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)圣场偏哩
中考满分数学世·会·通
(二)模型运用的问题
专题11线段最值模型
几何图形中线段最值问题涉及两个基本图形，一个是两点之间线段最短，另一个是垂
线段最短.这两个基本模型的特点是：第一，动点在某一图形（如直线、圆）上运动构成折
线段，另两个点是定点，这时经常把折线段转化成两个定点之间的距离；第二，动点在定
直线上运动，转化为一个定点和一个动点的问题.涉及的辅助线是作某条直线的对称点，
利用轴对称完成这种转化.解决的办法是根据题目中的条件抽象出题目的本质特征，构造
图形完成目标问题向基本模型的转化
C)引例热身>)
1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是斜边AB边
上的一个动点，线段CD的长的取值范围是多少？
2.(1)AC⊥a于点C,BD⊥a于点D,AC=2,BD=1,CD=4,点P
1
是直线a上的一个动点.
第1题图
①如图①，当A,B在a的异侧时，求PA+PB的最小值；
②如图②，当A,B在a的同侧时，求PA+PB的最小值
D
图①
图②
(2)AC⊥a于点C,BD⊥a于点D,AC=4,BD=1,CD=4,点P是直线a上的一个
动点.
①如图③，当点A,B在a的同侧时，求PA-PB的最大值；
②如图④，当点A,B在a的异侧时，求PA-PB的最大值
h
D
图③
图④
第2题图
3.已知⊙0的半径是5，点P是平面内的一点，点Q为⊙0上的一个动点.
(1)当OP=3时，求线段PQ的最大值和最小值.
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初是场偏生小考愤型方法深究篇
(2)当OP=7时，求线段PQ的最大值和最小值，
第3题图
恩路指引
1
个定点和个动点
动点在方线上
转化为年线段最短
两个龙点和一个动点
动点在直线上
转化为两点之问线钱最短
作对称灯
个定点和一个动点
动点在阿上
转化为三角形三边关系
几何最小值问题常用的结论是：垂线段最短；两点之间线段最短
图形特点及规律：明确动点和定点，确定解决模型，再转化为基本图形
一动一静常用垂线段最短；一动二静常用两点之间线段最短.很多题目虽然背景条件
不尽相同，但通过变换可以转化为应用上述两种结论求出最值.涉及的常用基本图形就是
上面的三个引例，
点拨分析
1.点C是定点，点D是动点，且在AB边上运动，根据垂线段最短可知，当CD⊥AB
时，CD最短，由面积可以求出CD的最小值。CD=3X4-是.点D与点B重合时，CD的
5
值最大，号≤CD<4
2.(1)①如图①，连接AB,AB与a的交，点P即为所求.这是两个定点和一个动点的
基本图形，当三个点共线时，由两点间线段最短可以确定点P的位置.通过构造直角三角
形运用勾股定理求出最小值AB=5.②图②与图①的图形比较只是A,B两点位置不同，可
以利用对称把它转化为图①中的情况，使问题得到解决，其根本想法就是把折线段最短问
题转化为两点之间线段最短.PA+PB的最小值AB′=5
图D
图②
第2题答图(1)
85)圣场偏生
中考满分数学柑·会·通
0
∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+
、形P0B周长的最小值是3万+厅+点p姿乌魯
∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC..·∠BAC=
的坐标为(2,0)
90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，.∠MPN=90°，
∴.△PMN是等腰直角三角形.
(3)由(2)知，△PMW是等腰直角三角形，
PM=PN=BD,PM最大时，△PMN面积
最大，，点D在BA的延长线上，，BD=AB+
AD=28.PM=14..m=
针对训练3：
解：△AOB是一个斜边为定值的三角形，联想到直
7×14=98
角三角形斜边中线等于斜边的一半，取AB的
中点E,连接OE,DE,当O,D,E三点共线
(二)模型运用的问题
时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2,
专题11线段最值模型
BC =1.OE AE =2 AB 1.DE
针对训练1：
√AD2+AE=2+12=2,.0D的最大值
解：(1)由菱形的对称性可知，B点关于AC的对
为2+1.
称点是点D,折线PQ+PB转化为DP+PQ
当D,P,Q共线时，用垂线段最短的结论得
出PQ+PB的最小值就是点D到AB的距离.
根据题中条件可求出最小值是3.
(2)考虑到题目条件中∠DAC=30°，可以过点
P作PR⊥AD于点R,构造出PR=PA,使
针对训练4：
问题转化为基本型。当B,P,R共线时，根
解：(1)CG=5CFCF⊥CG理由如下：，：在
据垂线段最短，PB+PA最小值就是B点到
Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=
90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=V3,
AD边的垂线段的长度，最小值是5.
.AE =2DC =23,AC =3BC =3,AB
针对训练2：
2BC,∠CDE=60°，.BC=1,AB=2.点
解：(1)由题意，可得BE与AC交于点P.:点B
与点D关于AC对称，PD=PB,(PD+
R,G分别是BD,AE的中点，CG=2AE=
PE)成小=PB+PE=BE.:正方形ABCD的面
积为12，∴.AB=23.又，△ABE是等边三角
5CG=AC,CF-AB=1.CF-AF..CG=
形，.BE=AB=23.故所求最小值为2√3.
3CF,∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=
D
30°，.∠FCG=90°，.CF⊥CG.
(2)仍然成立.理由如下：：∠ACB=∠DCE=
90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=3,
∴.∠BCD=∠ACE,AG=3BC,CE=5CD,
能=5=8器△a4,品-
(2)四边形APQB中PQ=1,AB=√/17，只需
5,∠CAE=∠CBD.:点F,G分别是BD,AE
求出AP+QB的最小值即可.我们分析题中条
件，发现和将军饮马问题及其相似，相当于河
的中点，BF=号0，AG=宁迟，六S
边饮马后还要沿河走一段固定路程，我们可以
考虑把线段PQ看成一个点，那就是把点P向
=3=4C
CG
=BC,△ACG△BCF,C年
右平移一个单位，使其符合基本图形，同时把
点A也向右平移一个单位，再作对称点，BC
的长就是AP+QB的最小值，BC=32,四边
C=5,LBCF=LACG,∴CG=5CF,∠ACB=
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