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专题二十八 空间向量及其应用
知识归纳
一、空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
二、空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
三、空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）； （分配律）．
四、空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；；
；；
； ．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；；
；；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
五、法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则； 若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则； 若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
六、空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
七、空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，
这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长
就是两条异面直线的距离．则
即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点
的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，
过作平面的斜线及垂线．
，
典例分析
题型一、空间向量的加法、减法、数乘运算
【例1-1】在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以表示为．
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-4】如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型二、共线与共面问题
【例2-1】已知，，且 不共面，若，则___________．
【例2-2】已知，，，．若，则实数k的值为______．
【例2-3】如果三点共线，那么（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则
C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面
D．若，，，为空间四点，且有（，不共线），则是，，三点共线的充分不必要条件
【例2-5】（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-6】以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【例2-7】，若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【例2-8】已知P和不共线三点A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有，则λ＝________．
【例2-9】（多选题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，
底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
【例2-10】如图，在平行六面体中，，．
（1）求证：、、三点共线；
（2）若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
【例2-11】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【例2-12】如图，在几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．
求证：A，B，D，E四点共面；
【例2-13】如图，四边形为正方形，若平面平面，，，．
判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．
【例2-14】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______．
题型三、空间向量的数量积运算
【例3-1】已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【例3-2】已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【例3-5】（多选题）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【例3-6】在三棱锥中，已知，，，则___________
【例3-7】在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-8】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________．
【例3-9】（多选题）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【例3-10】已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为___________．
【例3-11】如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点．若点满足，则的最大值为__________，最小值为__________．
【例3-12】已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型四、证明直线和直线平行
【例4-1】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【例4-2】在四棱连中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，，若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．
题型五、证明直线和平面平行
【例5-1】如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
【例5-2】如图所示，在四棱锥中，平面，平面，，，又，，为中点.
证明：平面；
题型六、证明平面与平面平行
【例6-1】如图，正方体中，、分别为、的中点．
用向量法证明平面平面；
【例6-2】如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
证明：平面平面；
题型七、证明直线与直线垂直
【例7-1】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．
证明：PN⊥AM；
【例7-2】如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点．
（1）求证：，．
（2）求证：是异面直线与的公垂线段．
【例7-3】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；
【例7-4】如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【例7-5】如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，点M为棱PC的中点．
证明：；
题型八、证明直线与平面垂直
【例8-1】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且．
求证：平面；
【例8-2】如图，在正方体中，，分别为，的中点．
求证：平面；
题型九、证明平面和平面垂直
【例9-1】如图，在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，．．
求证：平面平面ABCD；
【例9-2】如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面平面；
【例9-3】在三棱台ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点．
证明：平面A1BC⊥平面POB；
题型十、求两异面直线所成角
【例10-1】如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．
（1）求的长；
（2）直线与所成角的余弦值．
【例10-3】已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-4】如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【例10-5】如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
（1）证明：平面；
（2）若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．
【例10-6】如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.
题型十一、求直线与平面所成角
【例11-1】如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【例11-2】已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【例11-3】如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例11-4】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例11-5】如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【例11-6】如图，在四棱锥中，底面，，点在棱上，，点在棱上，．
（1）若，为的中点，求证：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．
题型十二、求平面与平面所成角
【例12-1】如图所示圆锥的正视图是边长为2的正三角形，AB为底面直径，C为的中点，则平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的正切值为（ ）．
A． B． C． D．
【例12-2】如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
【例12-3】如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
（1）在线段上是否存在点F，使得平面 说明理由；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
【例12-4】在四棱锥中,底面ABCD是等腰梯形,,,平面平面PCD,．
（1）求证:为直角三角形;
（2）若,求二面角的大小．
【例12-5】如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【例12-6】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
（1）证明：平面平面
（2）当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【例12-7】如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
（1）是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
（2）二面角的余弦值为，求的值．
【例12-8】如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求二面角的正弦值．
【例12-9】如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；
（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：
题型十三、空间中的距离问题
（一）求点到点的距离
【例13-1】如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
（二）求点到直线的距离
【例13-2】在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.
【例13-3】某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
（三）求点到平面的距离
【例13-4】已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例13-5】在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．
【例13-6】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
（四）求直线到直线的距离
【例13-7】如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离.
【例13-8】已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
【例13-9】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
（五）求直线到平面距离
【例13-10】如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【例13-11】在四棱台中，底面是正方形，且侧棱底面分别是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线到平面的距离.
（六）求平面到平面距离
【例13-12】已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例13-13】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
（1）直线与平面的距离；
（2）平面与平面的距离．
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专题二十八 空间向量及其应用
知识归纳
一、空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
二、空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
三、空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）； （分配律）．
四、空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；；
；；
； ．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；；
；；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
五、法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则； 若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则； 若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
六、空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
七、空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，
这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长
就是两条异面直线的距离．则
即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点
的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，
过作平面的斜线及垂线．
，
典例分析
题型一、空间向量的加法、减法、数乘运算
【例1-1】在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以表示为．
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于①，若共线，可能在同一条直线上，①错误；
对于②，向量可以自由平移，所在的直线是异面直线，但可平移到共面状态，②错误；
对于③，三个向量两两共面，若，，交于一点，则垂直于所在平面，此时不共面，③错误；
对于④，只有当不共面时，空间任意一个向量才可以表示为，④错误．
【例1-2】在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由底面是正方形，E为的中点，且，
根据向量的运算法则，可得
．
【例1-3】如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得
．
【例1-4】如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在正方体中，，，，
O为底面ABCD的中心，G为的重心，连接OG，
则
．
【例1-5】已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在基底下的坐标为 ∴
设在基底下的坐标为则
对照系数，可得： 解得：
∴在基底下的坐标为
题型二、共线与共面问题
【例2-1】已知，，且 不共面，若，则___________．
【答案】
【解析】根据，且 不共面可得，存在使得，根据向量相等可列出方程解出．
且，，即，
又 不共面，，则，，．
【例2-2】已知，，，．若，则实数k的值为______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，解得
【例2-3】如果三点共线，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又三点共线，所以，所以，所以，解得，所以
故选：B
【例2-4】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．是，共线的充分条件
B．若，则
C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面
D．若，，，为空间四点，且有（，不共线），则是，，三点共线的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】由，可得向量，的方向相同，此时向量，共线，所以A正确；
若，则或A，B，，四点共线，所以B不正确；
由A，，三点不共线，对空间任意一点，若，
则，即有，，，四点共面，故C正确；
若，，，为空间四点，且有（，不共线），当时，即
可得，即，所以，，三点共线，反之也成立，
即是A，，三点共线的充要条件，所以D不正确.
【例2-5】（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】选项A，因为，所以共面；
选项B，因为，所以共面；
选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合．
选项D，因为共线，所以共面．
【例2-6】以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】B
【解析】对于A选项，设，所以，，无解；
对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设，所以，，无解；
对于D选项，设，所以，，矛盾．
【例2-7】，若三向量共面，则实数（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【解析】∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．
【例2-8】已知P和不共线三点A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有，则λ＝________．
【答案】－2
【解析】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：．
故答案为．
【例2-9】（多选题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
【答案】BD
【解析】因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、
、、，
设，其中，
则，
，，设，
则，解得，故存在点，使得、、、四点共面，B对；
，，，
设，所以，，解得，不合乎题意，A错；
，，
若平面，平面，则，解得，C错；
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
若平面，则，解得，
故当点与点重合时，平面，D对．
【例2-10】如图，在平行六面体中，，．
（1）求证：、、三点共线；
（2）若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
【解析】（1）由题意，，，
故，
，
故，由于有公共点A，故A、、三点共线；
（2）由题意，点是平行四边形的中心，
故，
故，因为有公共点D，故、、三点共线．
【例2-11】已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【解析】（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，
，因为、无公共点，故．
【例2-12】如图，在几何体ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．
求证：A，B，D，E四点共面；
【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，
因为平面平面，且平面平面，
而为等边三角形，所以，因此平面，
因为平面平面，且平面平面，
又因为为等边三角形，所以，因此平面，
又因为平面，因此，
又因为为等边三角形，所以，
因此两两垂直，
从而以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为均为边长为2的等边三角形，所以，，，
设，则，，，
由于，所以，解得，
因此，所以，，，
所以，由空间向量基本定理可知：四点共面；
【例2-13】如图，四边形为正方形，若平面平面，，，．
判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由．
【解析】点在平面外，证明如下，连接ED，
因为，，，
设，则，即，
显然此方程组无解，所以四点，，，不共面，即点在平面外．
【例2-14】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______．
【答案】
【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠DAC=∠BAC=60°，
则根据向量加法法则易知，，
即，则．
根据共面向量定理的推论知，，其中x＋y＋z＝1．连接BD，
∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD，
设，则，又G为PC的中点，
∴，
则，，解得，
AB=2，BD=2×ABsin60°=，则．
连接AG，∵PA＝AC＝4，G为PC的中点，故．
易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，
又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，
因此．
解法二：连接BD，设AC与BD交于点K，连接AG、PK，
设AG与PK交于点L，
由题易得BD∥EF，则，
作KN∥AG交PC于N，易知CK＝3AK，
则CN＝3GN，从而PG＝4GN，
故，即．以下解法同上．
题型三、空间向量的数量积运算
【例3-1】已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】，因为，所以，
所以，所以2．
【例3-2】已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量与的夹角为，因为，，且，所以，得，
所以，所以，因为，所以，
【例3-3】已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，空间向量，，，
可得，则．
【例3-4】（多选题）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
【例3-5】（多选题）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】BD
【解析】对于A，若为负数，可知，故A错误，
对于B，由定义知B正确，
对于C，若，则，共线，故C错误，
对于D，由定义知，故D正确．
【例3-6】在三棱锥中，已知，，，则___________
【答案】
【解析】设，显然，
则，即，
而，即，
于是得，，
，
则有，所以．
【例3-7】在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为三棱锥中，，，，
所以，
【例3-8】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________．
【答案】6 -42
【解析】如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，
显然平面，平面，
因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，
在堑堵中，，
则，即，又，则，而，
于是得，所以，
因，，所以．
【例3-9】（多选题）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确．
【例3-10】已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】如图，将正四面体放在正方体内，并建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正四面体的棱长为2，则正方体的棱长为，
正四面体ABCD的外接球即为图中正方体的外接球，其半径为R，
则，
则，，
设，则，则，
∵，，
∴．
【例3-11】如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点．若点满足，则的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，
设，，所以，，
因为，所以，即，，，
则动点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
将其放到平面直角坐标系中如下图所示：
则，，，所以，所以；
显然当点在时（即立体图形中的点）取得最大值，
因此的最大值为，最小值为；
故答案为：；
【例3-12】已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
，，由对称性，点在是相同的，
故只考虑在上时，设正四棱台的高为，则
，，设，，，
因为在上，所以，则，
，
，
所以
由二次函数的性质知，当时，取得最小值为，
又因为的最小值为，所以，解得（负舍），
故正四棱台的体积为：．
题型四、证明直线和直线平行
【例4-1】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【解析】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、
、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，∴．
【例4-2】在四棱连中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，．
若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．
【解析】（1）在平面内过点作，交于点，
因为平面平面，且平面平面，
可得平面，
又由，所以两两垂直，
以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，由，，，
可得，
假设上存在点，使得，
设，其中，
因为是棱的中点，可得，
又由，
所以，
设，可得，此方程组无解，所以假设不成立，
所以对于上任意一点，与都不平行，
即在线段上不存在点，使得与平行．
题型五、证明直线和平面平行
【例5-1】如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
【解析】因为，，平面ABCD，
而AD 平面ABCD，所以，，
因此以D为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为且，且，，
所以，，，，，，，，.
设为平面CDE的法向量，，，
则，不妨令，可得；
又，所以.
又∵直线平面CDE，∴平面CDE；
【例5-2】如图所示，在四棱锥中，平面，平面，，，又，，为中点.
证明：平面；
【解析】过点作的垂线交于，以为原点，
以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
如图所示，因为，所以,又，
所以点到轴的距离为，到轴的距离为，则有
,
所以
设平面的法向量为，则
，即，令，则，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面.
题型六、证明平面与平面平行
【例6-1】如图，正方体中，、分别为、的中点．
用向量法证明平面平面；
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，所以，即，
故平面平面；
【例6-2】如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
(1)证明：平面平面；
【详解】（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
题型七、证明直线与直线垂直
【例7-1】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．
证明：PN⊥AM；
【解析】由题意两两垂直．
所以以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则．
∵M是的中点，N是的中点，∴，
设，∴，则，
则，所以．
【例7-2】如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点．
（1）求证：，．
（2）求证：是异面直线与的公垂线段．
【解析】（1）以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，，．
所以，，．
因为，所以，即；
因为，所以，即；
（2）因为，，．
所以，所以，即；
，所以，即．
又，
所以是异面直线与的公垂线段．
【例7-3】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；
【解析】连接FC，∵面，面，∴
又，面，，
∴平面
即平面，∴
∴以为坐标原点，
以、、方向分别为，，轴正向建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
∴，∴.
【例7-4】如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【解析】（1），且平面
又平面，
矩形中，
又，则与相似，则
．；
又，平面；
（2），且平面．又，
则可以D为原点分别以DA、DC、DS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知
，
假设存在满足且．
在线段上，可设
的坐标
在线段上，可设
则．
要使且，则，
又，
可得，解得．
故存在使且，
其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点．
【例7-5】如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，点M为棱PC的中点．
证明：；
【解析】解法一：因为，所以．
如图，以A为原点，分别以，为x轴，y轴的正方向，
过点A作∥，则⊥平面，
以为轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，4，0），P（0，4，2），
因为点M为棱PC的中点，所以M（1，3，）．
于是，
所以．
所以，即．
题型八、证明直线与平面垂直
【例8-1】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且．
求证：平面；
【解析】因为平面，平面，
所以，而，
因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
，，，
因为，
所以，而平面，所以平面；
【例8-2】如图，在正方体中，，分别为，的中点．
求证：平面；
【解析】如图示：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的边长为2，则，，，，
，，，，，．
所以，，，，．
因为，所以．
同理可证：．
又，平面，平面，
所以平面．
题型九、证明平面和平面垂直
【例9-1】如图，在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，．．
求证：平面平面ABCD；
【解析】取的中点，取的中点，连接，因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以两两垂直，故以为原点，
以所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
因为．，
所以，，，
所以
，
设平面的一个法向量为，
，
，即，取，则；
设平面的一个法向量为，
，
，即，取，则；
因为，故平面平面；
【例9-2】如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．
证明：平面平面；
【解析】据题意，建立如图空间直角坐标系．
于是：，，，，，
∴，，，
因为，
∴，即，
又，
∴，即，
又∵，平面且，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
【例9-3】在三棱台ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点．
证明：平面A1BC⊥平面POB；
【解析】证明：连接A1O设A1B1=1，则AB=BC=C1C=2，
AC=，A1C1=
因为C1C⊥平面ABC，O为AC的中点，所以A1O⊥平面ABC，
因为AB=BC，所以BO⊥AC．
以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O－，
则A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0），
（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．
因为，
所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．
因为，所以A1C⊥平面POB．
因为平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．
题型十、求两异面直线所成角
【例10-1】如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图（1），在上取点，使，连接，，，，．
易知四边形为矩形，则，且．
连接，．因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，且．
连接，则，且，
所以四边形为平行四边形，则，
所以或其补角是异面直线与所成的角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．又，
所以．故选：D．
【例10-2】如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．
（1）求的长；
（2）直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）由题意，，，
．
（2），，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
【例10-3】已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
【例10-4】如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为
y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知，，，
所以，，
则，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为．
【例10-5】如图，在几何体中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．
（1）证明：平面；
（2）若，设为棱上的点，且满足，求当几何体的体积取最大值时，与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：过点作交与点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，且，平面，
平面；
（2）过点作交于点，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又因为平面，所以．
平面，到平面的距离相等，
且，四边形是平行四边形，,
，又平面，平面，平面，
.
由得.
由，得，
，
又，令，
则，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，当且仅当时取得最大值．
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设与所成角为，则，
即当几何体体积最大时，与所成角的余弦值为．
【例10-6】如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）如图，连接，因为，为中点，
所以，由平面，平面平面，
平面平面，
故平面；因为平面，所以；
因为，，且，平面
所以平面；
而平面，所以.
（2）由（1），且为平行四边形，所以，
因为，所以
由于四棱锥的体积为，
故，解得；
如图，以为坐标原点，
，方向为，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
因为为的中点，且，所以，
所以，
设异面直线与所成角为，，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为
题型十一、求直线与平面所成角
【例11-1】如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图建立空间直角坐标系，，，，
则有：，，
设平面PAE的法向量，则有，
令，则，即
∴，
即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为．
【例11-2】已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，
过点作于G，连接，
由题意可知：且，
因为平面，所以平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值是.
【例11-3】如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
因为平面，所以直线与平面所成角为，
其正弦值为，
，
当时，，
所以，则，
所以直线与平面所成角正弦值的取值范围是.
【例11-4】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点在底面的射影为中点，则平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，
EMBED Equation.DSMT4 、、的方向分别为、、轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【例11-5】如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小．
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以．
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为．
【例11-6】如图，在四棱锥中，底面，，点在棱上，，点在棱上，．
（1）若，为的中点，求证：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．
【解析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，，
设，则，解得，
则，即，，，四点共面．
（2）由（1）中的空间直角坐标系，
可得，，，
设，（其中），且，
则，解得，
可得
设平面的法向量为，由，
取，可得，所以
设直线与平面所成角为，则，当且仅当时等号成立．
直线与平面所成角的正弦的最大值为．
题型十二、求平面与平面所成角
【例12-1】如图所示圆锥的正视图是边长为2的正三角形，AB为底面直径，C为的中点，则平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的正切值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取AB的中点O，连接OC，AB为底面直径，C为的中点，
所以三角形ABC是等腰直角三角形；
易知OA⊥OC．过O作OH垂直AC于H，连接SH，OS．
因为SO⊥底面，所以SO⊥AC. 且,
所以AC⊥平面SAC；所以AC⊥SH;
所以∠SHO为平面SAC与底面ABC所成的锐二面角的平面角，
可求得，;
所以.
【例12-2】如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．
因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．又因为，
平面，所以平面．
（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，
由（1）知，所以，
即底面三角形是直角三角形．
设，则在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，
即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，
（另等积转化法：
易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）
下面求二面角的正弦值：
法一：由（1）得平面，因为平面，所以．
又因为，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
法二：由（1）知两两相互垂直，
如图，以点E为原点，所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则．
由（1）知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由，
得，即，即，取，得．
设二面角的平面角为，
，所以二面角的正弦值为
【例12-3】如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
（1）在线段上是否存在点F，使得平面 说明理由；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
【解析】（1）记中点为M，连结，为正三角形，,则，且.
因为平面平面，平面平面，平面ACD,
所以平面，
又因为平面，所以.
延长交于点G，则为平面与平面的交线，
因为，故，所以B为的中点，
取中点F，连结，则，
因为平面 ，平面，所以平面.
即线段上存在点F，当时，平面.
（2）连结，则为平面与平面的交线，
在平面内，过点B作的垂线，垂足为H.
连结，因为平面，平面，故,
平面，故平面，
平面，故,
则为平面与平面所成的二面角的平面角.
为正三角形，，故，则,
且,
故在中，，
故，而，
故,又因为，所以，
即平面与平面所成的锐二面角的正切值为.
【例12-4】在四棱锥中,底面ABCD是等腰梯形,,,平面平面PCD,．
（1）求证:为直角三角形;
（2）若,求二面角的大小．
【解析】（1）证明:在等腰梯形ABCD,,,
过点做,E为垂足,连接,如图所示:
所以,即，
在中,由余弦定理可得：，
解得:,所以,
因为,平面平面PCD,
平面平面,
所以平面ADP,所以,
因为,平面ACP,平面ACP,
所以平面ACP,所以,即,故为直角三角形;
（2）由（1）知,平面ADP,所以,
在直角三角形中,,,所以,
在直角三角形中,,,所以,
过A作于F,则平面PCD,
因为,所以为直角三角形,
根据等面积法:,所以,
以P为原点PC,PD分别为x,y轴,过点P做的平行线为轴,建立如图坐标系,
则
,,
在平面PAB中,设其法向量为,
,,
则，取,则,
在平面ACP中,设其法向量为,,,
则有,取,则,
令,则,
由图可知二面角为锐角，故其大小为.
【例12-5】如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．
所以二面角的正弦值为.
【例12-6】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
（1）证明：平面平面
（2）当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【解析】（1）证明：因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为正方形，，所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（2）当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，
则，令，则，
设为平面的法向量，
则，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，
所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
【例12-7】如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
（1）是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
（2）二面角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）存在．理由如下：
方法一：如图，在上取点，且满足，
再过作的平行线交于点，
则，且，
又，且是的中点，，
，是平行四边形，
，不在面内，平面，
平面且，
在中，，．
方法二：，，，
连接并延长至于交于点，
，在中，，
在中，在上取点，使得，
而，则，
又不在面内，平面，平面，
在中，，．
方法三：在上取点，在上取点，
使得，则，平面，
故平面，而
而，故是平行四边形，
故平面，
故平面，而，
故平面平面，而平面，
得平面平面，
在中，，．
（2）如图建立空间直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,过点A作面ABCD的垂线为z轴，
则，，，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则，故是平面的一个法向量，
设，，
，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则是平面的一个法向量，
则，解得或（舍去）．
所以．
【例12-8】如图，四棱锥中，平面，梯形满足，，且，，为中点，，．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：以点为坐标原点，向量 方向分别为 轴的正方向建立坐标系，
则，，，，，，
所以，因为，设，则，
所以，解得，
所以，同理可得，
∴，，，
令，则，
∴，∴，∴，∴ 四点共面．
（2）由（1）可知，，，∴，．
设平面的一个法向量为，则，即，则，令，则．
取平面的一个法向量为，
则，所以，
∴二面角的正弦值为．
【例12-9】如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；
（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：
【解析】（1）过点A作直线，交直线BC于点M，则，
，
以点A为原点，直线AM AD AP分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，
则，
设点，，
设平面PEA的一个法向量为，
则，取，得，
设平面PED的一个法向量为，
则，取，得，
若平面平面PED，则，，
解得：或．
故点E是BC中点或与点C重合时，平面平面PED．
（2）平面ADE的一个法向量为，
，
，均为锐角，．
题型十三、空间中的距离问题
（一）求点到点的距离
【例13-1】如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：
，，，，，可得：
设，且则有：，
可得：
则有：
故
则当且仅当时，
（二）求点到直线的距离
【例13-2】在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.
【答案】；
【解析】在正方体中，连接，
如图，对角面为矩形，
因为点分别是棱的中点，
则，而，
即平面截正方体所得截面为梯形，
显然过点与平面平行的平面交平面、平面
分别于，因此，连，
平面、平面与平面分别交于，，
因此，而，即四边形为平行四边形，
于是，即点M为的中点，
同理为中点，，因为动点始终满足平面，
于是平面，又在侧面上，
所以点的轨迹是线段，轨迹长为；
以点D为原点建立空间直角坐标系，则，
则，令，
则有，，
于是点到直线的距离
，
当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
【例13-3】某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
【解析】（1）（1）由长方体可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，．
所以．
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
故与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，，，所以，
假设存在这样的点P，设，由题意可知，
所以，因为，
则有，所以，又，
所以，解得（舍），，
所以当时，，此时点到直线的距离为．
（三）求点到平面的距离
【例13-4】已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图1，设正三棱锥的底面外接圆的圆心为，外接球的球心为，
为的中点，的外接圆的圆心为，
所以在正三棱锥中有：平面，平面，
因为为等边三角形，
所以为的重心，且边长为3，
所以，
因为平面，平面，所以，
所以在中，，
设，
所以在中，，所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得：，
又平面，平面，所以，
所以在中，，
由图2：当共线时，点P到平面SAB的距离有最大值为.
【例13-5】在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．
【解析】（1）设平面与平面的交线为，
因为平面，平面平面，平面
所以．
由正方体知，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以
取中点，连接，易知，所以，
又因为为中点，所以为中点．
以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则有，其中
设平面的法向量为
则有，不妨取，
则
所以，
当，即点与点重合时，取等．
所以点D到平面AEF的最大距离为．
【例13-6】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
【解析】（1）证明：由题知，
因为，所以，
又，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
在正三角形中，为中点，于是，
又，所以平面
（2）取中点为中点为，则，
由（1）知平面，且平面，所以，
又，所以，所以平面，
于是两两垂直
如图，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
所以
设平面的法向量为，
则，即令，则，于是
设，则
由于直线与平面所成角的正弦值为
于是，
即，整理得，
由于，所以，于是
设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离为
（四）求直线到直线的距离
【例13-7】如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1，；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．求异面直线DE与的距离.
【答案】
【解析】因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，故．
所以异面直线DE与的距离为.
【例13-8】已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1；（2）存在，或
【解析】（1）∵侧面为正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中点G，
则，∴平面.
∴.
（2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设，则，，.
设与，均垂直的向量为，
则，即，取，
∴异面直线BF，DE的距离，
解得或.∴或.
故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，
且此时或.
【例13-9】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
即，
，即，，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是．
（五）求直线到平面距离
【例13-10】如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】连接交于点，连接，
∵分别为的中点，则，
且平面，平面，∴平面，
则点到平面的距离相等，设为，
则，两点之间距离的最小值为，
即点到平面的距离为，
∵的中点在上，则点到平面的距离为，
由题意可得为，
由，则，解得，
故，两点之间距离的最小值为.
【例13-11】在四棱台中，底面是正方形，且侧棱底面分别是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如下图所示，
连接，则O是AC的中点，E是的中点 ，
∴，平面， 平面，平面，
又F是 的中点， ，
平面， 平面， 平面 ，
又 ， 平面OEF， 平面OEF ，
∴平面OEF 平面 ；
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为y轴，
建立空间直角坐标系如上图，
则有 ，
由于 平面，
直线EF与平面 距离就是E点到平面的距离，
设直线 与平面法向量的夹角为，
，
设平面的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，令，则，；
，点E到平面的距离为 ；
综上，直线EF到平面的距离为 .
（六）求平面到平面距离
【例13-12】已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体的性质，∥，∥，
，，
易得平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
连接，由，，且，可知平面，
得平面的一个法向量为，则两平面间的距离．
【例13-13】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
（1）直线与平面的距离；
（2）平面与平面的距离．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建
立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，
则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，
平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）因为平面平面，
则平面与平面的距离为.
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