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蝴蝶定理：
蝴蝶定理: 过圆内一点 ，引出三条弦 , , ，且 M 是 的中点，直线 与直线 交直絨 于 ，
则 =
证明: 作 ⊥ , ⊥ ，则 , 分别是 , 的中点
注意到 ∠ = ∠ = 90 ，从而 , , , 四点共圖，进而 ∠ = ∠
同理，可知 ∠ = ∠
注意到 △ △ ，且 , 是这对相似三角形的对应点，那么 ∠ = ∠ ，即 ∠ = ∠ ，
从而 = ，证毕。
外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理
定理: 在圆锥曲线中，过弦 的中点 任作两条弦 , ，直线 , 交 于点 , , 则 =
1 1 1 1
Candy 定理: 过圆中一点 引出三条弦 , , , 直线 , 交直线 于 , ，则 =

1
此定理也适用于二次曲线，椭圆，双曲线，抛物线。
2 2
例 1.已知椭圆 : + = 1 的左、右顶点分别为 , ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点，且直
16 12
线 的斜率不为 0 . 分别记直线 和 的斜率为 1 与 2 ，问是否存在常数 ，使得在直线 转动过程
中，有 1 = 2 恒成立
设 ( 1, 1), ( 2, 2) ，直战 : = + 2
1 2
1 = , = 21 + 4 2 4
1 1( 2 4) 2
1 4 1
= = =
2 2( 1 + 4) 1 2 + 4 2
来到这个位置，通常有以下几种处理手法。
法一、常规非对称问题手法

用 = + 2 消去 . 得到 = 2
( 2;2) ;2 = 1 2 1
2( 1:6) 1 2:6 2
;144 ;48
由韦达式 1 2 = , + = . 12 2:16 1 2 12 2:16
:3
可得 = 3( + ) ，代入上式，得到 = 1 2
1
1 2 1 2 = 3 1:9 2 3
法二、三点共线

因为 , , 三点共线，故有 1 = 2 .
1;2 1;2
整理可得 1 2 2 1 = 2( 2 1)
;384
1 2 + 2 1 = 12 2又由基本量 { :16;48 , 可得 1 2 + 2 1 = 8( 1 + 2)
1 + 2 = 12 2:16
2
1 2 2 1 = 2( 2 1) 1 2 = 3 1 + 5 所以由 { 解得 { 2
1 2 + 2 1 = 8( 1 + 2) 2 1 = 5 1 + 3 2
;4 :3 1
从而 = 2 1 1 = 1 2 =
1 2:4 2 3 1:9 2 3
法三、设点法
5 ;16 3
设 ( , ), 由直线 与椭圆联立解得 ( 0 , 00 0 ) 0;5 0;5
2 2
例 2．已知椭圆 : + = 1 与定点 (0, 2) ，经过点 (0,1) 且斜率存在的直线 交椭圆于 , 两点，点
6 4
与点 关于坐标原点对称，连接 , ，求证: 存在实数 ，使 = 成立。
它们有以下其同特点，请看下图
耳绕 过坐际轴上一定点
3
2 2
因为 = 2 ，又有 = ，从而
=
2

2 2
情形 1. 设椭圆 : 2 + 2 = 1 的左、右顶点分别为 , ，椭圆的弦 过定点 ( , 0) ，直线 斜率为 且

≠ 0 ，求 的值.

2 2
设 ( 1, 1), ( 2, 2) ，因点 在椭圆上，有
2
2 +
2
2 = 1 ，
因 异于 , 两点，故 2 ≠ ± ，从 而有
2 22 2 2
=
2 2
= =
2 +

2 2 2

另有 2 1 1 2 = = 2: 1: ( 1: )( 2: )
考虑到关于 的式子较复杂，故没直线 : = ( ) 与椭圆联立消去 .
联立为 ( ) = ( 2 2 + 2) 2 + ( 2 2 2) + 2( 2 2 2) = 0.
(; )
令 = 得， ( 1 + )( 2 + ) = 2 2 2 :
2( 2; 2) 2
代入原式中， = 4 2 :2 2 2: 2 2 2; 2 2: 2 2
由于 ≠ 0 且 ≠ ，
2( 2; 2) 2( ; )
化简得 = = 2( : )2 2( : )
2
又因 = 2 ，上下两式作商得
4

=
+
1
用例题的数据验证一下，代入 = 2， = 4 ，从而 =
RQQ 3
情形 2. 将定点换到 轴上，如下图 (0, )
2 2 :
有 = 2 与 = ( ) 2 ;
;
两式作商有 =
:
2 2
例 3.已知椭圆 : + = 1 长轴的两个端点分别为 , ，直线 : = + 1 交椭圆于点 , , 记直线 ,
6 4

的斜率分别为 1, 2 ，若
1 = 2, 求 的值.
2
解：设 : = + 1过 轴上的点为( , 0)，由蝴蝶定理可得
1
= 2 =
2 +
√6解得 = =
3 3
又 : = + 1过点(0,1)
√6
∴ = ；
2
2 2
例 4．已知椭圆 : + = 1 的左焦点为 ，过 且斜率为 ( ≠ 0) 的直线与椭圆交于 , 两点，定点
9 5 1 1

(1,0). 延长 , 分别与椭圆交于 , 两点，直线 的鈄率为 ，求证: 12 为定值. 2
5
解：此题得用设点法来做，
设点 ( 0, 0) ，在求 点坐标时需要经过两次联立求点，运算量大; 这么做破坏了点 , 的轮换对称性。
所以考虑设两点 ( 1, 1), ( 2, 2) ，考虑到地位等价，应该不会出现非对称情况。而且联立求点只需要进行一次,
第二次同理即可, 省掉不少功夫。
因此，主要目标是分别利用直线 , 求出 , 两点坐标，再用两点式表示 2,
5 ;9 4
直线 : 0 = 1 ( 1) 与椭圆联立。解得 ( 1 , 1 )
1;1 1;5 1;5
5 ;9 4
对直能 如法炮制得到 ( 2 , 2 )
2;5 2;5
所以充分利用轮换对称性的好处就是只需要换个下标就能解决问题.
从而

2 =
4 2 4 1
5 5
= 2 1
5 2 9 5 1 9
2 5 1 5
4 2( 1 5) 4 1( 2 5)
=
(5 2 9)( 1 5) (5 1 9)( 2 5)
4( 1 2 2 1) + 20( 1 2)
=
16( 1 2)
出现形侧 1 2 2 1 的式子，考虑利用 , , 三点共线将它构造出来，
1 2
= = 1 + 2 2 + 2
整理得到 1 2 2 1 = 2( 1 2) ，代入未完成的上式，
28( 1 2) 7 1 4
2 = = 16( ) 4 1
, 所以 =
1 2 2 7
2 2
例 5．已知椭圆 : + = 1，左右顶点分别为 1 2，过右焦点 作直线 交椭圆于 , 两点，直线 1 的斜率为 1，直4 3

线 2 的斜率为 ，则
1
2 的值。 2
6
解：设 过 轴上的点 (1,0)，由蝴蝶定理可得
1 1
= 2 = =
2 + 3
2 2
例 6．已知椭圆 : + = 1，过椭圆的左焦点 任做一条弦 （不与长轴重合），点 是椭圆的左右顶点，设直
9 5
1
线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，则 1 2 + 2 的最小值为__________. 2
解：解：设 过 轴上的点 ( 2,0)，由蝴蝶定理可得
1
= 2 = = 5
2 +
1 = 5 2
1 1
1 2 + 2 = 5
2
2 + 2 ≥ 2√5 2 2
例 7． (2022 年全国甲卷 21 题改编) 设抛物线 : 2 = 2 ( > 0) 的焦点为 , 点 ( , 0),过 的直线交 于
, 两点. 当直线 垂直于 轴时, | | = 3.
(1) 求 的方程; ( 2 = 4 )

(2)直线 , 分别交抛物线于 , 两点， 的斜率为 1, 的斜率为 2, 求
1
2
7
解：由题意知， (1,0)， (2,0), ( , 0)，由蝴蝶定理可得
1
=
2
1 1 1 1
由 Candy 定理: =
∞
= 2，
1 = = 2；
2
2 2
例 8.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0) 上的点到焦点 的最小距离为 1，且以椭圆 的短轴为直径的圆过点
(0,√5) 且 ， 为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 (2,0) 直线交椭圆于 ， 两点（ 在第一象限），直线 、 的斜率为 1 ， 2 ，是否存
在实数 ，使得 1 = 2 ，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由．
= 1
【答案】 （1）解：由题意可得： * ，
= √5
∴ = 3, = √5,
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1 ．
9 5
（2）解：假设存在实数 ，使得 1 = 2 ；
由题意可知直线 斜率不为零，
设 : = + 2 ， ( 1, 1) ( 2, 2) 且 1 > 0, 2 < 0 ， 1 ≠ 3 ， 2 ≠ 3
2 2
+ = 1
* 9 5 可得 (5 2 + 9) 2 + 20 25 = 0
= + 2
20 25
∴ > 0, 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ， 5 :9 5 :9
5
∴ 1 2 = ( 1 + 2) 4
2
1 2+3 ( 1;3) 2 ( 1;1) ; ∴ = = = = 2 = 1 2 2 1 2 ( 2:3) 1 ( 2:5) 1 1 2:5 11 3
5 5 1
( 1: 2); :
= 4
2 4 1 4 2 1
5 = 5 1 = ．
( 1: 2):5 4 1
5( 1: 4 4 2
) 5
8
1
故存在实数 = ，使得
5 1
= 2 成立.
2 2
例 9.如图，已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3 1
过点 (1, ) ，离心率为 ， , 分别是椭圆 的左、右
2 2
顶点，过右焦点 且斜率为 ( > 0) 的直线 与椭圆 相交于 , 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
6
（2）记 △ 、 △ 的面积分别为 1 、 2 ，若
1 =
5 ，求 的值； 2

（3）记直线 、 的斜率分别为 1 、 2 ，求
2 .
的值1
【答案】（1）解：设椭圆的焦距为 2 ，
1 9
+ 2 2
= 1
3 1 4 2 = 4
∵ 椭圆过点 (1, ) ，离心率为 ， ∴ ，解得： { ，
2 2 2 2
2 2
1 = 3
{ 2 = 2 = 4
2 2
∴ 椭圆 的标准方程为： + = 1 . 4 3
（2）解：设点 ( 1, 1) 、 ( 2, 2) ，
1
1 6 | | | | 6∵ = 2 1
5 ， ∴ 1 = ，由（1）可知： 5 | | = + = 3
， | | = = 1 ，
2 | | | |
2 2
3| 1| 6∴ = 2
→ 2 →
| | 5 ，即
| 1| = | 5 2|
， ∴ = ，
2 5
2 7 2
1 1 = (1 5 2) 1 = ∴ { ，即 { 5 5
2
2 2
1 = 2 1 = 5 5 2
2 2
(7 2 2) (
2 ) 5
5 5 + 5
2
= 1 2 = 4
又 , 在椭圆 上， ∴ 4 3 ，解得： { ，
2 2 3√ 13
2 2 = + = 1 2 8
{ 4 3
3
√13
√13
∴ 直线 的斜率 = 8 = .
5 1 64
（3）解：由题意得：直线 的方程为 = ( 1) ，
9
= ( 1)
由 { 2 2 消去 得： (3 + 4
2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0 ，
4 + 3 = 1
2 2
8 4 12
∴ 1 + 2 = ， 2 1 2 = ， 2
4 +3 4 +3
2 22 4 12+2 ( 8 ) 2
2 2 2 2( 1+2) ( 2 1)( 1+2) 1 2+2 2 2
2 2 2
∴ = = = = 2 1 = 4 +3 4 +3
2 2
=
1 1 1( 2 2) ( 1 1)( 2 2) 1 2 2 1 2+2 4 12 2( 8 1+2 2) 2+22 2
4 +3 4 +3
2 2
12 18+3 3( 4 62 + 2 2 2)
4 +3 4 +3
2 = 2 = 3 ，
4 6+ 4 6+
2 2 2 2
4 +3 4 +3

∴ 2 = 3 .
1
10蝴蝶定理：
蝴蝶定理: 过圆内一点 ，引出三条弦 , , ，且 M 是 的中点，直线 与直线 交直絨 于 ，
则 =
外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理
定理: 在圆锥曲线中，过弦 的中点 任作两条弦 , ，直线 , 交 于点 , , 则 =
1
1 1 1 1
Candy 定理: 过圆中一点 引出三条弦 , , , 直线 , 交直线 于 , ，则 =

此定理也适用于二次曲线，椭圆，双曲线，抛物线。
2 2
例 1.已知椭圆 : + = 1 的左、右顶点分别为 , ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点，且直
16 12
线 的斜率不为 0 . 分别记直线 和 的斜率为 1 与 2 ，问是否存在常数 ，使得在直线 转动过程
中，有 1 = 2 恒成立
2
2 2
例 2．已知椭圆 : + = 1 与定点 (0, 2) ，经过点 (0,1) 且斜率存在的直线 交椭圆于 , 两点，点
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与点 关于坐标原点对称，连接 , ，求证: 存在实数 ，使 = 成立。
3
2 2
情形 1. 设椭圆 : 2 + 2 = 1 的左、右顶点分别为 , ，椭圆的弦 过定点 ( , 0) ，直线 斜率为 且

≠ 0 ，求 的值.

情形 2. 将定点换到 轴上，如下图 (0, )
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2 2
例 3.已知椭圆 : + = 1 长轴的两个端点分别为 , ，直线 : = + 1 交椭圆于点 , , 记直线 ,
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的斜率分别为 1, 2 ，若
1 = 2, 求 的值.
2
2 2
例 4．已知椭圆 : + = 1 的左焦点为 ，过 且斜率为 1( 1 ≠ 0) 的直线与椭圆交于 , 两点，定点 9 5

(1,0). 延长 , 分别与椭圆交于 , 两点，直线 的鈄率为 ，求证: 12 为定值. 2
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2 2
例 5．已知椭圆 : + = 1，左右顶点分别为 1 2，过右焦点 作直线 交椭圆于 , 两点，直线 1 的斜率为 ，直4 3 1

线 的斜率为 ，则 12 2 的值。 2
2 2
例 6．已知椭圆 : + = 1，过椭圆的左焦点 任做一条弦 （不与长轴重合），点 是椭圆的左右顶点，设直
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1
线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，则 1 2 + 2 的最小值为__________. 2
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例 7． (2022 年全国甲卷 21 题改编) 设抛物线 : 2 = 2 ( > 0) 的焦点为 , 点 ( , 0),过 的直线交 于
, 两点. 当直线 垂直于 轴时, | | = 3.
(1) 求 的方程; ( 2 = 4 )

(2)直线 , 分别交抛物线于 , 两点， 的斜率为 1, 的斜率为 2, 求
1
2
2 2
例 8.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0) 上的点到焦点 的最小距离为 1，且以椭圆 的短轴为直径的圆过点
(0, √5) 且 ， 为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 (2,0) 直线交椭圆于 ， 两点（ 在第一象限），直线 、 的斜率为 1 ， 2 ，是否存
在实数 ，使得 1 = 2 ，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由．
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例 9.如图，已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
1
过点 (1, ) ，离心率为 ， , 分别是椭圆 的左、右
2 2
顶点，过右焦点 且斜率为 ( > 0) 的直线 与椭圆 相交于 , 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
1 6（2）记 △ 、 △ 的面积分别为 1 、 2 ，若 = ，求 5 的值； 2

（3）记直线 、 的斜率分别为 1 、 2 ，求
2 .
的值1
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