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初圣场偏生
中考满分数学柑·会·涌
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∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE,
.△BAE≌△BAG,∴BE=BG=BF+GF=BF+
DE.设BC=a,则AB=4+a,BF=4-a.在
Rt△ABF中，42+(4-a)2=(4+a)2,解得a=
1,.BC=1,BF=3.设BE=b,则DE=b-3,
CE=4-(b-3)=7-b.在Rt△BCE中，12+
（-6yP=,解得6=亭BG=BE=汽
5e=5=×x4=9
图③
5.解：(1)如图①，延长MB到G,使BG=DN,
专题13“一线三等角”模型
针对训练1：
解：由题意，得∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°，由
“一线三等角”模型可得△FGD∽△GEB,
FC_DC_FD设FG=x,则AF=x,DF=
GE EB GB'
8-x,设GE=y,则AE=y,BE=8-y,代入
前边的比例式中，号子6己，。兰，解得
图①
y=BE=号
连接AG,∴.△ABG≌△ADN,∴.AG=AN,BG=
针对训练2：
DN,∠1=∠4，，∠1+∠2=∠4+∠2=
解：8理由如下：分别过点C,E作BA的垂线，
LMAN=子∠BAD,.LGAM=∠MAN.又
垂足分别为点M,N.易证△DMC≌△END.
AM=AM,.△AMG≌△AMN,.MG=MN.
MG=BM+BG,·MN=BM+DN.
(2)MN=BM-DN.证明：如图②，在BM上截
取BG,使BG=DN,连接AG,,△ADN≌△ABG,
AB=AC=5.BG=45..mABG=
得CM=4,BM=8.设BD=x,则EN=DM=
8-x,Sm=2(8-)=-+4当
x=4时，S么e有最大值，最大值为8.
针对训练3：
解：y=公
理由如下：过点A作AD上x轴，过
图②
.AN=AG,∠NMD=∠GAB,.∠MAV=
点B作BCLx轴由y=,得S6m=
1
2∠DAB,
∠NAD+∠DAM=∠GAB+∠DAM=
∠MMG=2∠BMD,六∠MN=∠MG,
1
∴.△MAN≌△MAG,∴.MN=MG,.MN=
BM -DN.
(3)如图③，同理可证得MN=DN-BM.
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)圣场偏生
参考答案
由“一线三等角”模型得△BOC∽△OAD,则面
BE=4,BP=2,则PE=23;当x=4时，在
积比等于相似比的平方，
(0-2,得sc
△BEP中，∠B=60°，BE=4,BP=4,则
△BEP是等边三角形，，PE=4.故PE=2√3
子点B在第二象限，k=子，故y
或4.
1
-2x
2.解：132
2
理由如下：连接GA,过点F作FHI
针对训练4：
AP,交AP于点H.,GE⊥EF,,∠AEG=∠EFH.
解：(1)证明：：∠DPC=∠A=∠B=90°，套用
“一线三等角”模型可得△ADP∽△BPC,
品品AD:BC=APBR
(2)成立.套用“一线三等角”模型即可，方法
同(1).
(3)过点D作DE⊥AB于点E,'AD=BD=
AB=5,∴.AC=52,且CE=4AE,.CE=
10,AB=12,.AE=BE=6,DE=8.如
图，以D为圆心，以DC,为半径的圆与AB相
42,AE=2.CF=2,.CH=HF=2,则
切，DC,=DE=8,∴.BC,=10-8=2.
HF=AE.又.∠GEF=∠GCF=90°，则G,E,
AD=BD,∠A=∠B,.∠DPC1=∠A=
C,F四点共圆.在正方形ABCD中，∠ECG=
∠B.由(1)(2)的经验，得AD·BC,=AP·
45°，则∠EFG=∠ECG=45°，∴.GE=EF,
BP.又AP,=t,BP1=12-t,.t(12-t)=
∴.△GAE≌△EHF,∴.∠GAE=∠EHF=90°，
10×2,∴.t=2或t=10
△m△PHc,图得解得m:兰，
2
PE=132
2
3.解：(1)：四边形APCD为正方形，DP平分
∠APC,PC=PA,∠APD=∠CPD=45,
PE=PE,.△AEP≌△CEP.
(2)CF⊥AB.理由如下：△AEP≌△CEP,
∴.∠EAP=∠ECP.'∠EAP=∠BAP,∴.∠BAP=
测试闯关
∠FCP.又∠FCP+∠CMP=90°，∴.∠AMF+
1.解：(1)已知△ABC为等边三角形，∠MPN=
∠PAB=90°，.∠AFM=90°，CF⊥AB.
60°，由“一线三等角”模型得△BPE∽△CFP.
(3)如图，过点C作CN⊥PB,证明△PCN≌
再根据三等分点的定义，求得BP=4,PC=2.
△APB(AAS),则CN=PB=BF,PN=AB.
在Rt△BPE中，BE=2,.BE=PC,则
△BPE≌△CFP,.∴.PE=PF..·∠EPF=60°，
.△EPF为等边三角形
(2)用x分别表示出△ABC,△BPE,△PCF的
面积，SW边Er=SAARC一S△E一S△PeF,
y=5g5+6-9a
(3)由(1)中已得△BPE∽△CFP,在△BPE中，
∠B=60°，∴.∠BEP+∠BPE=120.:'∠MPN=
△AEP≌△CEP,，AE=CE,.C△AEr=AE+
6O°，∴.∠BPE+∠FPC=120°，.∠BEP=∠FPC.
EF +AF=CE EF +AF BN +AF PN PB+
又：∠B=LC,△BPE△Gm,÷8器-8g
AF =AB +CN +AF =AB +BF +AF =2AB =16.
专题14“手拉手”模型
设P=,则0P=6-,之-62解得=2
针对训练1：
或x=4.当x=2时，在△BEP中，∠B=60°，
解：△ABC和△CDE都是等边三角形，，△BCE≌
251)圣场偏哩
考愤型方法茱究篇
专题13“一线三等角”模型
“一线三等角”是一个常见的几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成
的相似图形.当其中一组对应边相等时，则相似变成全等.构造“一线三等角”的步骤如下：
找角；定线；构相似或全等.一般会有两种情况：(1)图形中已经存在“一线三等角”，直
接应用模型解题；(2)作辅助线，构造“一线三等角”全等或相似解题
引例热身>>》
1.已知：∠A=∠CPD=∠B.求证：△ACP∽△BPD.
B
第1题图
第2题图
2.已知：DP=PC,AC⊥AP,DB⊥AP,DP⊥CP.求证：AB=DB-AC
思路指引
1
外角性质
线三等角”
两组对应角相等
相似
垂市的定义
线三等角”
△1CP≌△BPD
别成边杆等
点拨分析
1.由外角性质，得∠CPD+∠DPB=∠A+∠C,∴.∠DPB=∠C.同理可得∠CPA=
∠D,即△ACP∽△BPD.如图所示，此图中的“三等角”在“一线”的同侧且为锐角，若变成
直角、钝角，结论仍然成立，
第1题答图
2.此图中的“三等角”在“一线”的异侧，由DP⊥CP,DB⊥AP,得∠DPB+∠APC=
∠DPB+∠D=90°，∴，∠APC=∠D.再由角角边判定△ACP≌△BPD,则AB=AP-BP=
DB-AC.
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)圣场偏生
中考满分数学柑·会·通
)典例串烧>>》
乌
例1如图，等边三角形ABC,边长为6，点D是BC边上的动点，
∠EDF=60
(1)求证：△BDE∽△CFD,
(2)当BD=1,FC=3时，求BE
思路指引
竿边三负形性质
“一线二铲布”相似
对应边成比例
例1题图
迷津指点根据等边三角形性质，得∠B=∠C=60°=∠EDF,则由“一线三等角”模
型可得△B0E一△CD由相叙的性质，得25故BE=号
大针对训练1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落
在对角线BD上的点G处（不与点B,D重合），折痕为EF,若DG=2,BG=6,求线段
BE的长
针对训练1题图
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圣场偏生考愤型方法深究第
例2如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,
将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE,求△ADE
的面积
恩路指引
例2题图
转化
求面积
求绽段长
作高
树造“一线等角
对应边相等
迷津指点，已知AD=2,过，点E作EN⊥AD,交AD的延长线于点N,
求出EN的长即可求出面积.考虑△CDE是等腰直角三角形，过点C作
CM⊥DN,交DN于点M,易证△END≌△DMC,∴.EN=DM=BC-AD=1,
故S△ADE=1.
B
大针对训练2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=45,D为边
例2题答图
AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则△BDE面积的最大值
为
R4
针对训练2题图
例3如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB
=∠B=30°，OA=2,将△AOB绕点0逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标
是
例3题图
思路指引
作线段
求华标
求线段长
构造“一线三等布”
对应边相等
三角函数求解
转化
105

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