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【核心突破】2024年高考数学一轮核心考点深度解析（新高考地区）
专题09 解三角形
【考点考向】
一、正弦定理和余弦定理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；cos B＝；cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
二、解三角形的实际应用
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【解题策略】
1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.
2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.
3.在△ABC中，若a2＋b24.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【考点解析】
2023年11月01日985794074的高中数学组卷
一．正弦定理
1．在中，，，分别是角，，的对边，，那么　　
A． B． C．或 D．
2．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则　　
A．2 B．1 C． D．
3．已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则　　
A．4 B．6 C． D．
4．在中，，则　　
A． B． C． D．
5．若，，的面积为，则　　
A． B．1 C． D．2
6．的内角，，的对边分别为，，，满足．若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为　　
A． B． C． D．
7．已知满足，，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
8．已知的内角，，的对边分别为，，，满足，则　　
A．2 B．1
C． D．前三个答案都不对
9．已知的内角，，所对的边分别是，，，且，则角　　．
10．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　．
11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的取值范围为 　　．
12．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且满足_____．
（1）求角的大小；
（2）若为线段延长线上的一点，且，求的面积．
13．在①，，；②，，；③，，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知 ____，解三角形．
14．已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围．
15．在中，，，．
（1）求；
（2）求的面积．
二．余弦定理
16．在中，，为上一点，且，若，则的长度为　　
A． B． C． D．3
17．在中，三内角，，所对的边分别为，，，若，，则　　
A． B． C． D．
18．在中，，，，则等于　　
A．1 B．2 C．1或2 D．2或3
19．如图，在中，，垂足为，，则的度数是　　
A． B． C． D．
20．已知中，角，，的对边分别为，．．若，且则边　　
A． B． C．2 D．
21．在中，若，，，则的最大角与最小角之和是　　
A． B． C． D．
22．的内角，，的对边分别为，，，若，则　　
A．2 B． C．3 D．
23．在中，，，，则　　．
24．在中，，，，则　　；若为中点，则　　．
25．在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么　　
26．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的面积为，，则　　．
27．在中，角，，的对应边分别为，，，且，，且．
（Ⅰ）求边的长；
（Ⅱ）求角大小及的面积．
28．如图在四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长．
29．已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，为的中点，求．
三．三角形中的几何计算
30．中，，是角的平分线，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
31．如图，是边长为2的正三角形，在平面上且满足，则面积的最大值为　　
A． B．4 C． D．
32．在中，点是的中点，点在边上，且，与交于点，若，则长是　　
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
33．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则边上的高为　　
A． B． C． D．
34．如图，为正方形，，点在上，点在射线上，且，则　　
A． B． C． D．不确定
35．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段囫弧组成的曲边三角形（如图所示）．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为　　
A． B． C． D．
36．已知的三边上高的长度比分别为，若的最短边与最长边的长度和为6，则面积为　　
A． B． C． D．2
37．在中，，内角，，的对边分别为，，，且，，若点为边上的动点，线段的中垂线分别交直线、于、两点，则的最小值是 　　．
38．中，的角平分线交于点，若且，则面积的最小值为 　　．
39．如图，在平面四边形中，，．
（1）若，，，求的面积；
（2）若，求的最大值．
40．如图，在平面四边形中，，于点，，且的面积为面积的2倍．
（1）求的值；
（2）当时，求线段的长．
四．解三角形
41．符合下列条件的三角形有且只有一个的是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，
42．如图是一块空旷的土地，准备在矩形区域内种菊花，区域内种桂花，区域内种茶花．若面积是面积的3倍，，，，则当取最小值时，菊花的种植面积为　　
A． B． C． D．
43．在边长为的正三角形的边、上分别取、两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为　　
A． B． C． D．
44．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起经过 　　后该码头将受到热带风暴影响，影响时间大约 　　．（精确到
45．明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东的处，8号门在4号门的东偏北方向，且1号门在8号门的西偏南方向，则1号门到8号门的距离约为 　　．（结果精确到整数部分，参考数据：取，，，
46．一船以的速度向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东，1小时30分后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东，则灯塔与之间的距离为 　　．
47．山西应县木塔（如图是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点，，三点共线），测得约为58米，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，则该小组估算的木塔的高度为 　　米．
48．如图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，，均视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，记，为测量单位），测得，的长度为 　　．用含的式子表示）
49．在中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为 　　．
50．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 　　小时，角的正弦值为 　　．
五．三角形的形状判断
51．在中，若，则一定是　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形
52．在中，角，，所对的边分别是，，，，，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
53．在中，若，，则的形状是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
54．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
55．在中，已知，且，则该三角形的形状是　　
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
56．若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 　　．
57．已知的三边，，既成等差数列，又成等比数列，则的形状是　　．
58．在中，，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是　　．
59．如图所示，点在线段上，，．给出下列三组条件（已知线段的长度）
①，；②，；③，．
其中，使唯一确定的条件的所有序号为　　．
60．已知函数（其中，若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．
（1）求解析式；
（2）在中，角，，的对边分别是，，，满足，且（B）恰是的最大值，试判断的形状．
参考答案
一．正弦定理
1．【解析】因为，
由正弦定理，
则，
又因为，所以，
故，所以．
故选：．
2．【解析】若，
则．
故选：．
3．【解析】，由余弦定理可得，
整理得，
，即，而，
．
又，，
由余弦定理可得，
，．
故选：．
4．【解析】由正弦定理为三角形外接圆半径）可得：
，，，
所以可化为，
即，
，
又，．
故选：．
5．【解析】因为，，
的面积，
则，
由余弦定理得，，
所以．
故选：．
6．【解析】，则，
整理得，则，
为锐角三角形，则，故，
由面积为，
可得当面积取到最大值，即为取到最大值，
，即，即，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
故当为等边三角形时，面积取到最大值，
设的内切圆半径为，则，解得，
故内切圆面积为．
故选：．
7．【解析】设，，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
由三角形的三边关系可得，解得，
所以当时，面积有最大值为．
故选：．
8．【解析】由射影定理，得．
又因为，
联立解得，
因此．
故选：．
9．【解析】由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，，
，
，．
故答案为：．
10．【解析】若，
则，
所以，
因为，
所以，
由为三角形内角得，
因为，
所以，．
故答案为：．
11．【解析】因为，
则由正弦定理得：，化简得，
因为，代入化简得，，则，
所以，面积；
又，解得，当且仅当时，等号成立，
所以，故三角形面积的取值范围是．
故答案为：．
12．【解析】（1）若选择①，．
，
，
，
即，
；
若选择②，，
，
，
，，
；
若选择③，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，
即①，
又在中，，
即．即，即②，
在中，用余弦定理可得，
即③，③①可得，
将②式代入上式可得，，．
13．【解析】选①，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以，只有一解，不符合题意；
②，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以或，有两解，符合题意；
③，，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，只有一解，不符合题意；
故只能选②
14．【解析】（1）中，角，，所对边分别为，，，若满足，
由正弦定理知，，
，，
，
化简得，
，（其中舍去），即；
（2）由（1）知，则，
那么的面积（当且仅当时等号成立），
则面积的取值范围为，．
15．【解析】（1）因为，，，
由正弦定理，即，解得，
又，所以，所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以．
二．余弦定理
16．【解析】在中，，为上一点，且，
则，
因为，
设，
则，，
由余弦定理可得，
即，
解得，
故．
故选：．
17．【解析】，
则由余弦定理可得，，
，
，
，
则由正弦定理可得，，
，
．
故选：．
18．【解析】，，，
则，即，
则，解得或．
故选：．
19．【解析】，，
，，
则，
又，
则；
故选：．
20．【解析】根据两角和公式可得，
根据题意可知，，三角形内角和为，可得，，
根据正弦定理，
所以．故选：．
21．【解析】根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，
所以由余弦定理可知，
所以7所对的角为．
所以三角形的最大角与最小角之和为：．
故选：．
22．【解析】由余弦定理得，
得．
故选：．
23．【解析】因为在中，，，，
所以．
故答案为：．
24．【解析】因为，，，
由余弦定理可得：，
解得，
为中点，则，两边同时平方可得，
，
则．
故答案为：7；．
25．【解析】在中，，，，
由余弦定理得，．
故答案为：．
26．【解析】因为，的面积为，，
所以的面积，
可得，
可得，
由余弦定理可得，
则或，经检验满足构成三角形．
所以或．
故答案为：或．
27．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：，变形得：，
因为，所以．
又，可得；（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
．
因为为三角形的内角，所以，
则．（12分）
28．【解析】（1），，，
由余弦定理可得，
可得，解得，
．
（2）设，，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
所以，化简可得，
所以，
所以，，
在中，由余弦定理，可得，解得．
29．【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，，
由余弦定理可得，，
所以，
（2）由，结合（1）可知，即，
所以，
所以，，，
所以，中由余弦定理可得，，
所以
三．三角形中的几何计算
30．【解析】根据题意，设，，，如图，
，是角的平分线，则，
因为，
所以，
即，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
31．【解析】设，，
则在中，由正弦定理得，解得，
，
故当，即时，此时面积最大值为．
故选：．
32．【解析】设，，
则，，
因为，，和，，分别共线，
所以存在实数，，使，，
所以，
又，
所以，解得，
所以，
即．
故选：．
33．【解析】的内角，，的对边分别为，，，，，，
设边上的高为，由，得．
因为，所以．
故选：．
34．【解析】在取，连接，
由于，，所以，
又，所以，
由于，，，，
所以，
所以，，
故，
所以，
故，
故选：．
35．【解析】由题意可知等边三角形的边长为4，即，
所以扇形的面积等于以为圆心，为半径的圆的面积的，
故扇形的面积，
又，
该“莱洛三角形”的面积为．
故选：．
36．【解析】设中三个角为，，，角，，所对的边分别为，，，
设，、、边上的高分别为，，，
则，
根据题意可得，则，
设，则，解得，
，
由余弦定理可得，，
又为内角，
，
．
故选：．
37．【解析】因为，
由正弦定理可得，
整理得，
所以，
又，故，则．
设线段的中点为，则且，
设，则，
又，所以，即，
所以，又，
所以
，
因为，所以，
所以，所以当，
即时取得最小值，即．
故答案为：．
38．【解析】因为中，的角平分线交于点，，
所以，
又，，
所以，可得，
所以，解得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
则面积的最小值为．
故答案为：．
39．【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积；
（2）设，，则，．
在中，由正弦定理可得，则，
在中，由正弦定理可得，则，
所以，
当时，取得最大值；
综上，的面积为，的最大值．
40．【解析】（1）的面积为面积的2倍，，
，，，
，
又，则；
（2）在中，则，即，
在中，由正弦定理得，即，
，
，
当时，
在中，由余弦定理得，即，
当时，
在中，由余弦定理得，即．
四．解三角形
41．【解析】对于，，，，由两边之和大于第三边，，可知符合的三角形不存在；
对于，由，，，可得或，符合条件的三角形有2个，不符合题意；
对于，，，，可得，不符合题意；
对于，，，符合条件的三角形有一个是等腰三角形．
故选：．
42．【解析】因为面积是面积的3倍，
设，
由题意，可得，
在中，，
在中，，
故，
所以，当时，即时取“”，
所以，
所以当取最小值时，菊花的种植面积．
故选：．
43．【解析】显然，两点关于折线对称，
连接，图（2）中，可得，则有，
设，，
再设，则有，
在中，，
，
又，
在中，由正弦定理知，
即，
，
，
，
当，即时，．
此时取得最小值，且（舍去）．
则的最小值为．
故选：．
44．【解析】如图所示：
设风暴中心最初在处，经后到达处，向轴作垂线，垂足为，
若在点处受到风暴的影响，
则，，，，
因为，
所以，
即，
解得，，
又，
故答案为：13.7；15．
45．【解析】记1号门的位置为，4号门的位置为，8号门的位置为，
由题意知，，，，
在中，由正弦定理得，，
所以．
故答案为：2112．
46．【解析】作出示意图，如图所示，
则，
，
由正弦定理得，即，解得，
故答案为：．
47．【解析】过点作于点，如图所示：
由题意得，，米，米，
设米，则米，米，
在中，，则，解得，
在中，则米．
故答案为：米．
48．【解析】根据题意作出示意图，如图所示，
由题意，，，
在△中，，
即，
，
又，
解得，
，
在△中，，
．
故答案为：．
49．【解析】因为，
所以，可得，
由正弦定理可得
，
因为，
则，
当，即时，取到最大值．
故答案为：．
50．【解析】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝色小艇，
则，，，
由题意可知，，
由余弦定理可知，，即，解得，
则，，
由正弦定理可知，．
故答案为：2，．
五．三角形的形状判断
51．【解析】法一：因为，
整理得，
故为等腰三角形；
法二：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故为等腰三角形．
故选：．
52．【解析】由边化角可得，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，所以，
所以解得，所以，
所以是直角三角形．
故选：．
53．【解析】，，
又，
，即，得，
，再结合得是等边三角形．
故选：．
54．【解析】，
由余弦定理可得：，整理可得：，
，则的形状为等腰三角形．
故选：．
55．【解析】由条件知：，
，
，
，
，，由余弦定理得，
，，
又，是等边三角形．
故选：．
56．【解析】，
，
由此可得以、为邻边的平行四边形为矩形，
，得的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
57．【解析】由于三角形的三边、、成等差数列，可得：，①
又成等比数列，可得：，②
联立可得：，解得：，可得：，
则是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
58．【解析】由，
根据正弦定理得：
，
由为三角形的内角，得到或，
当，，，与三角形的内角和定理矛盾，舍去，
，，
则，即的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形
59．【解析】，．，．
①在中，知道，的长度及角，由，求得，与的大小不定，角不一定唯一，则不一定唯一．
②在中，知道长及各角度，由正弦定理可得出长度．长度已知，长度可求，唯一确定．
③同②可知，中，已知一边及各角度，在中，已知一角及其夹边唯一确定．
故答案为：②③．
60．【解析】（1）由于函数，
的对称轴离最近的对称中心的距离为，
，
，
故，
；
（2）由于，由正弦定理得，
，
，，
，
，
，
；
，
，
根据正弦函数的性质可知，（B）是的最大值1，
此时，即，
，
为等边三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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