，，三点共线，
所以，所以．
故答案为：．
42．【解析】，为的中点，
，，
，，三点共线，
设
，
又，
由平面向量基本定理得：，
解得：．
故答案为：．
十五．平面向量的正交分解及坐标表示
43．【解析】，，，
与同向的单位向量是
，，．
故答案为：，．
44．【解析】点按向量平移后的对应点的坐标是，
是一个以为起点，为终点的向量，
，，
故答案为：
45．【解析】由于，是两个互相垂直的单位向量，且，
所以向量用坐标表示为．
故答案为：．
十六．平面向量共线（平行）的坐标表示
46．【解析】因为向量，，，
所以，解得．
故答案为：．
47．【解析】因为向量，，，
所以有，或．
故答案为：1或．
48．【解析】，，，
则，
，
，解得．
故答案为：．
十七．数量积表示两个向量的夹角
49．【解析】设与的夹角为，
由，得，
两边同时平方得：，
所以，
解得，
又因为，
所以．
故选：．
50．【解析】向量，
，
，，
又，
，
，
．
故选：．
51．【解析】向量、满足，
所以，
又，
所以，
，
，
又，
所以，，
又，所以，
所以向量与向量的夹角为．
故选：．
十八．向量在物理中的应用
52．【解析】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
，，．
故选：．
53．【解析】如图，根据题意，得：
．
的大小为．
故选：．
十九．平面向量的综合题
54．【解析】令，，设，则，，
于是．
所以当时，最小，
此时，
则点为的重心．
故选：．
55．【解析】、、分别是各边的中点，
四边形是平行四边形，
，①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确．
故选：．
56．【解析】
将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位可得的图象
即，
故选：．
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