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人教版八年级数学上册 14.3.2 公式法 导学案
【知识清单】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
细节剖析
落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
考点1：运用平方差公式分解因式
例1．可以被和之间的某个数整除，则这个数可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】假设能被分解，只有分解成或的两个因数时满足题意，计算与判断即可．
【详解】解：若能被和之间的某个数整除，
则需满足能分解成或的两个因数，
即和时，
故选：B．
【点睛】本题考查了分解因式的应用，合理的假设推算是解题关键．
考点2：运用完全平方公式分解因式
例2．下列变形中，是因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【分析】一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、不能分解因式，不符合题意，选项错误；
B、，原因式分解正确，符合题意，选项正确；
C、，结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
D、，原因式分解错误，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的结果是整式的乘积的形式，且分解到不能再分解为止．
考点3：因式分解在有理数简算中的应用
例3．若，则k的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．204
【答案】．D
【分析】移项后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用平方差公式进行简便运算．
考点4：十字相乘法
例4．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．C
【分析】根据提公因式，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法因式分解，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点5：分组分解法
例5．把多项式因式分解之后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
考点6：因式分解的应用
例6．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱数学 B．我爱数学 C．我爱国 D．我爱祖国
【答案】．B
【分析】对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息．
【详解】解：∵
，
分别对应4个汉字：我，爱，数，学．
则呈现的密码信息可能是：我爱数学．
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是( )
A． B． C． D．
2．已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17
3．若，则值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．把因式分解得（ ）
A． B．
C． D．
5．将分解因式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022
7．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
8．已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（ ）
A． B．
C． D．
9．当互为相反数时，代数式的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．1
二、填空题
10．给出下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能够因式分解的是： （填上序号）．
11．若，则 ．
12．用完全平方公式填空： ．
13．计算： ．
14．为自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ．
三、解答题
15．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
16．分解因式：
(1)
(2)
17．因式分解：
(1)
(2)
18．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
19．阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
解：设另一个因式为，由题意，得
，
，
所以，解得．
所以另一个因式为，的值为．
提出问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
20．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
解题过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若，为非零实数，，且，求的值．
21．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图，可得等式：

(1)如图，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的方法表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来；

(2)若，，利用（1）中所得结论，求的值；
(3)如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；

(4)小明用3张边长为的正方形，2张边长为的正方形，5张边长分别为，的长方形纸片重新拼出一个长方形，直接写出该长方形的周长为______．
参考答案
1．D
【分析】根据平方差公式，完全平方公式的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，能运用平方差公式分解，故选项A不符合题意；
B、，能运用平方差公式分解，故选项B不符合题意；
C. 能用完全平方公式分解，本选项C不符合题意；
D、不符合完全平方公式结构，故选项D符合题意；
故选D
【点睛】能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍．
2．D
【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.
【详解】
∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.
3．A
【分析】利用完全平方公式和绝对值的非负性求出x、y值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方公式、绝对值的非负性，会利用非负数的非负性求解是解答的关键．
4．C
【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.
【详解】解：；
故选：C.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.
5．C
【分析】先提公因式，进而可利用公式法分解因式．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查综合利用提公因式法和公式法分解因式．掌握相关方法是解题关键．
6．B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．
【详解】解：
∴能被2022，2023，2024整除，
故选B．
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解．
【详解】解：多项式可分解为，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
8．A
【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题．
【详解】解：设，
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键．
9．C
【分析】根据相反数的定义得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，相反数的定义，正确得到是解题的关键．
10．②④⑤⑥
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
【详解】①，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
②，故可以因式分解；
③，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④，故可以因式分解；
⑤，故可以因式分解；
⑥，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.
11．2023
【分析】根据平方差公式将：化成，再进行计算，结合即可求解．
【详解】解：
∵
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式是正确解答的关键．
12．
【分析】运用完全平方公式，结合“整体”思想．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式；掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
13．
【分析】根据逆用同底数幂的乘法，因式分解，进而即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘方，因式分解，熟练掌握因式分解，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
14．2
【分析】，再设两个连续自然数分别为，，分情况列方程组求解即可．
【详解】解：，
设两个连续自然数分别为，，
，
解得：，
，
解得：此情况不符合题意，舍去．
的值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解法．
15．(1)
(2)
【分析】（1）连续利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键，解答此类型题目时需特别注意因式分解必须彻底．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于选择合适的方法进行因式分解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．(1)4
(2)
【分析】（1）把原式化为，再进行简便运算即可；
（2）把原式化为，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟记平方差公式的特点是解本题的关键．
19．(1)
(2)另一个因式为，的值为85
【分析】（1）设另一个因式为，由题意得，从而得到，进行计算即可得到答案；
（2）设另一个因式为，由题意得： ，从而得到，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
，
解得：，
另一个因式为，
故答案为：；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
，
解得：，
另一个因式为，的值为85．
【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将组合成完全平方公式，即可进行因式分解；
（2）将分别组合，即可进行因式分解；
（3）将整理得，再利用分组分解法可得，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式以及应用．熟练掌握相应方法，进行正确分组是解题关键．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）大正方形的面积通过两种不同的方法计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据题意可得阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，进行计算即可解答．
（4）根据题意得出长方形的面积，进而因式分解即可求解．
【详解】（1）解：大正方形的面积，
又大正方形的面积=，
∴
（2）解：由（1）可得：
∵，
∴
．
（3）解：∵，，
∴阴影部分面积为
．
（4）解：依题意，,
∴长方形的边长分别为,
∴长方形的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，完全平方式，熟练掌握因式分解是解题的关键．
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