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人教版八年级数学上册 14.3.1 提公因式法 导学案
【知识清单】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
细节剖析
落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
考点1：判断是否是因式分解
例1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，符合题意；
C、，这是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对因式分解知识点知识点的掌握．因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．
考点2：已知因式分解的结果求参数
例2．若二次三项式可分解为，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】．C
【分析】根据题意得到，再根据多项式乘多项式的乘法法则化简，进而求得．
【详解】解：由题意得，，
．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
考点3：公因式
例3．多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式．
【详解】解：
多项式分解因式时，应提取的公因式
故选：D
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
考点4：提公因式法分解因式
例4．分解因式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】提取公因式即得答案.
【详解】解：；
故选：A.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确提取公因式是解题的关键.
【巩固提升】
选择题
1．下列从左到右的变形中是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．9
4．若，则的值为（　　）
A． B． C．10 D．
5．将多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
6．多项式的公因式是，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
8．多项式因式分解的结果是（　　）
A． B． C．a D．
二、填空题
9．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．

10．若多项式因式分解得，则的值为 ．
11．多项式：与的公因式是 ．
12．分解因式： ．
三、解答题
13．如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
14．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
15．已知整式，整式．
(1)若，求的值；
(2)若可以分解为，求的值．
20．分解因式：
(1)
(2)
16．已知
（1）求的值
（2）化简代数式
17．你能很快算出吗
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为的自然数的平方，任意一个个位数为的自然数都可以写成（为自然数），即求的值，试分析，，，……这些简单情形，从中探索规律，并归纳猜想出的结论（在下面空格上填上你探索结果）．
(1)通过计算，探索规律
可以写成；
可以写成；
可以写成；
可以写成；……
，可以写成，
，可以写成
(2)从（1）题的结果，猜想，归纳，得 ，并利用整式运算的知识给予说明：
(3)根据上面的归纳猜想，计算出
参考答案
1．C
【分析】因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
【详解】、等号右边不是整式与整式的积，它不是因式分解，
则不符合题意；
、它是整式乘法运算，不是因式分解，
则不符合题意；
、它符合因式分解的定义，
则符合题意；
、等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，即为因式分解．
【详解】解：变形后是多项式与单项式的和的形式，故A不符合题意；
，等号的左侧不是多项式，故B不符合题意；
是单项式乘多项式的运算，故C不符合题意；
是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，能区分整式的乘方和因式分解的形式是解题的关键．
3．A
【分析】将展开，得到p，q的值即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查因式分解得逆运算，解题的关键是得出p，q的值．
4．A
【分析】把右边利用多项式乘法化成多项式乘法展开，再根据对应系数相等求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了分解因式与多项式乘法是互逆运算，利用系数对应相等求解是解题的关键．
5．D
【分析】根据因式分解的方法即可求解．
【详解】解：与与的公因式为，
故把分解因式时应该提取公因式是．
故选：D．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式的方法．
6．A
【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
7．D
【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．
8．B
【分析】直接提取公因式x即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
9．
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
【详解】解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
10．
【分析】利用整式乘法法则对展开，得到m、n的值，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法，熟知因式分解与整式乘法互为逆运算是解答本题的关键．
11．
【分析】先找到多项式的公因式，再结合单项式写出公因式解题即可．
【详解】解：，
，
与的公因式是；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，能熟练写出公因式是解题的关键．
12．
【分析】由，则可用提公因式法分解因式．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）图D的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为的正方形，三个长为宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和；
（2）根据图D的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．
【详解】（1）解：图D的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积：，也可以看做一个边长为的正方形，三个长为宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和：；
（2）解：由（1）得．
【点睛】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．
14．，
【分析】设另一根因式为，可得，再建立方程组，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵二次三项式有一个因式是，
∴设另一根因式为，
∴，
∴，解得：，
∴另一根因式为：．
【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；
（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案；
（2）先提取公因式，再合并即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
17．（1）；（2）20
【分析】（1）根据平方差公式得到，代入即可；
（2）由（1）可解出a，b的值，再化简代数式计算即可．
【详解】解：（1）
又∵ ，
∴
（2）
由，解得
∵
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，以及整式的化简求值问题，解题的关键是掌握运算法则．
18．(1)；
(2)；说明见解析
(3)
【分析】（1）认真阅读，总结规律：十位数（十位数），然后按规律改写和即可；
（2）根据规律：十位数（十位数），改写即可；根据完全平方公式，展开，提取前两项公因式即可证明；
（3）根据（2）的结果：，计算即可．
【详解】（1）解：总结规律：十位数（十位数），
；；
故答案为：；；
（2）解：根据规律：十位数（十位数），；
说明过程：
；
故答案为：；
（3）解：根据（2）的结果：，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式运算、提取公因式法、找规律相关知识，通过观察发现变和不变的部分，从而找到固定的规律是解题的关键．
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