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)是场偏哩
中考卡轴能力突破篇
乌
(二)二次函数的增减性及最值问题
专题22二次函数的增减性及最值问题
二次函数的增减性及最值问题是初中数学的核心内容之一，在中考中占有重要的地位.
此类问题，通常从两个方面进行考查：给定函数解析式及自变量的取值范围，确定函数最
值；给定函数解析式及含参自变量范围内的最值，确定自变量范围中待定字母的值.解决
此类问题的基本思路是从已知条件入手，结合图象和性质解决问题.分类讨论思想、数形
结合思想是解决这类问题最重要的思想方法，
个)引例热身>>
已知二次函数y=-x2+4x+6.
(1)当x为何值时，y有最值？最值是多少？
(2)当-2≤x≤3时，求函数的最值.
(3)当x≥4时，求函数的最值，
思路指引
而出函数图
过片交量的临界
留下垂线与啦物线交
利师函数增诚性
象及对称轴
点作x轴近线
点之问部分，擦栉区
决最值等问题
问外的抛胸线部分
点拨分析
(1)将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质解答.：y=-x2+4x+6=
-(x2-4x+4-4)+6=-(x-2)2+10,.当x=2时，y有最大值，最大值为10
(2)画出自变量范围内的函数图象，利用函数性质解答.如答图①画出函数图象，过点
(-2,0)和(3,0)作x轴垂线.，-2≤x≤3，.擦除两垂线左、右两边的部分.当x<
2时，y随x的增大而增大，.由-2≤x≤3知，当x=-2时，y取得最小值，最小值y=
-4-8+6=-6;当x=2时，y取得最大值，最大值y=10.
(3)如答图②画出函数图象，过点(4,0)作x轴垂线.，x≥4，，擦除垂线左边的部
分.当x>2时，y随x的增大而减小，在x≥4范围内，当x=4时，函数取得最大值，
最大值y=-16+16+6=6,无最小值.
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)圣场偏生
中考满分数学·会·
4-32111467苏
4--212367
-1
'-2
-3
图①
图②
引例热身答图
典例串烧>>》
例1(1)已知函数y=-x2+2x+1,当-1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的
取值范围是
(2)已知二次函数y=x2-2x-2,当n≤x≤2(n为常数且n<2)时，求该函数的最
大值，
思路指引
水出对称轴
画出指定范用周
内的两数图象
按与袖的位置
关系分类讨论
求出界值关于
利诚性
称轴的对称值
最值
迷津指点，因为抛物线对称轴两边的增减性不同，而顶点又在对称轴上，常常从对称
轴和自变量取值范围的相对位置进行分类讨论.
(1)二次函数y=-x2+2x+1的对称轴为x=1,分三种情况进行讨论：
第一种情况：如答图①，当-1≤a<1时，y随x的增大而增大，但y的最大值小于2，
故不存在值，使函数的最大值是2.
2
2
3a4元
43
-2
-2
-3
图①
图②
图③
180初是场偏生
中考满分数学世·会·通
B00
①当m+1≤-1，即m≤-2时，对应图象都争签乌图为
3
在对称轴左侧，因为γ随x增大而诚小，所以
当x=m+1时，函数值最小，即y城小=(m+
1)2+2(m+1)-1=2,解得m1=0(舍)，
m2=-4.
②当m<-1图象包括顶点，因为抛物线开口向上，所以此
时拋物线的顶点的纵坐标最小，即y小=
图④
-2≠2，不符合题意.
②如图⑤，当点Q落在线段AB的垂直平分线
③当m≥-1时，对应图象都在对称轴右侧，
W上时，0=专，可得2=专，解得
因为y随x增大而增大，所以当x=m时，函
2t
数值最小，即y最小=m2+2m-1=2,解得
‘s3
3
m1=-3(舍)，m2=1.
综上所述，当m=1或-4时，函数y的最小
值为2.
针对训练3：
解：本题解题的关键是：利用根的判别式△>0以
及二次项系数非零求出m的取值范围：根据m
的取值范围找出m的值，根据二次函数的增
图⑤
减性找出关于n的一元一次不等式。由抛物线
③如图⑥，当点Q落在线段BC的垂直平分线
与x轴有两个交点，可得出关于x的方程mx
上时，AP=PB,此时t=1,
-(2m+1)x+m-5=0有两个不相等的实数
根，利用根的判别式4>0结合二次项系数非
零，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围，进而求出m的
最小整数值.：二次函数y=mx2-(2m+1)x+
m-5的图象与x轴有两个公共点，.关于x
的方程mx2-(2m+1)x+m-5=0有两个不相
图⑥
〔m≠0，
综上所述。满足条件的：的值为子或莞或1
等的实数根，
([-(2m+1)]2-4m(m-5)>0,
(二)二次函数的增减性及最值问题
解得m>-方且m40.:m>名且m≠0，
m取其内的最小整数，，m=1,代人y=
专题22二次函数的增减性及最值问题
mx2-(2m+1)x+m-5中即可求得解析式，
针对训练1：
进而求得抛物线的对称轴为x=子，二次函数
解：a≥1理由如下：函数y=x2-2x-3=(x-
的解析式为y=x2-3x-4,.抛物线的对称轴
1)2-4的图象是开口朝上且以x=1为对称轴
的抛物线，当且仅当x=1时，函数取最小值
为x=一：子，根据二次函数的性质，结
-4.,函数y=x2-2x-3,当-1≤x≤a时，
合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是
函数的最小值是-4，.a≥1.
-6≤y≤24”，即可得出关于n的一元一次不
针对训练2：
等式，解之即可得出n的值.a=1>0,
解：函数y=x2+2x-1的对称轴为直线x=-1.
随若m的变化，就有(m,0),(m+1,0)与
当x≤子时，y随x的增大而减小又：当
对称轴x=-1有三种不同的关系：这两点在
n≤x≤1时，函数值y的取值范围是-6≤y≤
对称轴的左、右两侧或这两点都在对称轴的左
24,n2-3n-4=24,解得n=-4或n=
侧或右侧.
7(舍去)，故n的值为-4.
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