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高考中的数列综合题选讲
1.（2006陕西文、理）已知正项数列，其前n项和Sn满足10Sn=＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项an.
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
2.（2007山东理）设数列满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=. (Ⅰ)求数列的通项；
（Ⅱ）设bn=，求数列的前n项和Sn.
解: (I)
验证时也满足上式，
(II) ，
，
3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … ,
因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 :
an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 +  = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以, =  － ) = ×( － ) < 
4．（2005湖北文）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.
解：（1）：当
故{an}的通项公式为的等差数列.
设{bn}的公比为
故
（II）
两式相减得
5.(1994全国文)设数列｛an｝的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有
证明｛an｝是等差数列.
证法一：令d=a2－a1.
下面用数学归纳法证明an=a1+(n－1)d(n∈N).
(1)当n=1时上述等式为恒等式a1= a1.
当n=2时，a1+(2－1)d= a1+( a2－a1)= a2，等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，ak=a1+(k－1)d.由题设，有
Sk=，Sk+1=，又Sk+1= Sk +ak+1
∴(k+1)
把ak = a1+(k－1)d代入上式，得
(k+1)( a1+ ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1.
整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d.
∵ k≥2，∴ ak+1= a1+kd.即当n=k+1时等式成立.
由(1)和(2)，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.
证法二：当n≥2时，由题设，
，.
所以an= Sn－Sn－1= －
同理有
an+1= －.
从而an+1－an=－n(a1+an)+ ，
整理得 an+1－an= an－an－1=…= a2－a1
从而{an}是等差数列.
6.（2006福建文）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列满足证明是等差数列。
（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得

　　
（III）证明：

　　　　　　　　 ①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即

是等差数列。
7．（2004全国Ⅰ卷理）已知数列，且 a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(－1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k
= a2k－1+(－1)k+3k,
所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,
同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……
a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)
=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],
于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k－1.
{an}的通项公式为：
当n为奇数时，an=
当n为偶数时，
8.（2006安徽理）数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解：由得：，即，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，所以，对成立。
由，
，
9.(2007广东理).已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（α>β）.f′(x)是f(x)的导数.设a1＝1，an+1=an-(n=1,2,…). (1)求α、β的值；
(2)证明：任意的正整数n，都有an>a; (3)记bn=(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1) 由 得
(2)(数学归纳法)①当时,命题成立;
②假设当时命题成立,即
,又等号成立时
时,时命题成立;由①②知对任意均有.
(3)
同理
又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;
.
10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令，求函数在点处的导数
解：由已知
可得两式相减得
，即
从而
当时,，所以
又所以，从而
故总有，
又，从而,
即数列是以为首项，2为公比的等比数列；
（II）由（I）知
因为所以
从而=
=-=.
11．（2007辽宁文）已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式．
（Ⅰ）解：由题设得，即，
所以数列是公差为2的等差数列，又c1=3,
其通项公式为
（Ⅱ）解：由题设得，令，则
。
易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为
d＝
由于解得
a＝。
求和得。
12.(2005上海文、理)假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,
则bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

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