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人教版八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式 导学案
【知识清单】
完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
细节剖析
公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
【典型例题】
考点1：运用完全平方公式进行运算
例1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
考点2：通过对完全平主公式变形求值
例2．若，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先把原式化成，运用完全平方公式得到，然后整体代入即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式和整体代入求值．
考点3：求完全平方式中的字母系数
例3．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】．D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：多项式是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
考点4：完全平方式在几何图形中的应用
例4．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A． B． C． D．
【答案】．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】设，
∵长方形的周长是，长方形的面积是，
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键．
考点5：整式的混合运算
例5．如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入，即可求解．
【详解】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
考点6：完全平方公式在几何图形中的应用
例6．已知a、b、c是的三边长，且满足，那么据此判断的形状是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】．A
【分析】利用完全平方公式，实数的非负性，等边三角形的判定计算选择即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是等边三角形，
故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
3．已知且，则下列正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．若，，则（ ）
A．5 B．1 C．13 D．7
5．若多项式是一个完全平方式，则的值应是（ ）
A．或 B． C． D．或
6．下列式子中是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形（阴影部分），再将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）

A． B．
C． D．
9．若，，则的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则（　　）

A． B． C． D．
12．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，盒底底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为，若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．不能确定
二、填空题
13．计算： ．
14．已知，，则的值为 ．
15．如果是一个完全平方式，那么的值为 ．
16．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．

17．对于实数a、b，定义一种新运算：，例如：，那么 ．
18．如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是 ．

三、解答题
19．用简便方法计算
(1)；
(2)．
20．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21．已知常数、、是的三条边长．
(1)若是完全平方式，求的值；
(2)在（1）的条件下，若，满足，试判断的形状．
22．小思同学学习了教材45页用图来解释完全平方公式．回家后看到家里装修后裁下的瓷砖，他便拣了五块如图所示的瓷砖，其中四块是大小相同的长方形，另外一块是正方形．想利用这些废瓷砖（不再裁）在院子的地面铺个正方形图案，铺好后，发现图案也刚好能解释完全平方公式，你能在网格图中帮小思同学还原他的图案吗？并在下方推导说明对应的完全平方公式．

23．先化简再求值，其中
30．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．

(1)观察图2，试猜想式子，，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)根据（1）中的数量关系，解决问题：已知，，求的值．
参考答案
1．A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A正确，符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．
2．D
【分析】分别依据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和完全平方公式的法则进行求解，然后判断正误即可．
【详解】解：、，本选项错误，不符合题意；
、，本选项错误，不符合题意；
、，本选项错误，不符合题意；
、，本选项正确，符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式以及同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．A
【分析】将变为，两边平方后都加即可求出答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
5．D
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．
【详解】解：是完全平方式，
，
解得：，
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
6．A
【分析】式子称为完全平方式，据此即可判断．
【详解】解：A、，故是完全平方式；
B、，不是完全平方式；
C、，不是完全平方式；
D、，不是完全平方式；
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟知完全平方式的形式是关键，注意：与都是完全平方式．
7．A
【分析】由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长即可．
【详解】解：设拼成的矩形一边长为x，
则依题意得：，
解得，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
8．A
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
9．D
【分析】先化简，后代入求值即可．
【详解】
，
，时，
原式，
故选D．
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练运用平方差公式等运算化简是解题的关键．
10．D
【分析】根据整式的乘法运算，乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的运用即可求解．
【详解】解：、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查乘法公式的运用，掌握整式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式的运算是解题的关键．
11．C
【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系．
【详解】如下图

则空白部分的面积+
化简得：
∵
∴
化简得：
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．
12．C
【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较与的大小．
【详解】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A，B，C的边长为b，
由图1，得，
由图2，得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，利用正方形四条边相等的性质分别得出S1和S2的面积是解题关键．
13．
【分析】直接根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：公式中的，可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和或差的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
14．
【分析】利用完全平方公式之间的转化进行计算，即可解答；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．/10和/和10
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
16．
【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式．
【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键．
17．/
【分析】根据定义新运算的法则，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的混合运算．解题的关键是掌握定义新运算的法则．
18．
【分析】根据图形中面积两种求法验证即可．
【详解】解：大长方形的面积，
大长方形的面积，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式与图形的面积关系，解题的关键是正确用两种方法表示出矩形的面积．
19．(1)8099
(2)400
【分析】（1）运用平方差公式进行计算即可；
（2）运用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．
20．(1)17
(2)16
【分析】（1）根据完全平方公式变形，再代入求出即可；
（2）根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵
，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，能正确根据公式进行变形，是解此题的关键．
21．(1)5
(2)等腰三角形
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值；
（2）将已知等式变形为：，然后利用非负数的性质求得、的值；然后等腰三角形的判定方法推知为等腰三角形．
【详解】（1）解： 是完全平方式，
，
解得或（舍去）．
故的值是5；
（2）由，得，
则：，，
故，．
由（1）知，．
故．
所以为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，等腰三角形的判定以及完全平方公式等知识点，解题时，需要注意：常数、、是的三条边长，所以它们都是正数．
22．见解析
【分析】将五块瓷砖如图摆放可得，整个图形为正方形，其边长为，根据正方形面积公式，可将整个图形面积表示出来；再根据整个图形面积=四个小长方形面积加上+小正方形面积，也可将整个图形面积表示出来，最后根据两种方法表示面积相等，列出等式，再根据整式的混合运算法则进行推导即可．
【详解】解：如图所示进行摆放，

由图可知，大正方形边长为，
∴大正方形面积；
又∵大正方形面积，
∴，
∵，
∴①的左边，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和几何图形，解题的关键是正确拼出图形，根据图形和整式的混合运算法则推导出完全平方公式．
23．，
【分析】先根据整式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由组合图形求面积，在图1，图2中，分别求出4个小长方形面积之和，得出结论；
（2）由（1）知，，将已知代数式代入求解．．
【详解】（1）解：关系：；
由图1，4个小长方形面积之和，
由图2，4个小长方形面积之和，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握数形结合的思想是解题的关键．
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