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)圣场偏生
中考满分数学世·会·通
乌
专题15对角互补模型
对角互补的四边形是一类特殊的四边形，在中考中时有出现，这类试题多数都有公共
端点的相等线段，所以可以寻找全等三角形，或者以相等的两条线段为依托构造全等三角
形，或者利用旋转把分散的量集中到一起，从而得到相等的线段或角，对角互补可以转化
为等角、等线段加以利用.我们用从特殊到一般的思想方法研究这类题目的性质、特点以
及重要结论.
C)引例热身》
1.如图，以正方形的中心0为顶点作一个直角，直角的两边分别交正方
形的两边BC,DC于点E,F
(1)△BOE与△COF有什么关系？证明你的结论
(2)若正方形的边长为2，四边形EOFC的面积为多少？
2.如图，已知点O为边长是2的等边三角形ABC的中心，∠POQ=
第1题图
120°，求：
(1)AP+AQ的长
(2)四边形AP0Q的面积.
思路指引
1.(1)寻找等线段和等角
证川全等尚缺的条件
得全等
第2题图
(2)
旋转二角形
将四边形而积转化为三角形而积
求解二角形而积
2
十找隐合的相等型
作轼助发构造新的三角
证构造的三布肜全第
等积转摈
钱移线段
点拨分析
1.(1)由正方形的性质可得OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°，OB⊥OC.又因为∠EOF
是直角，所以得到有公共顶，点的两个直角.由等角的余角相等得∠BOE=∠COF.由ASA
可证△BOE≌△COF.
(2)由全等三角形的性质可得△BOE的面积和△COF的面积相等，因此四边形EOFC
1
面积和△0BC的面积相等，Sa#orc=S6c=SE待号n=于×
说明：题目的局部即四边形EOFC是对角互补的四边形，它的面积是定值，我们通过
旋转的方式，化一般为特殊，
2.因为点O是等边三角形ABC的中心，根据等边三角形及它的中心的有关性质，连
接OA,OB,OC,得OA=OC,∠PA0=∠QC0=30°，而∠P0Q=∠A0C=120°可得
∠POA=∠QOC,可得△AOP≌△COQ.由全等三角形的性质，通过等量代换，AP+AQ=
CQ+AQ=2,通过割补可知Sg造形o0=S△4oc=3
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)圣场偏生
考愤里方法深窕箱
)典例串烧>》
例1如图，Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，
∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，DM,DN分别与边AB,
AC交于E,F两点
(1)求证：△DEF是等腰直角三角形
D
(2)求证：BE+CF=AC
例1题图
(3)若BC的长为16，求四边形AEDF的面积.
思路指引
(1)
证边所在作的三角形全等
搜集全等条件，证出尚缺条件
(2)
山全等得等线段
将分散的日标堂戟移到同一直线上
(3)
将四边形分割成三形
利川全等通过剖补转化成三角形面积
迷津指点(1)只需证DE=DF即可.可选择证DE,DF所在的三角形全等，先由
ASA证明△AED≌△CFD,得出DE=DF,所以△DEF是等腰直角三角形
(2)由全等推出AE=CF,将相关线段转移到一条边上去，所以BE+CF=BE+AE=
AB=AC.
(3)根据全等三角形面积相等，进行等面积转换可得S选号=Sac=2CD=32,
大针对训练1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=8cm,点F是AB边的
中点，将∠AFC绕点F顺时针旋转，旋转角为a(0°≤α≤90°)，得到∠A'FC',∠A'FC的
两边分别与边AC,BC交于点D,E,连接DE.
D
备用图
针对训练1题图
(1)求证：△ADF≌△CEF
(2)求∠EDF的度数，
(3)当△EFB变成等腰直角三角形时，求CE的长
(4)在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由.
119)圣场偏生
参考答案
0
B00
点，PW=子D,PM∥BD,PN=AE,
PN∥AE,.PM=PN,.∠MGE+∠BIIA=
180°，.∠MGE=90°，∴.∠MPN=90°，
..PM⊥PN
(3)PM=kPN.理由如下：，'△ACB和△ECD
是直角三角形，，∠ACB=∠ECD=90°，
.∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,∴.∠ACE=
LBCD.BC C.CD KCE.
∠CAE=∠ACE=60°，.△ACE为等边三角
形，.AC=CE.由AAS可证得△CDA≌
.△BCD△ACE,.BD=kAE.点P,M,
△CBE,∴.AD=BE,已证△ACE为等边三角
N分别为AD,AB,DE的中点，PM=之BD,
形，.AD+AB=AE=AC.
(3)AD+AB=2AC.理由如下：如图，过点C
PN-AE.PM-PN.
作CE⊥AC交AB的延长线于点E.由AAS可
专题15对角互补模型
针对训练1：
解：(1)证明：∠ACB=90°，F是AB边的中点，
∴.∠A=∠B=45°=∠ACF=∠BCF,AF=
BF=CF,AB⊥CF,.∠AFC=∠A'FC'=90,
.∠AFD=∠CFE=a.在△ADF和△CEF中，
LAFD=∠CFE,
证得△CDA≌△CBE,.AD=BE,.AD+AB=
AF=CF...△ADF≌△CEF(ASA).
AE.在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴.△ACE
∠A=∠ECF.
是等腰直角三角形，AE=V2AC,AD+
(2)','△ADF≌△CEF,.DF=EF.·∠DE=
AB=√2AC
90°，∠EDF=45.
针对训练3：
(3)当∠EFB=90时，点E与C重合，CE=0,
解：(1)①证明：如图，点D,B关于CN对称，
△EFB是等腰直角三角形.当∠FEB=90°时，
D
点E运动到CB的中点，CE=4cm,△EFB是
等腰直角三角形
(4)在此运动变化的过程中，四边形CDFE的
面积保持不变.理由如下：S四边形c=S△cr+
1
1
B G F
SAcDF =SAuor+Acor=SAcr=2AR=
..AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠ACD=∠MCN=
2×8×8=16,·在此运动变化的过程中，四
1
45°，.∠DCM=90°.过点A作AG⊥BC于点
G,作AH⊥CD于点H,.AG=AH,∠AGC=
边形CDFE的面积保持不变.
∠AHC=∠DCM=90°，∴四边形AGCH是矩
针对训练2：
形，，∠GAH=90°.，AF⊥AD,.∠FAD=90°，
解：(1)证明：∠B=90°，∠DAB=120°，AC平
.∠FAG=∠DAH,∴△AGF≌△AHD(ASA),
分∠DAB,∠ACB=30,AB=2AC同
..AF =AD.AB =AD,.AF=AB.
理AD=2AC,AD+AB=AC
②CD+CF=2AC理由如下：由①知，四边
形AGCH是矩形，AG=AH,.矩形AGCH是正
(2)(1)中的结论成立.理由如下：如图，以
方形，.CH=CG,∠CAH=∠DCA=45°.由
点C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，
①知，△AGF≌△AHD,,FG=DH,∴，CD+
∠ACE的另一边交AB的延长线于点E,易知
CF=CH DH CG FG 2CH,.CH
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