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人教版八年级数学上册 15.1.1 从分数到分式 导学案
【知识清单】
分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
细节剖析
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
【典型例题】
考点1：分式的判断及规律性问题
例1．观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
……
由此看出，，，，……（为正整数）的值是按照n，，每3个一循环，依次循环下去，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
考点2：分式的意义
例2．若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】利用分式有意义的条件：分母不为0，进行计算即可．
【详解】解：分式有意义，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
考点3：分式的求值
例3．若分式，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．
考点4：求使分式值及取值范围
例4．对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】．A
【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值．
【详解】解：，
∵x为非正整数，分式的结果正整数，
∴x取值为，0，
∴x的个数有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（ ）分钟
A． B． C． D．
4．下列分式中，有意义的条件为的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式的值为0，则x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
7．分式的值，可以等于（　　）
A． B．0 C．1 D．2
8．使分式的值为正数的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．使分式的值为整数的所有整数x的和为（ ）
A．8 B．4 C．0 D．
二、填空题
10．小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
11．若分式有意义，则实数x的取值范围为 ．
12．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为 ．
13．当x 时，分式的值为正数．
14．若分式的值是整数，则x可以取最小整数的值是 ．
三、解答题
15．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．
16．“因为，而x取任意实数x都有意义，所以使分式有意义的条件是x为任意实数．”你认为这种说法对吗？如果对，请说明依据；如果不对，请说明理由，并写出使分式有意义的x的取值范围．
17．若时分式无意义，时，分式的值为零，求分式的值．
18．已知，求的值．
19．当的取值范围是多少时，
(1)分式有意义；
(2)分式值为负数．
20．在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
(1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
(2)若分式的值为整数，求出整数m的值；
(3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
参考答案
1．C
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：在，，，中，是分式，
故选：C
【点睛】此题考查了分式，分母中含有字母的代数式是分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．B
【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案.
【详解】解：∵，，，，……
∴第个代数式为：，
当是，第9个代数式为：，
故选B
【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键.
3．B
【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可．
【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）；
故选B
【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键．
4．A
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 有意义，，解得，故该选项符合题意；
B. 有意义，，解得，故该选项不符合题意；
C. 有意义，，解得，故该选项不符合题意；
D. 有意义，，解得，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0，是解题的关键．
5．C
【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程，解方程即可．
【详解】∵分式无意义，
∴，
解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件．
6．C
【分析】分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，再建立方程与不等式解题即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，，
∵，
∴，解得：，
当时，，舍去，
当时，，符合题意，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，利用平方根的含义解方程，熟记分式的值为0的条件是解本题的关键．
7．D
【分析】根据分子、分母的取值范围进行判断即可．
【详解】解：∵，，且，
∴的值不可能是、0、；当时，分式的值等于2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的求值，正确得出分子、分母的取值范围是解题的关键．
8．D
【分析】根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵分式的值为正数
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
9．B
【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可．
【详解】解：的值为整数，
为7的因数，
，或．
又为整数，
，或，或，或，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
10．
【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．
【详解】解：由给出的式子的特点，
即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，
由此可得第6个式子是．
故答案为．
【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理．
11．
【分析】根据分式有意义时分母不为0，列式计算即可求出x的取值范围.
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
则实数x的取值范围是：．
故答案为．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，明确当分母不为0时分式有意义是解答本题的关键.
12．
【分析】设，得出，根据不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，得出，且，求出，，代入求出结果即可．
【详解】解：根据题意设，
则，
整理得：，
∵不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，
∴，且，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是根据题意得出．
13．/小于5
【分析】根据题意可知分子，只要分母即可求解．
【详解】解：分式的值为正数，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，根据题意列出不等式是解题的关键．
14．
【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值．
【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数，
或或，
或或或或或，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键．
15．(1)
(2)猜想第个等式为，理由见解析
【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立．
【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：．
故答案为：；
（2）猜想第个等式为．
理由：左边
，
∴左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
16．见解析
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零判断求解．
【详解】解：不对，x作为分式的分母，分母不能为零，
则．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分母不等于零．
17．
【分析】根据分式无意义和值为零分别得到，，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意可得：
，，
解得：，，
∴．
【点睛】此题考查分式的值为零的问题和分式有意义的条件，解题的关键是掌握值为零和有意义的相应条件．
18．
【分析】令，得到，代入求值即可．
【详解】解：令，
则：，
∴．
【点睛】本题考查分式的求值．解题的关键是掌握设参法．
19．(1)
(2)
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案；
（2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
时，分式有意义；
（2）解：，，
，
，
时，分式值为负数．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法．
20．(1)①④；②
(2)
(3)
【分析】（1）由题意①④分子的次数小于分母的次数，是真分式；②分子的次数大于分母的次数，是假分式；③不是分式；
（2）分式的值为整数，则的值为或，计算求解即可；
（3）先将分式化为整式与“真分式”的和，则的值为或，计算求解即可．
【详解】（1）解：由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【点睛】本题考查分式的计算，如何理解题意进行正确运算是解题的关键．
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